PISM 3 QUESTÕES ABERTAS GABARITO

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1 PISM 3 QUESTÕES ABERTAS GABARITO ) Deterine a equação da circunferência que passa pelos pontos A,5, B6, 3 e 0, Seja r a reta que passa pelos pontos A e B e s a reta que passa pelos pontos B e C. Coeficientes angulares das retas r e s: a r e a s Seja M e N os pontos édios dos segentos AB e BC, respectivaente. Então te-se: M, 4, N, 8,. Seja e n as ediatrizes dos segentos AB e e C. BC, respectivaente. Coo essas retas são perpendiculares às retas r e s, respectivaente, te-se que: Coeficiente angular das retas e n: a a r e a n. a s ou Equação da reta : y x 4 y x. Equação da reta n: y x 8 ou y x 4. O centro O da circunferência se encontra na interseção das retas e n. Resolvendo o sistea y x ` y x4 encontra-s 6 e y, que são as coornadas do centro da circunferência. O raio R ssa circunferência é dado, por exeplo, coo a edida do segento OA. Então R d O, A Portanto, a equação da circunferência é x y 6 5.

2 ) Consire o sistea a z x az 0 ay z x ay a z sendo a. Classifique o sistea e função dos parâetros a e. ª Note inicialente que a 4ª equação po ser otida soando-se a ª e a 3ª equações do sistea. Portanto, po-se sconsirar a 4ª equação do sistea dado, pois esta é redundante, não agrega nova inforação. Coo a, da ª equação te-se z. Sustituindo esse valor z na: a ª equação, oté-se: a x ; a 3ª equação, oté-se: ay, ou seja, a a ay, don a a y a a, para a 0. Portanto, o sistea te solução única se a e a 0. Finalente, se a 0, o sistea se reduz a: que só terá solução se z x 0 z e, nesse caso terá infinitas soluções pois todo terno ornado da fora 0, y, será ua solução do sistea, qualquer que seja y. Assi, se a 0 e, o sistea não terá solução. Assi, o sistea a) adite solução única quando a e a 0, qualquer que seja. ) adite infinitas soluções quando a 0 e. c) não adite solução quando a 0 e.

3 ª Da ª equação te-se: z, já que a. Sustituindo esse valor z na ª e 3ª equações oté-se, a a a respectivaente, x e y, isto para a 0. a a a Verificando estes valores na 4ª equação te-se: a a a a a x ay a z a a a aa, já que a a a a a. Logo, para a e a 0, o sistea te solução única, que é dada por Finalente, se a 0, o sistea se reduz a: que só terá solução se a, a S, a aa a. z x 0 z e, nesse caso terá infinitas soluções pois todo terno ornado da fora 0, y, será ua solução do sistea, qualquer que seja y. Assi, se a 0 e, o sistea não terá solução.

4 3) Seja p x u polinôio tal que por qx xx 4 Sae-se que. p0 e p p 9. Deterine o resto da divisão p x 4 p x q x d x r x x x d x r x (*) on d x e rx são respectivaente o quociente e o resto da divisão euclidiana seja, gr r x gr qx 3. Daí resulta que gr r x Logo r x ax x c, para certos a, e c reais.. p x por q x, ou Coo são conhecidos os valores p 0, p e p, calculareos seus valores a partir (*): p q d r d r r c p q d r 4 d r r 4a c p q d r 4 d r r 4a c Daí se o oté o sistea: Don se oté: c 4a c 9 4a c 9 4a8 4a8 Soando as duas equações te-se a e, consequenteente, 0. Logo, o resto da divisão do polinôio p x por q x é o polinôio r x x.

5 4) Seja 3 p x ax x a sendo a 0. a) Mostre que p x te duas raízes distintas. Te-se que Consirando agora o trinôio 4a 3a 4 a 8a 43a a. q a 3a a, te-se que: Portanto, qa 0 para todo a. Consequenteente, 0 para todo a, já que 4 qa. Assi, p x te duas raízes distintas, qualquer que seja * a. ) Suponha que as raízes x p x satisfaça x x. Mostre que a p 0. Há dois casos a sere analisados: º) a 0. Neste caso a paráola te concavida voltada para cia e coo está entre as raízes x p x, segue que p 0. Logo, a p 0. º) a 0. Neste caso a paráola te concavida voltada para aixo e coo está entre as raízes x p x, segue que p 0. Logo, a p 0. Portanto, ap 0. c) Calcule os valores a para que as raízes x do polinôio p x satisfaça a relação x x. Se as raízes x p x satisfaz x, então, do ite () po-se afirar que a p 0. p a 3a a 4. Mas a a 4 a 4a 0, don Assi, a a 0, ou seja, aa 0. Daí ve que a ou a 0.

6 5) Dada ua reta r no plano, seu coeficiente angular r fornece sua inclinação e relação ao eixo das ascissas, e é finido pela tangente, on 0 e, sendo o ângulo que a reta r fora co o sei-eixo positivo das ascissas. O coeficiente angular po ser facilente calculado se conheceos dois pontos, P xp y P e Q, Q Q x y pertencentes à reta r. De fato r MQ yq yp tg. MP x x Q P Dados três ou ais pontos no plano, dizeos que eles são colineares se pertence a ua esa reta. Usando a noção coeficiente angular, verifique se os pontos, B,3 e C 6,6 são colineares. A, Os pontos A, B e C serão colineares se pertencere à ua esa reta. Seja Seja s o coeficiente angular da reta s finida pelos pontos A e B. Então: yb ya 3 s. x x t o coeficiente angular da reta t finida pelos pontos B e C. Então: Coparando os valores encontrados para B A yc yb t. x x 6 5 s e distinta daquela que passa pelos pontos B e C. C B t concluíos que a reta que passa pelos pontos A e B é Portanto os pontos A, B e C não são colineares. Veja a representação aaixo.