Onde estão os doces? Soluções para o Problema da Rua Encantada

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1 Onde estão os doces? Soluções para o Problea da Rua Encantada Rossana Baptista Queiroz 1 1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS) Prograa de Pós-Graduação e Ciência da Coputação (PPGCC) Porto Alegre RS Brasil fellowsheep@gail.co Resuo: Este trabalho apresenta três possíveis soluções para u problea chaado A Rua Encantada, proposto na disciplina Coputabilidade e Coplexidade de Algoritos no segundo seestre de A prieira solução procura resolver o problea de fora intuitiva através de u algorito iterativo, se a preocupação de otiizar o custo do núero de operações. De fato, essa solução é bastante custosa, a ponto de não ser possível coputá-la e tepo viável para o taanho de entrada requerido no problea. E vista disso, são apresentados dois algoritos que utiliza conhecientos ateáticos sobre a natureza do problea. Os resultados ostra que a solução ateática é ais eciente que a prieira solução proposta, tornando viável a obtenção de todos o resultados para o problea. Palavras-chave: coplexidade, algoritos, núeros triangulares, quadrados perfeitos I Introdução Este trabalho apresenta a resolução de u problea chaado A Rua Encantada, proposto coo prieiro trabalho da disciplina Coputabilidade e Coplexidade de Algoritos 1, inistrada no segundo seestre de O objetivo do trabalho é investigar o problea e propor u algorito que o solucione, buscando otiizar recursos coo, por exeplo, o núero de operações executadas. Apresentado e fora de ua extensão do conto infantil Chapeuzinho Verelho, o enunciado do problea apresenta o seguinte cenário: a personage Chapeuzinho Verelho é incubida por sua ãe de buscar os doces que serão presenteados a sua avó na confeitaria de sua cidade. No entanto, o núero do estabeleciento é esquecido por sua ãe, que lebra apenas da seguinte propriedade relativa a ele: partindo da prieira casa da rua, sepre soando os núeros das casas subseqüentes até a casa iediataente antes da confeitaria, e da casa logo após a confeitaria até a últia casa da rua, abos os resultados são iguais. Ua vez que os personagens da estória parece ter liitações para a resolução de probleas ateáticos, o desao de descobrir o núero da confeitaria é repassado aos alunos da disciplina. O enunciado ainda especica que o núero da prieira casa da rua é 1, e deterina que a busca deve ser feita e ruas co até casas. A Figura 1 ilustra o problea, considerando ua rua de taanho 8 (núero de casas). Coo ostrado abaixo, observa-se que a confeitaria ca na casa de núero 6. De fato, soando-se os núeros das casas 1 a 5 (casas anteriores) e de 7 a 8 (casas posteriores), obté-se o valor Disciplina obrigatória do Prograa de Pós Graduação e Ciência da Coputação da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

2 Confeitaria? Figura 1: Ilustração do problea, considerando ua rua co 8 casas. Neste caso, observa-se que a confeitaria é a casa de núero 6. O artigo está organizado da seguinte aneira: a Seção II apresenta três possíveis soluções para o problea. Prieiro, é proposto u algorito siples (Subseção A), desenvolvido se ua análise ais cuidadosa da natureza do problea. E seguida, é apresentada ua solução obtida através de ua análise ais aprofundada do problea, apontando características que confere co conceitos de Núeros Poligonais encontrados na Mateática, ais precisaente, e Teoria dos Núeros. Dessa análise, cujo produto é a odelage ateática do problea, são apresentados dois algoritos que o soluciona: (Subseção B). E seguida, é apresentada a solução dos possíveis núeros de confeitaria para ruas de taanho 1 a e u quadro coparativo dos tepos de execução de cada u dos algoritos apresentados. Por, são feitas alguas considerações co respeito à coplexidade dos algoritos propostos e coo isso reetiu na prática (tepo de execução). II Análise do Problea e Soluções Esta seção apresenta três soluções encontradas para o problea apresentado na seção anterior. É iportante salientar que essas não são as três únicas soluções; diferentes outros algoritos pode ser escritos que resolva o problea, co diferentes custos coputacionais. A Subseção A ostra u algorito construído se levar e consideração possíveis propriedades (ateáticas, por exeplo) que o problea pudesse apresentar. E outras palavras, trata-se u algorito que procurou odelar a lógica do problea de fora intuitiva, se preocupação co a sua perforance. O otivo de anter essa solução no artigo é para ostrar que ua solução aparenteente siples pode possuir u custo coputacional tão alto que a torna ipossível de obter os resultados para todos os taanhos de entradas do problea e tepo viável. A Subseção B apresenta ua análise ateática do problea, que o torna possível de ser odelado através de algoritos ais ecazes. A Ua solução siples Partindo do enunciado do problea, ua aneira de solucioná-lo é através de u algorito que percorre todo o espaço correspondente ao doínio apresentado (ruas de taanho 1 até ) seguindo o seguinte raciocínio: para deterinado núero i, verica-se se ele pode ser o núero da confeitaria e ua rua de taanho t, desconhecido a priori. Para isso, calcula-se a soa de 1 até o núero anterior a i, e depois verica-se se, soando a partir do núero sucessor de i, a soa dos seus subseqüentes será igual à dos seus anteriores. O algorito pára sua vericação para i no oento que a soa dos posteriores for aior ou igual à dos anteriores. Se for igual, então i é u núero da confeitaria válido. São fornecidos, então, os valores i e t, que é i ais o núero de sucessores que fora soados até se obter a igualdade esperada.

3 O Algorito 1 apresenta a solução descrita. O algorito proposto possui dois laços e atua sobre quatro variáveis. As quatro variáveis (chaadas de i, taanhodarua, SoaAntesDeI e soadepoisdei ) arazena, respectivaente, o núero candidato a núero de confeitaria, o taanho da rua, e as soas dos núeros antes e depois de i, coo variáveis auxiliares. O prieiro laço executa enquanto ainda não se houver chegado ao taanho áxio de rua. Dentro desse laço, i sepre é increentado de ua unidade e acuula-se a soa dos núeros antes de i. O segundo laço, portanto, vai soando núeros sucessores a i até que esse núero seja aior ou igual à soa dos seus núeros anteriores. O taanho da rua recebe no prieiro laço o valor de i e é acrescido de ua unidade a cada iteração do segundo laço. Se a soa dos núeros posteriores a i for igual à soa de seus núeros sucessores (até o taanho da rua), então foi encontrado u núero de confeitaria. Entrada: o núero ax áxio de casas da rua Saída: todas as possibilidades de núeros de confeitaria e ruas de taanho 1 a ax, se houver i 1; enquanto taanhodarua ax faça soaantesdei + i-1; soadepoisdei 0; taanhodarua i; enquanto soadepoisdei soaantesdei faça taanhodarua + 1; soadepoisdei + taanhodarua; se soaantesdei = soadepoisdei então Ipriir que achou a confeitaria i no taanho de rua taanhodarua i + 1; Algorito 1: Prieiro algorito proposto Para cada candidato a núero de confeitaria i, são efetuadas x i iterações, até que a soa dos núeros posteriores que aior ou igual à soa dos núeros anteriores a i. Esse núero x i é u núero enor que i, ua vez que, coo os núeros posteriores a i são aiores que os anteriores, então para que a soa obtida seja aior ou igual à soa dos anteriores são necessários enos que i 1 núeros. Pode-se expressar esse núero x i e função de i, coo por exeplo, através da razão entre o núero de operações 2 do segundo laço (e i) e i. Dessa fora, núero de operações e cada laço é i x i. Portanto, o núero de operações total desse algorito pode ser expresso coo 1x 1 + 2x 2 + 3x nx n, sendo que n refere-se ao núero de iterações executadas no prieiro laço. Outra fora de escrever isso é n i=1 ix i, sendo que x i < i 1. Ao executar o algorito, percebe-se que essa razão entre o núero de operações executadas e i é aproxiadaente ua constante, a saber, 0, 41. Considerando então x i ua constante C, tê-se que o núero de operações para ua entrada de taanho n é C n i=1 i, ou seja, aproxiadaente C n2 +n 2 operações. Trata-se, portanto, de u algorito co coportaento quadrático O(n 2 ), apesar de que o núero de operações sepre será enor que n 2. É iportante observar tabé que o núero n de iterações do prieiro laço, é sepre u núero enor que o taanho áxio da rua, ua vez que o taanho da rua é increentado sepre no segundo laço. Meso assi, vê-se que o algorito proposto nessa seção, cujo núero de operações cresce co coportaento quadrático, torna-se inviável para o cálculo e cia do taanho de entrada áxio proposto (Seção III apresenta ua discussão a esse respeito). E vista disso, fêz-se ua análise ais detalhada do problea, cujo produto foi a descoberta de 2 Neste contexto, o núero de operações refere-se ao núero de iterações, isto é, o núero de vezes que o algorito entrou nos laços.

4 alguas propriedades ateáticas dele e a proposta de outros algoritos que faze o uso dessas propriedades, otiizando assi o núero de operações de fora surpreendente. B Solução Mateática Co o objetivo de se encontrar ua solução viável, fora investigadas foras de odelar o problea ateaticaente. Coo observado na solução proposta na seção anterior, que para cada entrada de taanho n, são necessárias cerca de n2 +n 2 operações, que é o soatório de 1 até n. E Mateática, existe o conceito de núeros poligonais, que são aqueles núeros que pode ser arranjados coo u polígono regular [1]. U núero triangular, por exeplo, é u núero que pode ser representado por u triângulo equilátero [4], coo ostra a Figura 2. Para se calcular o n-ésio núero triangular de ua seqüência, basta fazer a soa dos núeros de 1 até n. Percebe-se, portanto, que o problea investiga a possibilidade de se encontrar u núero de confeitaria dentro de ua seqüência de núeros triangulares (soa dos núeros do início ao da rua é sepre triangular). O problea pode ser expresso da seguinte aneira: para que seja encontrada ua confeitaria de núero s e ua rua de taanho t, é necessário que exista u s inteiro cuja soa de 1 até s 1 e de s + 1 até t seja iguais. A Equação 1 expressa essa igualdade. No problea proposto, observa-se que, por denição, a soa dos núeros anteriores ao núero da confeitaria é u núero triangular. Conseqüenteente, a soa dos núeros posteriores tabé será. A Figura 2 exeplica o problea e ostra o arranjo triangular dos núeros anteriores à confeitaria de núero 6, encontrada na rua de taanho 8. s 1 i = i=1 t i=s+1 i (1) Figura 2: Ilustração do problea, considerando ua rua co 8 casas. A prieira iage ostra que a soa dos núeros de 1 até 8, por denição, é u núero triangular. A segunda iage deonstra, ainda na representação triangular, que existe u núero inteiro entre 1 e 8 cuja soa de seus núeros anteriores e de seus posteriores é igual. Coo ilustra a segunda parte da Figura 2, o soatório do taanho da rua pode ser expresso, de acordo co o problea, da seguinte aneira:

5 t s 1 i = i + s + i=1 i=1 t i=s+1 i (2) Para que s seja inteiro, é necessário que a soa de 1 até t seja u quadrado s s. Isso quer dizer que, para que se encontre ua confeitaria s e ua rua de taanho t, o soatório de 1 até t precisa ser igual a s 2. A Figura 3 ilustra essa propriedade pelo arranjo da soa dos núeros do exeplo anterior. E outras palavras, pode-se arar que o soatório de 1 a t, alé de triangular (por denição), precisa ser tabé u núero quadrado. Trata-se, portanto, da seqüência de núeros que são triangulares e quadrados perfeitos ao eso tepo Figura 3: Ilustração do problea, arranjado e fora de u quadrado perfeito. A soa dos núeros de 1 a 6 e de 7 a 8 são núeros triangulares, por conseqüência da denição do problea. Acrescentando-se o núero 6 para copletar a soa dos núeros de 1 a 8 (taanho da rua), fora-se u núero quadrado. Co essas inforações, é possível construir u algorito (Algorito 2, abaixo) que, para cada entrada n, calcula o soatório de 1 a n e depois verica se esse núero é u quadrado perfeito (raiz quadrada inteira). Entrada: o núero ax áxio de casas da rua Saída: todas as possibilidades de núeros de confeitaria e ruas de taanho 1 a ax, se houver i 1; soatorio 0; enquanto i ax faça soatorio i; se sqrt( soatorio) for inteira, então Ipriir que achou a confeitaria sqrt( i) no taanho de rua i i + 1; Algorito 2: Segundo algorito proposto Para se obter ua fórula ateática que deterine a seqüência dos núeros que seja triangulares e quadrados ao eso tepo, parte-se da igualdade t2 +t 2 = s 2. Ua fórula geral para encontrar o n-ésio núero triangular e quadrado perfeito de ua seqüência é, segundo [3, 2]:

6 T Q n = 1 [ ( ) n + (17 12 ] 2) n 2 32 Outra aneira de se calcular é pela seguinte recursão linear [3, 2]: (3) T Q n = 34T Q n 1 T Q n 2 + 2, (4) co T Q 0 = 0 e T Q 1 = 1 coo base da recursão. O n-ésio núero triangular quadrado obtido é igual ao s-ésio quadrado perfeito (núero da confeitaria) e t-ésio núero triangular (taanho da rua) da seguinte aneira: s n = T Q n (5) t n = 2T Q n (6) Utilizando-se ua das fórulas das equações 3 e 4 coo função T riangularquadrado(n), pode-se obter outra solução para o problea, expressa no Algorito 3. Entrada: o núero ax áxio de casas da rua Saída: todas as possibilidades de núeros de confeitaria e ruas de taanho 1 a ax, se houver i 1; t 0; enquanto t ax faça tq TriangularQuadrado(i); s sqrt(tq); t sqrt(2*tq); se t < ax então Ipriir que achou a confeitaria s no taanho de rua t i + 1; Algorito 3: Terceiro algorito proposto Observa-se que os algoritos 2 e 3 possue coportaento linear O(n) (apenas u laço para os taanhos de rua de 1 a n). O Algorito 2, de fato, executa exataente ax ( ) iterações. No Algorito 3, no entanto, o teste do laço é feito sobre t (taanho da rua), assi coo no Algorito 1. Nesse algorito, no entanto, são calculados diretaente, através da aplicação da fórula da Equação 6, soente os núeros de rua cujo soatório é u núero triangular e quadrado perfeito. Portanto, pode-se dizer que este algorito executa soente o núero de soluções possíveis de núeros de confeitaria para ruas de 1 a ax (apresentado na próxia seção) acrescido de ua unidade (ele executa ua vez para t aior que ax). As funções que calcula o n-ésio núero triangular quadrado tabé são lineares. Optou-se ipleentar a função recursiva para esse trabalho. A próxia seção apresenta a solução do problea e os tepos de execução dos algoritos propostos. III Resultados Pela execução dos algoritos 2 e 3, obteve-se os seguintes resultados (para ax = ): Rua de taanho 1: a confeitaria está na casa 1 Rua de taanho 8: a confeitaria está na casa 6 Rua de taanho 49: a confeitaria está na casa 35 Rua de taanho 288: a confeitaria está na casa 204

7 Rua de taanho 1.681: a confeitaria está na casa Rua de taanho 9.800: a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa Rua de taanho : a confeitaria está na casa O algorito 1, coo já discutido breveente na Subseção A, possui coportaento quadrático. Fora feitas alguas análises (coleta do núero de operações e tepo 3 dentro do segundo laço do algorito) e apenas resultados parciais fora obtidos. Rodando-se o algorito co ax = , o tepo total foi de 3 inutos e 28 segundos. Durante a execução do algorito, e e ua outra execução, co ax = , foi calculada a razão entre o núero de operações realizadas no segundo laço para cada i e i. Essa razão cou uito próxia ao núero 0.41 para todos os núeros do intervalo, exceto os 20 prieiros (que no entanto, a enor razão foi 0.33 e a aior 0.5). Da esa fora, foi calculada a razão entre o tepo de execução do segundo laço e i. O resultado tabé foi próxio de ua constante, a saber, E cia dessa constante, ultiplicada a n2 +n 2, estiou-se que, para i variando de 1 a , o algorito levaria cerca de 202 anos para terinar. A Tabela 1 ostra os tepos que o algorito levou para executar até chegar nas soluções (co ax = ) e a estiativa dos tepos que o algorito levaria até encontrar todas as soluções. Tabela 1: Resultados dos tepos para as soluções encontradas no Algorito1 (* estiativa) Núero da confeitaria Tepo ,001s 35 0,050s 204 1,736s ,726s s ,12in in* h* dias* ,75 anos* ,6 anos* Os tepos de execução dos outros dois algoritos tabé fora coletados. A Tabela 2 apresenta u coparativo dos tepos de execução totais dos três algoritos. Tabela 2: Resultado do tepo de execução dos 3 algoritos propostos (* estiativa) Algorito Tepo de execução anos* 2 52s 3 2s 3 Os algoritos fora ipleentados e C++, copilados co o gcc e executados e ua áquina co processador AMD Athlon 64 2 Dual Core GHz e 1GB de RAM. O tepo dentro dos laços foi coletado e icrossegundos, utilizando-se a função gettieofday() da biblioteca sys/tie.h.

8 IV Considerações Finais Este trabalho apresentou três algoritos que soluciona o problea da Rua Encantada, apresentando o raciocínio epregado para a construção e considerações a respeito da coplexidade de cada u. Resuindo, encontrou-se três algoritos co diferentes coportaentos: o prieiro é quadrático (O(n 2 )), enquanto os outros dois são lineares (O(n)). No entanto, coo discutido na Subseção B, enquanto o segundo algorito executa o laço exataente o núero de vezes de sua entrada, o terceiro executa apenas dentro do espaço de soluções possíveis para a entrada deterinada. No caso do núero áxio de casas da rua estabelecido no problea ( ), o Algorito 3 executou apenas 13 iterações (das 12 soluções ais 1, antes do teste do laço). Isso ipactou no tepo de execução, coo ostrado na Tabela 2 da seção anterior. Pela experiência do Algorito 1, observa-se que ne sepre o algorito ais iediato é viável na prática. A análise ais aprofundada do problea, coo ostrada na Subseção B, de fato pode levar à soluções ais ecientes ou eso viabilizar a busca de soluções para deterinados taanhos de entrada, coo visto nesse trabalho. Referências [1] Polygonal nubers. Disponível e nuber, Acesso e 21 de setebro de [2] Square triangular nuber. Disponível e SquareTriangularNuber.htl, Acesso e 21 de setebro de [3] Square triangular nubers. Disponível e triangular_nuber, Acesso e 21 de setebro de [4] Triangular nubers. Disponível e nuber, Acesso e 21 de setebro de 2008.