Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 9. Oscilações Forçadas e Ressonância (continuação)

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1 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Oscilações orçadas e Ressonância (continuação) Nesta aula, vaos estudar o caso que coeçaos a tratar no início da aula passada, ou seja, o de oscilações forçadas co aorteciento (lebre-se que na aula passada siplificaos a análise para o caso co aorteciento nulo, por otivos didáticos). A equação de oviento para este caso é a equação () da aula passada, reproduzida abaixo: d dt x dx γ x cos( t). () dt Pelos esos arguentos usados na aula passada, vaos buscar ua solução de estado estacionário para (). Vaos tabé usar a técnica da exponencial coplexa para resolver esta equação. A versão coplexa de () é: d dt z dz it γ z e. () dt Seguindo a esa estratégia usada anteriorente, vaos propor ua solução para () do tipo: i( t ϕ ) z Ae, (3)

2 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque de aneira que a solução física é x Re(z). (4) Note que a solução proposta neste caso é u pouco diferente da solução proposta quando resolveos o caso do oscilador forçado se aorteciento (equação 6 da aula 8). O otivo disto é a experiência prévia. O uso da equação 6 da aula passada levou a ua equação algébrica (equação 8 da aula 8) cujo tero iaginário do lado direito é negativo: i senϕ. uereos evitar este sinal negativo aqui e é por isto que a solução proposta é a (3), co o ângulo de fase φ ultiplicado por. Assi, o sinal negativo que apareceria nos desenvolvientos algébricos se não tivésseos colocado o e (3) já fica incorporado, de saída, na própria solução proposta. As derivadas teporais prieira e segunda de (3) são i z& iae ( t ϕ ) e i( t ϕ ) & z Ae. Substituindo-as juntaente co (3) e () teos ( t ϕ ) i( t ϕ ) i( t ϕ ) it iγae Ae e. (5) i Ae

3 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Siplificando: iϕ ( ) A iγa e. (6) Usando a fórula de Euler do lado direito: ( ) A iγa cosϕ i senϕ. (7) A equação acia torna ais claro o otivo de se ter proposto ua solução co a fase ultiplicada por. azendo isso, a equação acia ficou co o tero iaginário do lado direito ultiplicado por. Igualando as partes real e iaginária e abos os lados da equação acia teos: e ( ) A cosϕ (8) γa senϕ. (9) O sistea acia conté duas equações e duas incógnitas, A e φ. Para resolvê-lo, prieiraente vaos toar os quadrados das duas equações, 3

4 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque e ( ) A ϕ cos Soando as duas: ( γ) A sen ϕ. Isolando A: [( ) ( ) ] γ A A ( ) ( γ).. () Para obter φ vaos dividir (9) por (8): tanϕ γ. () A solução estacionária é dada pela parte real de (3) ( ϕ) x( t) Acos t, () co A e φ dados por () e (), respectivaente. 4

5 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Os gráficos abaixo ostra coo a aplitude A e a fase φ varia co. Exercício: tente reproduzir esses gráficos. E particular, toe cuidado na hora de fazer o gráfico de φ(), pois os prograas para gráficos costua traçar a função y arctan(x) para π/ < y < π/ e não para < y < π coo no gráfico ostrado. 5

6 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Estes gráficos são uito parecidos co os gráficos da página 9 na aula 8. Note, poré, que a explosão para infinito de A e o salto descontínuo de para π de φ quando não acontece neste caso. Isto porque o odelo usado aqui consegue capturar elhor o que acontece no sistea físico. O cresciento de φ de para π à edida que auenta de para é suave (gradual). E particular, quando o atraso de fase entre as oscilações da força externa e as oscilações do corpo é de π/. Isto é algo que você provavelente não conseguirá notar co o experiento caseiro do pêndulo da aula passada (há uitos vídeos e applets na internet para se ver o efeito, poré; e particular, procure no youtube pelo vídeo do MIT Physics Deo Driven Mechanical Oscillator ). U fenôeno inesperado ostrado pelo odelo é que o valor áxio da aplitude não ocorre para, as para ua frequência angular u pouquinho enor, indicada por no gráfico acia. Este é u fenôeno real (ua previsão do odelo que poderia passar despercebida se não tivésseos o odelo; isto fornece u exeplo da iportância de odelos teóricos e física). 6

7 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque A diferença entre e, no entanto, é tão pequena que na aioria das aplicações práticas costua-se ignorá-la. Para analisar elhor o coportaento de A() e de φ(), é conveniente usar o fator apresentado na aula 7. O fator de u oscilador aortecido é definido por γ. (3) uando aior, enor o efeito dissipativo sobre a oscilação. Podeos reescrever as equações () e () e teros de substituindo γ /: A ( ). (4) tanϕ. (5) ( ) Vaos tabé, por conveniência, escrever as funções acia coo dependentes da razão / ao invés de dependentes apenas de. Isto pode ser feito da seguinte aneira: 7

8 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque 8 A A ( ) k A (6) e tan ϕ. (7) A figura abaixo ostra gráficos de A(/ ) e φ((/ ) para diferentes valores de. No gráfico de A, a variável ao longo do eixo vertical é a grandeza adiensional A/A(), onde A() é a aplitude para : A() /k. Exercício: tente reproduzir os gráficos abaixo.

9 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Note que o pico de ressonância fica cada vez ais acentuado e estreito co o auento de (as não vai para infinito!) e o atraso 9

10 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque de fase cresce gradualente de a 8 o. No liite e que o atraso de fase salta descontinuaente de para 8 o quando passa por. O valor áxio de A(), coo já dito anteriorente, ocorre para u valor u pouquinho enor que. Este valor pode ser calculado toando-se a derivada de A()/A e relação a e igualando a zero. Definindo x /, pode-se escrever y( x) A A ( x ) de aneira que (ostre coo exercício) x /, dy dx x x ( x ) ( x ) 3 / Portanto, / ( ) x x. /. (8) Ua consequência deste resultado é que a condição para que a aplitude A possua u áxio é > /. Ou seja, ocorre

11 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque ressonância para praticaente todos os casos, co exceção daqueles forteente aortecidos. A partir do valor de dado por (8) pode-se obter o valor áxio de A, indicado por A. Mostre coo exercício que: A A /. (9) 4 Ua pergunta iportante é: qual a quantidade de energia que deve ser fornecida por segundo pela força externa para anter o corpo oscilando no estado estacionário co freqüência e aplitude constantes? A potência instantânea P(t) fornecida pela força externa é dada pelo produto da força pela velocidade do corpo oscilante. A força externa é ( t) cos ( t) e a velocidade do corpo é a derivada teporal de (), de aneira que ( ϕ) &, () x( t) Asen t

12 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque P ( t) sen( ϕ) t) Acos t (. Usando a identidade trigonoétrica sen podeos escrever, ( t ϕ) sen( t) cosϕ senϕ cos( t) ( Acos ϕ ) sen( t) cos( t) ( Asenϕ ) ( t) P( t) cos e, usando a identidade trigonoétrica sen( t) sen( t)cos( t) no prieiro tero acia, chegaos a P( t) cos ( Acosϕ ) sen( t ) ( Asenϕ ) ( t),. () O iportante não é conhecer a potência instantânea, as a potência édia fornecido durante u ciclo (ou período T), dada por t T P ( t) P( t ) dt T. () O valor édio da função sen(t) (ou da função sen(t)) ao longo de u período é zero, as o valor édio da função cos (t) é ½. Logo: P senϕ A. (3) t A equação (7) iplica que (ostre coo exercício),

13 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque senϕ / de aneira que substituindo (6) e (4) e (3) teos,, (4) P ( ) k. (5) Analisando a equação acia, veos que o seu áxio ocorre exataente para. O valor desse áxio é k. (6) P ax A figura abaixo ostra gráficos de P ( / k ) / versus / para diferentes valores de. Note que a potência édia fornecida pela força externa cai e direção a zero para frequências uito baixas ou uito altas. As curvas de P () não são siétricas e relação a, as para grande elas são aproxiadaente siétricas e be estreitas. 3

14 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Para o caso de grande, e que as curvas de potência édia versus frequência são aproxiadaente siétricas e torno do áxio ( ), é conveniente definir ua largura para caracterizar essas curvas. Essa largura é definida coo a diferença entre os dois valores de (u de cada lado de ) para os quais a potência fornecida cai para a etade do valor áxio. Esta é a chaada largura à eia altura da curva de ressonância. Noralente, a largura à eia altura da curva de ressonância é chaada siplesente de largura da curva de ressonância, e é assi que ela será chaada aqui. 4

15 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque 5 Para calcular ua expressão para a largura, vaos prieiraente reescrever ) ( P de ua fora aproxiada. Note que ( )( ). Portanto, para podeos escrever ( ) ( ). Substituindo esta expressão aproxiada e (5), teos ( ) 4 ) ( k P, ou ( ) ( ) ( ) 4 / / ) ( k P. (7) Note que / γ, de aneira que a equação acia tabé pode ser escrita coo ( ) 4 ) ( γ γ P, (8) onde tabé se usou k.

16 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque A etade do valor de P ax é Pax 4γ, de aneira que as frequências pela etade são dadas por ± ± para as quais P () cai γ Pax P ( ± ) 4 o que iplica que Portanto, a largura da curva é ( ) γ 4γ ( ) 4 γ γ. γ. (9) Lebrando que o tepo de decaiento do oscilador aortecido livre (não forçado) foi definido na aula 7 coo τ γ d, podeos reescrever a largura da curva P () coo τ d. (3), 6

17 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Portanto, a largura da curva de ressonância (edida pela curva da potência édia fornecida pela força externa) é, aproxiadaente, inversaente proporcional ao tepo de decaiento do oscilador livre (não-forçado). A consequência deste resultado é que u sistea que apresente ua resposta de ressonância uito estreita (edida pela largura da curva da potência édia fornecida pela força externa) deve ter u decaiento uito lento de suas oscilações livres. Inversaente, u oscilador livre que decaia lentaente deve possuir ua curva de ressonância estreita. Já se o seu decaiento for rápido, ele terá ua curva de ressonância larga. Vocês pode se perguntar agora:. ual o critério para se considerar ua curva de ressonância estreita?. ual o critério para se considerar u decaiento das oscilações livres lento? 3. Estes dois critérios são copatíveis co u valor grande de? 7

18 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque E geral, o critério para que u pico de ressonância seja considerado estreito é que a sua largura seja apenas ua pequena fração da frequência de ressonância: Ua curva é estreita se <<. (3) Esta condição é copatível co u valor grande de, pois, de (9): << >>. Por outro lado, o critério para u decaiento lento das oscilações livres é que a queda na aplitude dessas oscilações ao longo de u período seja uito pequena. Lebrando da aula 7, a aplitude das oscilações aortecidas é dada por γ t A Ae, de aneira que (ostre coo exercício), A A e γ t γ t. Para T π/, que é aproxiadaente o período de ua oscilação aortecida livre, 8

19 597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque A A γπ Portanto, a condição para que o decaiento da aplitude seja uito pequeno ao longo de u período é A A <<. γπ <<. Esta condição tabé é copatível co u valor grande de, pois, da definição de : γ >> << γ. A propriedade de que u pico de ressonância estreito está associado ao u decaiento exponencial lento das oscilações livres do sistea não ocorre apenas para o sistea assa-ola aortecido usado coo exeplo nesta aula. E geral, ela é válida para todo sistea físico, ecânico ou não, cujas oscilações livres decae exponencialente no tepo. 9