Os Números Racionais e Irracionais. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum: Critérios de divisibilidade. n e n. m são ditas irredutíveis,

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1 0/0/0 Máio divisor cou e ínio últiplo cou: Dados dois núeros naturais e n, chaareos de aior divisor cou entre n e o núero natural dc (,n) que é otido pelo produto dos fatores couns entre e n. Assi podeos dizer que dois núeros naturais n e são prios entre si quando dc (n,) =. Eeplo: Vaos calcular o.d.c. entre 0 e Assi o.d.c.(0, 6) =. = Se tiveros, por eeplo, a situação de os núeros a e sere prios entre si, o dc desses dois núeros será sepre igual a. O ínio últiplo cou entre e n, denotado por..c.(,n) pode ser calculado pelo produto de todos os fatores prios na decoposição de e n, considerados ua única vez e de aior epoente. Eeplo: Vaos calcular o..c. entre 0 e 6: Assi o..c (0, 6) =.. = 60. É fácil ver que para oteros o..c. entre dois núeros que são prios entre si, asta ultiplicaros esses dois núeros. Os.: Eiste ua relação entre o..c e o.d.c de dois núeros naturais a e. Teos que c(a,).dc(a,)=a., ou seja, o produto entre o..c e o.d.c de dois núeros é igual ao produto entre esses dois núeros a e. Se dois núeros naturais n e são prios entre si então as razões n e n são ditas irredutíveis, caso contrario, n e possue fator cou, ou seja, são frações redutíveis, e outras palavras, pode ser siplificadas, eliinando os seus fatores e cou. Os Núeros Racionais e Irracionais Vios anteriorente que o conjunto dos núeros racionais é o conjunto denotado por a Q /, a Z e Z, 0. Mas se tivésseos u núero epresso na sua fora decial, por eeplo, 7,..., ou 0, Coo poderíaos afirar se esses núeros são racionais ou irracionais? Nosso ojetivo agora é encontrar ua fora de responder essa pergunta. Saeos que os núeros racionais pode ser epressos e fora de fração irredutível, ou seja, na fora a onde a e são núeros prios entre si e, alé disso, 0, poré os núeros irracionais não tê essa propriedade, sendo assi precisaos saer coo escrever u núero fracionário e sua fora decial. Mas antes de aprenderos a escrever u núero decial na sua na fora fracionária e viceversa, vejaos alguns critérios de divisiilidade que facilitarão nosso traalho. Critérios de divisiilidade Vejaos agora alguns critérios de divisiilidade. Divisiilidade por U núero é divisível por quando é par, ou seja, seus possíveis algarisos da unidade são 0,,, 6 ou 8. Eeplo:, 00,..086, 8,. Divisiilidade por U núero é divisível por quando a soa dos seus algarisos é divisível por. Eeplo: (S= + + = 6), 6 (S=+6=9),.78.9 (S=), 70 (S=+7+0=). Divisiilidade por U núero é divisível por quando os dois últios algarisos fora u núero divisível por. Eeplo: 96, 8,.6, 0, , 7, 00. Divisiilidade por U núero é divisível por quando terina e 0 ou.

2 0/0/0 Eeplo: 7, 800,.67., 0, 6 Divisiilidade por 6 U núero é divisível por 6 quando é divisível por e ao eso tepo. Eeplo: 6,, 6, 76 Divisiilidade por 7 Para verificaros se u núero dado é divisível por 7, toe o últio algariso e calcule seu doro. Sutrair esse resultado do núero forado pelos algarisos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o núero original taé será divisível por 7. Eeplo: Divisiilidade por U núero é divisível por quando a diferença entre as soas dos algarisos de orde ípar e de orde par, a partir da direita for últipla de. Eeplo: S (orde ípar) = = S (orde par) = = Diferença =. Eeplo: 8 : 8 = 6-6 = 7 : coo 7 é divisível por 7, 8 taé é divisível. 69 = = 6 6 = = 0: coo 0 é divisível por 7, 69 taé é divisível. Eeplo: = 0-0 = : coo não é divisível por 7, taé não é divisível. Divisiilidade por 8 U núero é divisível por 8 quando os três últios algarisos fora u núero divisível por 8. Eeplo: Divisiilidade por 9 U núero é divisível por 9 quando a soa dos seus algarisos é divisível por 9. Eeplo: Divisiilidade por 0 e 0. U núero é divisível por 0 quando terina Dízias Periódicas I Conversão de Frações Ordinárias e Núeros Deciais Saeos que para transforaros ua fração ordinária e u núero decial asta dividiros o nuerador pelo denoinador dessa fração. Estudareos agora as três aneiras coo isso ocorre, e para tal transforareos as frações ordinárias e núeros deciais. º Caso: Ao transforaros a fração e u núero decial, encontrareos 0,7 e resto zero. Nesse caso direos que a fração se converte nu núero decial eato, ou nua decial eata. º Caso: Ao transforaros a fração nu núero decial, encontrareos, Nesse caso direos que a fração se converte nu núero decial periódico, ou nua dízia periódica. O algariso 6 que se repete infinitaente é chaado período da dízia. A dízia, é ua dízia periódica siples, já que, logo após a vírgula ve o período 6. 7 º Caso: Ao transforaros a fração nu núero decial, encontrareos 0,8... Nesse caso 7 direos que a fração se converte nu núero decial periódico, ou nua dízia periódica. O núero é o período da dízia e o núero 8 que o antecede é chaado de parte não periódica, não

3 0/0/0 período ou ante período. A dízia 0,8... é ua dízia periódica coposta, já que após a vírgula ve o ante período 8 e soente após ve o período. II Notação de ua Dízia Periódica Ua Dízia Periódica poderá ser representada de três foras diferentes: 0, , ,(7) 0,0(8) 0,7 0,08 III Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias e Núeros Deciais º Caso: Núero Decial Eato Ua fração ordinária e irredutível se transforará nua decial eata quando seu denoinador contiver apenas os fatores prios, ou e. O núero de ordens, ou casas deciais, será dado pelo aior epoente dos fatores ou. Eeplo : A fração ordinária e irredutível 7/ se converterá nua decial eata já que o denoinador só conté o fator prio, pois (= ). Essa decial eata terá casas deciais, já que o epoente do fator é. Eeplo : A fração ordinária e irredutível 7/ se converterá nua decial eata já que o seu denoinador só conté o fator prio ( = ). Essa decial eata terá casas deciais, já que o epoente do fator é Eeplo : A fração ordinária e irredutível 9/80 se converterá nua decial eata já que o seu denoinador 80 só conté os fatores prios e ( 0 = ). Essa decial eata terá casas deciais, já que o epoente do fator é. º Caso: Dízia Periódica Siples Ua fração ordinária e irredutível se transforará nua Dízia Periódica Siples quando seu denoinador contiver apenas fatores prios diferente dos fatores prios, ou e. Eeplo : A fração ordinária e irredutível 6/9 se converterá nua Dízia Periódica Siples já que o seu denoinador 9 só conté o fator prio. Eeplo : A fração ordinária e irredutível /77 se converterá nua Dízia Periódica Siples já que o seu denoinador 77 só conté os fatores prios 7 e. Eeplo 6: A fração ordinária e irredutível 8/7 se converterá nua Dízia Periódica Siples já que o seu denoinador 7 só conté os fatores prios e. º Caso: Dízia Periódica Coposta Ua fração ordinária e irredutível se transforará nua Dízia Periódica Coposta quando seu denoinador, alé dos fatores prios, ou e, contiver outros fatores prios quaisquer. O núero de ordens, ou casas deciais, do ante período será dado pelo aior epoente dos fatores ou. Eeplo 7: A fração ordinária e irredutível / se seu denoinador conté alé do fator prio, o fator prio ( = ). Essa Dízia Periódica Coposta terá u ante período co casa decial, já que o epoente do fator é. Eeplo 8: A fração ordinária e irredutível 7/ se seu denoinador conté alé do fator prio, o fator prio ( = ). Essa Dízia Periódica Coposta terá u ante período co casas deciais, já que o epoente do fator é. Eeplo 9: A fração ordinária e irredutível 7/680 se seu denoinador 0 conté alé dos fatores prios e, o fator prio 7 (680 = 7). Essa Dízia Periódica Coposta terá u ante período co casas deciais, já que o epoente do fator é. IV Geratriz de ua dizia periódica: Definios Geratriz de ua dízia periódica coo sendo a fração ordinária que originou essa dízia. Eeplo : / é a geratriz da dízia periódica siples 0,... Eeplo : /0 é a geratriz da dízia periódica coposta 0, V Geratriz de ua dizia periódica siples: A geratriz de ua dízia periódica siples é a fração cujo nuerador é o período e cujo denoinador é forado por tantos noves quantos fore os algarisos do período. Se a dízia possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, forando u núero isto.

4 0/0/0 Eeplo : Calcular a geratriz de 0,... 0,... 9 Eeplo : Calcular a geratriz de, , Eeplo : Calcular a geratriz de, , VI - Geratriz de ua dizia periódica coposta: A geratriz de ua dízia periódica coposta é a fração cujo nuerador é o ante período, acrescido do período e diinuído do ante período e cujo denoinador é forado por tantos noves quantos fore os algarisos do período, acrescido de tantos zeros quantos fore os algarisos do ante período. Se a dízia possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, forando u núero isto. Eeplo : Calcular a geratriz de 0, , Eeplo : Calcular a geratriz de, , Eeplo : Calcular a geratriz de,777..., Os.: Para facilitar as operações entre núeros deciais, toda dízia periódica deve ser convertida e sua fração geratriz e soente aí sere efetuadas as operações necessárias. Fica ais fácil se traalharos co todos os núeros no eso forato, ou fracionários ou deciais. Eercícios: Deterine a natureza de cada ua das frações quando convertidas e núeros deciais. Se a resposta for ua decial eata, deterine o núero de casas deciais e se for ua dízia periódica coposta deterine o núero de casas deciais do ante período. 0 0) 0 0) 0) 6 6 0) 0) 9 06) ) 6 08) 09) 0) 87 n p ) ) ). Deterine todos os valores possíveis de,p e q 6 para que a fração se converta nua decial. p.7 q eata co três casas deciais. ). Deterine os valores naturais de e p para a 7 fração se converta nua decial eata co. p ordens deciais e tenha o aior valor possível. ). Que relação deve haver entre a e de odo que a a fração seja a geratriz de ua dízia periódica. siples. 6). Deterine o valor ínio da soa dos naturais +n de odo que a fração se converta nua.9 n dízia periódica coposta co algarisos na parte não periódica. Calcule as geratrizes das dízias periódicas: 7) 0,... ), ),(6) ) 0, ),(09) 6), ), ) 0, ), ), ),() 9), ),0() 0), Calcule o valor das epressões aaio: ) 0,... 0, ) 0,() (0,...) =

5 0/0/0 ). O quociente dos núeros = 0, e (E) dia, 9 horas, 0 inutos e segundos = 0, é: 9). (UFRGS 00) Os 0 de u dia corresponde (A) irracional (B) 0 (C) u inteiro diferente de (D) 0,00 (E) 0, 0 a: (A) hora, inutos e segundos ). Se a = 0,... e = 0,..., então a é igual a: (A) 0,... (B) 0,... (C)0, (D) 0, (E) 0, ). O valor de (0,) (0,6) é: (A)0,06 (B)0,06 (C)0,06 (D)0,68 (E) 0,66 (B) hora, 6 inutos e segundos (C) hora, 6 inutos e segundos (D) hora, 0 inutos e segundos (E) hora e inutos 0). (UFRGS 00) 0, seanas corresponde a: (A) dias e horas (B) dias, horas e inutos 6). A epressão, para 0 e (C) dias, horas e inutos (D) dias e horas 0, equivale a: (E) dias (A) (B) (C) ). (UFRGS 008) Se 0, e 0, , então + é igual a: (D) (E) (A),0 (B), (C) 0 9 7).(UFRGS 999) A dívida de ua pessoa dora a cada três eses. Se a dívida está acuulada hoje e 00 reais, há seis eses atrás a dívida era de: 00 (D) 99 (E) 0 9 (A) R$ 7,00 (B) R$ 0,00 (C) R$ 00,00 Gaarito (D) R$ 0,00 (E) R$ 600,00 8). (UFRGS 000) Considerando que u dia equivale a horas,, dias equivale a: -E -B -B 6-D 7-C 8-E 9-C 0-C -D (A) dia, horas e 0 inutos (B) dia, 9 horas e 8 inutos (C) dia, 9 horas, 0 inutos e segundos (D) dia, 9 horas, 0 inutos e 0 segundos