XXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Fase Final (5 de novembro de 2005) Nível α (5 a e 6 a séries do Ensino Fundamental)
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1 XXIX OLIPÍADA PAULISTA DE ATEÁTICA Prova da Fase Final (5 de novebro de 2005) Nível α (5 a e 6 a séries do Ensino Fundaental) Folha de Perguntas Instruções: A duração da prova é de 3h30in. O tepo ínio de peranência é de 1h30in. Nesta prova há 5 questões. Cada questão vale 2,0 pontos. Preencha todos os dados solicitados no Bloco de Resoluções. Todas as respostas deve ser justificadas. Respostas e justificativas deve ser apresentadas no Bloco de Resoluções. Resoluções a tinta ou a lápis. É peritido o uso de calculadora. Ao terinar, entregue apenas o Bloco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas co você. PROBLEA 1 Segundo ua reportage da revista Veja, 20% dos brasileiros nunca fora ao dentista. Considerando que a população do Brasil é de 170 ilhões, dos quais 32 ilhões ora na zona rural, responda: (a) Qual é o núero de brasileiros que nunca fora ao dentista? (b) A partir dos dados do problea, podeos afirar que há residentes da zona urbana que nunca fora ao dentista? PROBLEA 2 Segundo a literatura, Tio Patinhas te 3 acres cúbicos de dinheiro e sua caixa-forte. Considereos que u acre cúbico é igual ao volue de u cubo cujas faces tê 1 acre de área, de odo que 1 acre cúbico é igual a Para se ter ua idéia de quanto dinheiro ele te na caixa-forte, vaos iaginar que Tio Patinhas possua apenas oedas de 10 centavos de dólar. Dez dessas oedas ocupa cerca de 3 c 3. Utilizando estas inforações, estie quanto dinheiro o Tio Patinhas guarda na sua faosa caixa-forte. PROBLEA 3 A seguir, apresentaos u apa estilizado dos estados de São Paulo (SP) e inas Gerais (G). Todos os vértices das regiões poligonais que representa os estados são ou vértices do quadriculado ou pontos édios de lados dos quadrados. SP G Segundo dados do IBGE, o estado de São Paulo te k 2 de área. A partir do apa fornecido, calcule a área de inas Gerais. PROBLEA 4 k 7 Pode-se verificar que K = 3. Por exeplo, = = = k uns1 K 1. 7 uns (a) Escreva a representação decial do núero (b) Calcule o valor de elevado ao quadrado. dígitos três 20 10
2 PROBLEA 5 Nua festa de casaento há 500 pessoas. A partir das oito da noite, as pessoas coeça a deixar a festa assi: No prieiro inuto após as oito horas, ou seja, entre 20h00in00s e 20h00in5s, sae todos os que não tê aigo entre os presentes, caso haja algué nessas condições. No inuto seguinte, ou seja, entre 20h01in00s e 20h01in5s, vão ebora todos os que tê exataente 1 aigo entre os presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). Decorrido ais u inuto, ou seja, entre 20h02in00s e 20h02in5s, vão ebora todos os que tê exataente 2 aigos entre os que ainda estão presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). Entre 20h03in00s e 20h03in5s, vão ebora todos os que tê exataente 3 aigos entre os que ainda estão presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). E assi sucessivaente, para 4 aigos, 5 aigos, 6 aigos,..., 4 aigos. Finalente, quinhentos inutos transcorridos desde as oito da noite, às 04h20in00s da anhã, os últios presentes, caso haja algu, vão ebora e o salão de festas é fechado. Para responder aos itens abaixo considere que, infelizente, nesta festa não são feitas novas aizades. (a) Ua situação possível está representada na figura a seguir, e que os pontos representa as pessoas e dois pontos estão ligados caso as pessoas correspondentes seja aigas. A B Eseraldino Diaantino Cada u dos grupos A e B tê 24 pessoas. Cada ua das pessoas de u grupo é aiga de todas as pessoas do outro grupo e pessoas de u eso grupo não são aigas. Eseraldino é aigo de todas as pessoas do grupo A e Diaantino, de todas as pessoas do grupo B. E ningué é aigo de ais ningué. Na situação descrita acia, quantas pessoas fica até o salão fechar? (b) Existe algua situação e que as 500 pessoas fica até o salão fechar? Lebre-se que você deve justificar suas respostas.
3 XXIX OLIPÍADA PAULISTA DE ATEÁTICA Prova da Fase Final (5 de novebro de 2005) Nível β (7 a e 8 a séries do Ensino Fundaental) Folha de Perguntas Instruções: A duração da prova é de 3h30in. O tepo ínio de peranência é de 1h30in. Nesta prova há 5 questões. Cada questão vale 2,0 pontos. Preencha todos os dados solicitados no Bloco de Resoluções. Todas as respostas deve ser justificadas. Respostas e justificativas deve ser apresentadas no Bloco de Resoluções. Resoluções a tinta ou a lápis. É peritido o uso de calculadora. Ao terinar, entregue apenas o Bloco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas co você. PROBLEA 1 A seguir, apresentaos u apa estilizado dos estados de São Paulo (SP) e inas Gerais (G). Todos os vértices das regiões poligonais que representa os estados são ou vértices do quadriculado ou pontos édios de lados dos quadrados. SP G Segundo dados do IBGE, o estado de São Paulo te k 2 de área. (a) A partir do apa fornecido, calcule a área de inas Gerais. (b) Ainda segundo o IBGE, a área de inas Gerais é k 2. ostre que a diferença entre a área real e o valor calculado no ite (a) é enor do que 1% da área real (ou seja, que o erro percentual coetido é enor do que 1%). PROBLEA 2 Billie Bonka é dono de ua fabulosa indústria de doce de leite. Para anter a indústria funcionando, ele precisa coprar leite constanteente. O senhor Bonka tabé é u exíio ateático e adinistrador e concluiu que o gasto anual total C que ele te co copra e arazenage de leite é obtido a partir da equação Q D C = D P + C A + CS, e que 2 Q D é a deanda, ou seja, a quantidade de litros de leite necessária por ano para fabricar os aravilhosos doces de leite; P é o preço de u litro de leite; C A é o que se gasta para arazenar o leite ao longo de u ano; C S é o gasto co o serviço prestado pelo fornecedor de leite; Q é a quantidade de litros de leite coprada a cada pedido. Neste problea, deterinareos o enor valor possível para C. Sabeos que D = litros, P = 2 reais, C A = reais e C S = reais. (a) Quais são os possíveis valores de Q para os quais o gasto anual total C é R$ ,00? 2CS D (b) Billie Bonka aprendeu na Faculdade de Engenharia de Produção que o gasto anual ínio é obtido para Q =. CA Encontre o gasto anual total C ínio na situação apresentada.
4 PROBLEA 3 k 7 Pode-se verificar que K = 3. Por exeplo, = = = k uns1 K 1. 7 uns (a) Escreva a representação decial do núero x 1 x 1 (b) Siplifique e, então, fatore a expressão (c) ostre que existe u quadrado perfeito cuja representação decial inicia-se co 100 algarisos 1, isto é, os seus 100 prieiros algarisos da esquerda para a direita são todos iguais a 1. PROBLEA 4 Na figura a seguir, ABCD é u retângulo. A B 1 1 F (a) Calcule as edidas dos ângulos (b) ostre que CD = cosα + cosβ. α + β (c) Prove que AF = 2cos. 2 D α E β AF ˆ E e BA ˆ F e função de α e β. α + β α β (d) A partir dos itens anteriores, deonstre ua das fórulas de Prostaférese: cos α + cosβ = 2cos cos. 2 2 PROBLEA 5 Nua festa de casaento há 500 pessoas. A partir das oito da noite, as pessoas coeça a deixar a festa assi: No prieiro inuto após as oito horas, ou seja, entre 20h00in00s e 20h00in5s, sae todos os que não tê aigo entre os presentes, caso haja algué nessas condições. No inuto seguinte, ou seja, entre 20h01in00s e 20h01in5s, vão ebora todos os que tê exataente 1 aigo entre os presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). Decorrido ais u inuto, ou seja, entre 20h02in00s e 20h02in5s, vão ebora todos os que tê exataente 2 aigos entre os que ainda estão presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). Entre 20h03in00s e 20h03in5s, vão ebora todos os que tê exataente 3 aigos entre os que ainda estão presentes (só sai neste intervalo que satisfizer tal condição). E assi sucessivaente, para 4 aigos, 5 aigos, 6 aigos,..., 4 aigos. Finalente, quinhentos inutos transcorridos desde as oito da noite, às 04h20in00s da anhã, os últios presentes, caso haja algu, vão ebora e o salão de festas é fechado. (a) Ua situação possível está representada na figura a seguir, e que os pontos representa as pessoas e dois pontos estão ligados caso as pessoas correspondentes seja aigas. A B C Eseraldino Diaantino Cada u dos grupos A e B tê 24 pessoas. Cada ua das pessoas de u grupo é aiga de todas as pessoas do outro grupo e pessoas de u eso grupo não são aigas. Eseraldino é aigo de todas as pessoas do grupo A e Diaantino, de todas as pessoas do grupo B. E ningué é aigo de ais ningué. Na situação descrita acia, quantas pessoas fica até o salão fechar? (b) Existe algua situação e que 4 pessoas fica até o salão fechar? Lebre-se que você deve justificar suas respostas.
5 XXIX OLIPÍADA PAULISTA DE ATEÁTICA Prova da Fase Final (5 de novebro de 2005) Nível γ (1 a e 2 a séries do Ensino édio) Folha de Perguntas Instruções: A duração da prova é de 3h30in. O tepo ínio de peranência é de 1h30in. Nesta prova há 5 questões. Cada questão vale 2,0 pontos. Preencha todos os dados solicitados no Bloco de Resoluções. Todas as respostas deve ser justificadas. Respostas e justificativas deve ser apresentadas no Bloco de Resoluções. Resoluções a tinta ou a lápis. É peritido o uso de calculadora. Ao terinar, entregue apenas o Bloco de Resoluções e leve esta Folha de Perguntas co você. PROBLEA 1 Billie Bonka é dono de ua fabulosa indústria de doce de leite. Para anter a indústria funcionando, ele precisa coprar leite constanteente. O senhor Bonka tabé é u exíio ateático e adinistrador e concluiu que o gasto anual total C que ele te co copra e arazenage de leite é obtido a partir da equação Q D C = D P + C A + CS, e que 2 Q D é a deanda, ou seja, a quantidade de litros de leite necessária por ano para fabricar os aravilhosos doces de leite; P é o preço de u litro de leite; C A é o que se gasta para arazenar o leite ao longo de u ano; C S é o gasto co o serviço prestado pelo fornecedor de leite; Q é a quantidade de litros de leite coprada a cada pedido. Neste problea, deterinareos o enor valor possível para C. Sabeos que D = litros, P = 2 reais, C A = reais e C S = reais. (a) Quais são os possíveis valores de Q para os quais o gasto anual total C é R$ ,00? 2CS D (b) Billie Bonka aprendeu na Faculdade de Engenharia de Produção que o gasto anual ínio é obtido para Q =. CA Encontre o gasto anual total C ínio na situação apresentada. PROBLEA 2 Até alguas décadas atrás, calculadoras e coputadores não era tão couns. Quando queríaos saber, por exeplo, o valor de u logarito, tínhaos de consultar ua Tábua de Logaritos. Ua típica tábua de logaritos era forada por páginas e páginas de tabelas as quais peritia que o usuário obtivesse co boa aproxiação os valores de logaritos deciais. E 1881 (acredite, os coputadores não existia!), o ateático Sion Newcob publicou u artigo no qual observava que, nas tábuas de logaritos encontradas e bibliotecas, as prieiras páginas era as ais sujas e as páginas seguintes tornava-se progressivaente ais lipas. Pela aneira coo os logaritos era dispostos e tais tabelas, ele inferiu que os pesquisadores das diversas áreas das Ciências utilizava ais núeros coeçados co 1 do que coeçados por 2, ais núeros coeçados co 2 do que coeçados por 3 e assi por diante. Esta engenhosa observação levou-o a concluir que, nas Ciências, a probabilidade de que u núero tenha seu prieiro algariso significativo igual a d é 1 P( d) = log , 1 d. d A descoberta de Newcob passou despercebida até ser redescoberta pelo físico Benford que, ao analisar tabelas co dados tão diversos coo raízes quadradas e calores específicos de copostos, obteve evidência epírica para ela. Por este otivo, tal propriedade de probabilidades recebe o noe de Lei de Benford. (a) ostre que a função probabilidade P(d) está be definida, ou seja, P ( d) 0 para 1 d e a soa de todos os valores de P(d) é 1, isto é, P( 1) + P(2) + L + P() = 1. (b) Na lista de constantes físicas recoendada pelo Coittee On Data for Science and Technology há 183 constantes (dados de 18). Utilizando a Lei de Benford, estie o núero de constantes cujo prieiro algariso significativo é. Adote log , 4771.
6 PROBLEA 3 Dois tenistas, Berrando Geigei, o Geinho, e Kustavo Guerten, o Kuka, disputa o tiebreaker de u jogo de tênis. Nu tiebreaker, vence que fizer 7 pontos, vencendo co pelo enos dois pontos de vantage. Caso isto não ocorra, ou seja, se e algu oento o jogo estiver epatado e 6-6, o jogo continua até que u dos jogadores obtenha ua vantage de dois pontos. Alguas possíveis pontuações finais nu tiebreaker são 7-5, 7-0, 2-7, 6-8 e Suponha que Geinho, logo após ganhar o últio ponto, te probabilidade 0,5 de ganhar o próxio ponto. Contudo, se perder o últio ponto, Geinho fica ais atento e te probabilidade 0,7 de ganhar o ponto seguinte. E tênis, u ponto não pode terinar epatado, ou seja, as probabilidades de Kuka vencer nas duas situações citadas são 1 0,5 = 0,5 e 1 0,7 = 0,3, respectivaente. (a) Suponha que Geinho perdeu o prieiro ponto. Qual a probabilidade de Geinho vencer o terceiro ponto? (b) Seja p n, n inteiro positivo, a probabilidade de Geinho vencer o n-ésio ponto e q n = 1 p n a probabilidade de Kuka ganhar o n-ésio ponto. 0,5 0,5 Considere a atriz T =. Prove que a atriz ( p k + 1 qk +1) é igual ao produto ( pk qk ) T. 0,7 0,3 (c) Pode-se provar que a probabilidade de Geinho vencer o n-ésio ponto, para n suficienteente grande, fica arbitrariaente próxia do valor p tal que a atriz 1 2 = ( p 1 p) satisfaz = T. Calcule p. PROBLEA 4 (a) Seja ABC u triângulo e S a sua circunferência circunscrita. Seja L u ponto no arco AB de S o qual não conté C. Prove que os segentos AL e BL tê esa edida se, e soente se, CL é bissetriz do ângulo BC ˆ A. (b) Seja Γ ua circunferência e seja o segento AB u de seus diâetros. O plano α conté AB e é perpendicular ao plano da circunferência Γ. Seja C u ponto do plano α, fora da reta AB. A bissetriz do ângulo BC ˆ A corta AB e P. Seja DE ua corda de Γ a qual conté P. Prove que CP é bissetriz do ângulo DC ˆ E. PROBLEA 5 E 2002, foi descoberto u algorito que verifica se u núero é prio ou não e tepo polinoial, ou seja, de odo relativaente rápido. Ua grande conquista da ateática do nosso século! Coo se calculou o tepo que esse algorito deora? U dos passos cruciais para esse cálculo está relacionado co as estiativas que fareos a seguir (a) Sabendo que + + = L 2 1, prove que < 2 + para todo inteiro positivo. (b) Definios n, o priorial de n, coo o produto de todos os prios positivos enores ou iguais a n. Por exeplo, 12 = (2 + 1) Prove que divide ( + 1) (2 e conclua que ( + 1) (c) Deonstre que 2005 < ( ) ) 2 < 2.
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