Teoria do Consumidor: Equilíbrio e demanda. Roberto Guena de Oliveira 18 de Março de 2017

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1 Teoria do Consuidor: Equilíbrio e deanda Roberto Guena de Oliveira 18 de Março de

2 Estrutura geral da aula Parte 1: Restrição orçaentária Parte 2: Equilíbrio Parte 3: Deanda 2

3 Parte I Restrição orçaentária 3

4 Restrição orçaentária Hoogeneidade de grau zero da restrição orçaentária 4

5 Restrição orçaentária Hoogeneidade de grau zero da restrição orçaentária 5

6 Notação: x = (x 1, x 2,..., x L ): eleento genérico de X; p = (p 1,,..., p L ): vetor de preços; : renda da consuidora; 6

7 Restrição orçaentária O valor da cesta de bens escolhida não pode ultrapassar a renda onetária: p 1 x 1 + x p L x L, ou ou ainda, L p i x i, i=1 p x. 7

8 Conjunto e linha de restrição orçaentária Conjunto de restrição orçaentária (B) é o conjunto das cestas de bens copatíveis co a restrição orçaentária: B p, = {x X : p x }. Linha de restrição orçaentária (LRO) É o conjunto das cestas de bens que atende a restrição orçaentária co igualdade: LRO p, = {x X : p x = }. 8

9 LRO: representação gráfica para X = R 2 + x 2 p 1 x 1 + x 2 = LRO p, p1 p 1 p1 x 1 9

10 B p, : representação gráfica para X = R 2 + x 2 B p, p 1 x 1 + x 2 < p 1 p 1 x 1 10

11 LRO: efeito de variações na renda Auento de renda x 2 Redução na renda x 2 p 1 p 1 x 1 p 1 p 1 x 1 11

12 LRO: efeito de variações e p 1 Efeito de u auento e p 1 x 2 Efeito de ua redução e p 1 x 2 p 1 1 p 1 1 p 0 1 x 1 p 0 1 p 1 1 x 1 12

13 LRO: efeito de variações e Efeito de u auento e x 2 Efeito de ua redução e x 2 p 1 2 p 0 2 p 0 2 p 1 2 p 1 x 1 p 1 x 1 13

14 Renda coo valor de ua dotação inicial Por vezes, é adequado odelar = p w e que w é chaada dotação inicial da consuidora. Nesse caso, a restrição orçaentária pode ser reescrita coo: p 1 x 1 + x p L x L p 1 w 1 + w p L w L ou, ais sucintaente, x p p w. 14

15 Renda coo valor de ua dotação inicial: consequências A linha de restrição orçaentária sepre passa sobre a dotação inicial. Alterações nos preços afeta não apenas os preços relativos, as a renda. 15

16 LRO LRO co dotação inicial x 2 p w w 2 p1x 1 + x 2 = p 1 w 1 + w 2 w w 1 p 1 p w p 1 p1 x 1 16

17 CRO co dotação inicial x 2 p w w 2 w B p, p x < p w w 1 p 1 p w p 1 x 1 17

18 LRO co dotação inicial: efeito de ua elevação e p 1 / x 2 w 2 w w 1 p 0 1 p 0 2 x 1 18

19 LRO co dotação inicial: efeito de ua redução e p 1 / x 2 w 2 w p 1 1 p 1 2 p 0 1 p 0 2 w 1 x 1 19

20 Restrição orçaentária Hoogeneidade de grau zero da restrição orçaentária 20

21 Hoogeneidade de grau zero do CRO Para qualquer α > 0, se então Mais sucintaente, se α > 0, p 1 x 1 + x p n x L αp 1 x 1 + α x αp n x L α. αp x α se, e soente se, p x Portanto, para qualquer α > 0, B αp,α = B p,. Por essa razão, dizeos que B p, é hoogêneo de grau zero e relação a preços e renda. 21

22 Hoogeneidade de grau zero da LRO Para qualquer α > 0, se então Mais sucintaente, se α > 0, p 1 x 1 + x p L x L = αp 1 x 1 + α x αp L x L = α. αp x = α se, e soente se, p x = Portanto, para qualquer α > 0, LRO αp,α = LRO p,. Por essa razão, dizeos que a LRO é hoogênea de grau zero e realação a preços e renda. 22

23 Escolhendo u be coo unidade de conta Fazendo α = 1 p 1, B p1,,..., = B 1, p 1,..., p L p1, p 1 Façaos p i = p i p 1, i = 1,..., L, e = p 1. B p1,,..., = B 1, p2,..., p L, Assi, qualquer restrição orçaentária pode ser representada por u sistea de preços no qual a unidade de contas é u dos bens. O be usado coo unidade de conta (no caso o be 1) é chaado nuéraire. 23

24 Linha de restrição orçaentária quando o be 2 é o nuéraire x 2 p 1 x 1 24

25 Parte II equilíbrio 25

26 Equilíbrio: análise gráfica Equilíbrio co L bens. 26

27 Equilíbrio: análise gráfica Equilíbrio co L bens. 27

28 Solução interior x 2 x 2 x p 1 x 1 p 1 x 1 28

29 Propriedades da solução interior Assuindo não saciedade local, o equilíbrio ocorre na linha de restrição orçaentária: p 1 x 1 + x 2 =. Condição de tangência: se a solução é interior (x 1, x 2 > 0), e a TMS é definida, então TMS(x ) = UMg 1 (x ) UMg 2 (x ) = p 1. 29

30 Interpretação TMS > p 1 / TMS unidades do be 2 que a consuidora está disposta a deixar de consuir para consuir ua unidade adicional do be 1. p 1 unidades do be 2 que a consuidora precisa deixar de consuir para poder coprar ua unidade adicional do be 1. Se TMS > p1, para consuir ua unidade adicional do be 1 a consuidora precisa abrir ão de ua quantidade de consuo do be 2 inferior à quantidade da qual está disposta a abrir ão. 30

31 Interpretação: TMS > p 1 / x 2 x Na cesta (x), TMS > p 1 /. A consuidora pode atingir ua curva de indiferença ais elevada escolhendo ua cesta de bens sobre a linha de restrição orçaentária ais à direita. p 1 p 1 x 1 31

32 Interpretação: TMS < p 1 / TMS quantidade ínia do be 2 que a consuidora aceita e troca da redução de u unidade de consuo do be 1. p 1 unidades adicionais do be 2 que a consuidora pode adquirir caso reduza o consuo do be 1 de ua unidade. Se TMS < p1, ao deixar de consuir ua unidade do be 1, a consuidora poderá adquirir ua quantidade do be 2 superior à que seria necessária para copensá-la pela redução no consuo do be 1. 32

33 Interpretação: TMS < p 1 / x 2 Na cesta (x), TMS > p 1 /. A consuidora pode atingir ua curva de indiferença ais elevada escolhendo ua cesta de bens sobre a linha de restrição orçaentária ais à esquerda. x p 1 p 1 x 1 33

34 Utilidade arginal do gasto UMg i p i indica de quanto cresce a utilidade da consuidora por unidade onetária e virtude de u pequeno auento no gasto co a aquisição desse be aquisição do be i. Essa taxa é chaada utilidade arginal do gasto co o be i. 34

35 Condição de equilíbrio reinterpretada Condição de tangência: TMS(x ) = UMg 1 (x ) UMg 2 (x ) = p 1 Rearranjando: UMg 1 (x ) p 1 = UMg 2 (x ) = λ. λ é chaada utilidade arginal da renda. 35

36 Casos al coportados: TMS indefinida. x 2 x p 1 p 1 x 1 36

37 Casos al coportados: infinitos equilíbrios x 2 p 1 p 1 x 1 37

38 Casos al coportados: últiplos equilíbrios x 2 x x p 1 x 1 38

39 Casos al coportados: ponto de ínio x 2 x p 1 x 1 39

40 Casos al coportados: áxios locais não globais x 2 Máxio local, as não global x Máxio global x x 1 40

41 Casos al coportados: solução de canto (x 2 = 0) x 2 p 1 x x 1 41

42 Casos al coportados: solução de canto (x 1 = 0) x 2 x p 1 x 1 42

43 Solução de canto sobre o eixo horizontal p 1 x 1 + x 2 =, x 2 = 0 TMS(x ) = UMg 1 (x ) UMg 2 (x ) p 1 UMg 2 (x ) UMg 1 (x ) p 1 = λ. 43

44 Solução de canto sobre o eixo vertical Reescrevendo a últia condição: p 1 x 1 + x 2 =, x 1 = 0 TMS(x ) = UMg 1 (x ) UMg 2 (x ) p 1 UMg 1 (x ) UMg 2 (x ) = λ p 1 44

45 Equilíbrio: análise gráfica Equilíbrio co L bens. 45

46 O problea de axiização de utilidade Maxiizar U(x) dadas as restrições p x x i 0, i = 1,..., L, 46

47 Existência de solução Se os preços e a renda são positivos e as preferências são contínuas, então o problea de axiização de utilidade te solução. 47

48 Solução condições de prieira orde O lagrangeano desse problea é L L = U(x) λ(p x ) + µ i x i Assuindo não saciedade local, as condições de prieira orde são i=1 co µ i = 0 caso x i UMg i (x ) = λ p i µ i > 0 e µ i > 0 caso x i = 0. 48

49 Solução condições de prieira orde Se x i > 0 e x j > 0, então, ou ainda, UMg i (x ) p i = λ = UMg j (x ) p j, UMg i (x ) UMg j (x ) = p i p j. Se x i = 0 e x j > 0, então, ou ainda, UMg i (x ) p i = λ µ i p i λ = UMg j (x ) p j, UMg i (x ) UMg j (x ) p i p j. 49

50 Condição suficiente de segunda orde Se as preferências fore convexas então, as condições de áxio condicional de segunda orde estão garantidas. Adeais, se as preferências fore estritaetne convexas, o equilíbrio será único. 50

51 Parte III Deanda 51

52 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 52

53 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 53

54 Correspondência de deanda Função que te por arguentos o vetor de preços e a renda de ua consuidora e retorna o conjunto das cestas de equilíbrio dessa consuidora, ou seja, o conjunto das cestas de bens x tais que x B p, e, para qualquer cesta de bens x B p,, x x. Notação: x (p, ) 54

55 Função de deanda No caso e que, para quaisquer p 0 e > 0, x (p, ) é u conjunto unitário, podeos definir ua função de deanda, tabé notada por x (p, ), que associa a cada vetor de preços positivos e renda, ua única escolha ótia do consuidor. O coponente i da função de deanda, xi (p, ), é chaado de função de deanda do be i, i = 1,..., L. 55

56 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 56

57 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 57

58 Preferências Cobb-Douglas Função de utilidade: U(x 1, x 2 ) = x1 ax 2 b, co a, b > 0. Condições de áxio de 1ª orde: e TMS = p 1 a x 2 = p 1 b x 1 p 1 x 1 + x 2 =. Solução: x 1 (p 1,, ) = a e x2 (p 1,, ) = b a + b p 1 a + b 58

59 Deanda Cobb-Douglas: peculiaridades O valor gasto co cada u dos bens é ua fração da renda que não depende dos preços e da renda: p 1 x 1 (p, ) = p 1 a a+b p 1 = a a + b. A deanda de cada be não é afetada pelo preço do outro be (bens independentes). A solução é sepre ua solução interior. 59

60 Exeplo específico 1 U(x 1, x 2 ) = x 1 x 2. x1 (p 1,, ) = 1 e x2 (p 1,, ) = 1. 2 p

61 Exeplo específico 2 U(x 1, x 2 ) = 2 ln x ln x 2. Considere V (x 1, x 2 ) = e U(x1,x2) = x1 2 x2 3 Solução: x1 (p 1,, ) = 2 e x2 (p 1,, ) = 3. 5 p

62 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 62

63 Substitutos perfeitos. U(x, y) = ax 1 + x 2. TMS = a 63

64 Prieira possibilidade p 1 > a x 2 x p 1 x 1 64

65 Segunda possibilidade p 1 = a x 2 p 1 x 1 65

66 Terceira possibilidade p 1 < a x 2 p 1 x x 1 66

67 Exeplo: substitutos perfeitos correspondência de deanda )} {(0, p2 x (p 1,, ) = {(x 1, x 2 ) X : p 1 x 1 + x 2 = } {( )}, 0 p1 caso p1 caso p1 caso p1 > a = a < a 67

68 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 68

69 Função de utilidade U(x 1, x 2 ) = in{ax 1, bx 2 } 69

70 Copleentares perfeitos x 2 a x p 1 p 1 x 1 70

71 Copleentares perfeitos: funções de deanda Desde que os preços seja positivos o equilíbrio será e u vértice de curva de indiferença: x 2 = ax 1 e sobre a linha de restrição orçaentária: p 1 x 1 + x 2 =. Assi, as funções de deanda dos bens 1 e 2, respectivaente serão x 1 (p 1,, ) = e x2 (p 1,, ) = a. p 1 + a p 1 + a 71

72 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 72

73 A função de utilidade CES Quatro possibilidades: U(x 1, x 2 ) = [ax ρ 1 + (1 a)x ρ 2 ] 1 ρ 1. se ρ > 1 as curvas de indiferença são côncavas e relação à orige; 2. se ρ = 1 os dois bens são substitutos perfeitos; 3. se ρ < 1 as preferências são convexas; 4. se ρ = 0 as preferências são do tipo Cobb Dougas. 73

74 Exeplo: preferências CES co ρ < 1 U(x 1, x 2 ) = [ax ρ 1 + (1 a)x ρ 2 ] 1 ρ, co a, b > 0. Condições de áxio de 1ª orde: e TMS = p 1 a 1 a ( x2 x 1 p 1 x 1 + x 2 =. ) 1 ρ = p 1 74

75 Exeplo: preferências CES co ρ < 1 Solução: e e que ( ) a σ x1 (p 1,, ) = p 1 a σ p1 1 σ + (1 a) σ p2 1 σ ( ) 1 a σ x2 (p 1,, ) = a σ p1 1 σ + (1 a) σ p2 1 σ σ = 1 1 ρ. 75

76 Preferências CES: exeplo específico 1. U(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Para transforar e u função CES, aplicaos transforação onotônica [ ] U(x1, x 2 ) 2 [ 1 V (x 1, x 2 ) = = 2 2 x ] 2 2 x Funções de deanda: x 1 (p 1,, ) = p 1 ( + p 1 ) e x 2 (p 1,, ) = p 1 p2(p 1 + ). 76

77 Preferências CES: exeplo específico 2. U(x 1, x 2 ) = ( 1 2 x ) 1 2 x 2 1 Funções de deanda: x 1 (p 1,, ) = p 1 + p 1 e x 2 (p 1,, ) = + p 1. 77

78 Preferências CES co ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades e cada possível solução de canto são: ( ) [ ( ) ρ ] 1 u 1 = U, 0 = a + (1 a) 0 ρ ρ 1 = a ρ p 1 p 1 p 1 e ) u 2 = U (0, p2 = [ a 0 ρ + (1 a) ( ) ρ ] 1 ρ = (1 a) 1 ρ Coparando as duas utilidades, sabendo que 0 < a < 1 e p 1 > 0: u 1 u 2 a 1 ρ (1 a) 1 ρ p ( ) 1 1 a ρ p 1 1 a 78

79 Preferências CES co ρ > 1 {( )}, 0 caso p1 p1 {( ) )} x (p 1,, ) =, 0, (0, p1 p2 )} {(0, p2 < ( ) 1 a ρ 1 a caso p1 ( caso p1 > a 1 a = ) 1 ρ ( ) 1 a ρ 1 a 79

80 Preferências CES co p ( ) 1 1 a ρ < 1 a x 2 ótio local x não é ótio x ótio global x x 1 80

81 Preferências CES co p ( ) 1 1 a ρ = 1 a x 2 x não é ótio x x x 1 81

82 Preferências CES co p ( ) 1 1 a ρ > 1 a x 2 x ótio global não é ótio x ótio local x x 1 82

83 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 83

84 As curvas de renda consuo e de Engel Curva de renda consuo Curva de Engel x x1 0 x1 1 x 1 20 x1 3 p 1 1 p 1 2 p 1 3 p 1 x 1 x1 0 x1 1 x1 2 x1 3 x 1 84

85 Possíveis sinais da resposta da deanda a variações na renda Quando a renda de ua consuidora varia, sua deanda por u be pode: variar na esa direção que a renda, caso e que se diz que o be se coporta coo u be noral; variar na direção oposta à da renda, caso le que se diz que o be se coporta coo u be inferior; ou não variar; nesse caso alguns autores classifica o be coo noral e, outros, coo u caso especial, ne noral ne inferior. 85

86 Exeplo: preferências quase-lineares Curva de renda consuo Curva de Engel x x 0 p 1 x p 1 2 p 1 3 p 1 x 1 4 p 1 x 0 1 x x 1 86

87 Exeplo de u be inferior Curva de renda consuo Curva de Engel x x 0 p 1 x 4 1 x 3 1 x 2 1 x 1 p 1 x x 0 1 x 4 1 x 3 1 x 2 2 p 1 1 x 1 1 x 1 87

88 Exeplo: preferências hootéticas Curva de renda consuo Curva de Engel x x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 88

89 Curvas de preço consuo e de deanda Curva de preço consuo Curva de deanda x 2 p 1 p 0 1 p 1 1 x 0 1 x1 1 x1 2 x1 3 x p x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x

90 Possíveis sinais da resposta da deanda de u be a variações e seu preço Quando o preço de u be varia, sua deanda pode: variar e direção oposta à da variação do preço, caso e que se diz que o be se coporta coo u be cou; não variar, caso e que se diz que a deanda é copletaente inelástica e relação ao preço; ou variar na esa direção que a variação no preço, caso e que se diz que o be se coporta coo u be de Giffen. 90

91 Exeplo de u be de Giffen Curva de preço consuo Curva de deanda x 2 p 1 p 5 1 p 4 1 p p 1 1 x 51 x 0 x 2 1 x 3 1 x x 1 p 0 1 x 51 x 2 1x xx x 1 91

92 Exeplo: substitutos perfeitos Curva de preço consuo p 1 Curva de deanda p 1 x 1 x 1 92

93 Exeplo: preferências não convexas Curva preço consuo Curva de deanda x 2 p 1 p 7 1 x x x x 7 2 p 6 1 p x 7 x x 5 1 x 4 1 x 4 1 x 3 1 x 2 1 x 1 x 1 1 x 7 x x 5 1 x 4 1 x 4 1 x 3 1 x 2 1 x 1 x

94 Possíveis sinais da resposta da deanda de u be a variações no preço de outro be Quando o preço do be i varia, a deanda do be j pode: variar e direção oposta à da variação do preço do be i, caso e que se diz que o be j é copleento (bruto) do be i. não variar, caso e que se diz que a deanda é independente e relação ao preço do be i; ou variar na esa direção que a variação no preço do be i, caso e que se diz que o be j é substituto (bruto) do be i. 94

95 Copleentares e substitutos Be 2 é copleento do be 1 x 2 Be 2 é substituto do be 1 x 2 x2 4 x2 3 x2 x2 1 x2 0 x2 11 x2 12 x x x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 4 x x x x x x 1 x

96 Bens independentes x 2 x x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 96

97 Função de deanda Exeplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Copleentares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Deanda co dotação inicial 97

98 Deanda líquida e deanda bruta No caso e que o consuidor, ao invés de renda, possui ua dotação inicial w, definios: A deanda bruta pelo be i é dada por x i (p, p w). A deanda líquida do be i é dada por d i (p) = x i (p, p w) w i. 98

99 Deandas bruta e líquida x 2 w 2 w x 2 d2(<0) d 1(>0) x p 1 w 1 x 1 x 1 99

100 Exeplo Para a função de utilidade U(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, e u consuidor co dotações iniciais w 1, w 2, as funções deanda bruta são x 1 = p 1w 1 + w 2 2p 1 e x 2 = p 1w 1 + w 2 2, e as funções de deanda líquida são e d 1 = p 1w 1 + w 2 w 1 = w 2 w 1 2p 1 2p 1 2 d 2 = p 1w 1 + w 2 2 w 2 = p 1w 1 2 w 2 w. 100

101 Preço consuo e deanda co dotação inicial Curva de preço consuo x2 4 2 Curva de deanda bruta p x 3 2 x 2 2 w p 4 1 p 3 1 x x1 4 x1 3 x 2 1 x 1 1 x 1 x1 0 p1 2 p 1 0 x1 4 x1 3 wx x 1 1 x 1 x

102 Preço consuo e deanda líquida Curva de preço consuo x 2 Curva de deanda líquida p w x 1 d 1 102

103 Dois efeitos de ua elevação no preço de u be Auento no preço relativo do be, o que faz co que, caso o be seja noral, sua sua deandada caia. Auento no valor da dotação inicial de todos os consuidores que possue dotação inicial positiva desse be, o que faz co que a quantidade deandada do be auente caso ele seja noral. O efeito líquido do auento no preço do be sobre sua deanda é incerto. Caso o efeito seja positivo, isso não significa que o be seja de Giffen. Para que o be seja de Giffen, é necessário que sua quantidade deandada auente co ua elevação e seu preço, antidados constantes a renda do consuidor e os preços dos outros bens. 103

104 Parte IV Elasticidade 104

105 Definição e interpretação gráfica Propriedades Elasticidades da deanda Propriedades das elasticidades da deanda 105

106 Definição e interpretação gráfica Propriedades Elasticidades da deanda Propriedades das elasticidades da deanda 106

107 Elasticidade: definição Seja f (x 1,..., x n ) ua função qualquer. A elasticidade dessa função e relação x i no ponto (x 1,..., x n ) é definida coo / f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x) xi E i f (x) = li x i 0 f (x) x i f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x) x i = li x i 0 x i f (x) f (x) x i = x i f (x). 107

108 Elasticidade: interpretação gráfica f (x) f (x ) f (x ) b f (x ) b a x a x x x x E x f (x ) = f (x ) f (x ) = f (x ) x (x a) f (x ) = x x a = f (x ) b f (x ) 108

109 Elasticidade: interpretação gráfica eixos trocados x x f (x ) b a x f (x ) b x a f (x ) f (x) x E x f (x ) = f (x ) f (x ) = f (x ) x (x a) f (x ) = x x a = f (x ) b f (x ) 109

110 Elasticidade e logaritos d ln f (x) d ln x i = d d ln x i ln f (x 1,..., e ln x i,..., x n ) 1 = f (x 1,..., e ln x i,..., xn ) = 1 f (x) x i f (x) x i f (x) x i = x i f (x) = E i f (x). f (x) e ln x i x i 110

111 Elasticidade: interpretação gráfica II ln f (x) ln f (x ) E x f (x ) ln x ln x 111

112 Definição e interpretação gráfica Propriedades Elasticidades da deanda Propriedades das elasticidades da deanda 112

113 Elasticidade: propriedades Elasticidade e onotonicidade Se x i > 0 e f (x) > 0 então a f (x) será localente crescente, constante ou decrescente e relação a x i caso, respectivaente E i f (x) > 0, E i f (x) = 0 ou E i f (x) < 0. Núero puro A elasticidade não possui unidade de edida é u núero puro. Elasticidade de ua constante E i a = 0 para qualquer a R Elasticidade do produto por u escalar E i (af (x)) = E i f (x) para qualquer a 0 R 113

114 Elasticidade: propriedades Elasticidade da potência E i (f (x) a ) = ae i f (x) para qualquer a 0 R Elasticidade da função indentidade E x x = 1 Elasticidade do produto entre funções E i (f (x)g(x)) = E i f (x) + E i g(x). Elasticidade da razão entre funções E i f (x) g(x) = E i f (x) E i g(x). 114

115 Definição e interpretação gráfica Propriedades Elasticidades da deanda Propriedades das elasticidades da deanda 115

116 Notação para elasticidade da função de deanda Elasticidade renda da deanda pelo be i ɛ i, = E x i (p, ) = x i(x, ) x i (p, ) = d ln x i(x, ) d ln. Elasticidade preço cruzada da deanda pelo be i e relação ao preço pelo be j ɛ i,j = E j x i (p, ) = x i(x, ) p j p j x i (p, ) = d ln x i(x, ). d ln p j Elasticidade preço próprio da deanda pelo be i ɛ i = ɛ i,i = E i x i (p, ) = x i(x, ) p i p i x i (p, ) = d ln x i(x, ) d ln p i. 116

117 Elasticidade renda da participação de u be no orçaento do consuidor Defina s i (p, ) = p ix i (p, ). Usando as fórulas das elasticidades do produto por u escalar, da razão e da função identidade, obteos E s i (p, ) = ɛ i, (p, ) 1. Assi, bens de luxo (ɛ i, > 1) auenta sua participação no orçaento co auentos na renda, o contrário ocorrendo co bens essenciais (0 ɛ i, 1) e inferiores (ɛ i, < 0). 117

118 Classificação da deanda confore sua elasticidade renda Bens inferiores Se ɛ i, (p, ) < 0, a deanda pelo be i é decrescente na renda no ponto (p, ) e o be dito é dito inferior nesse ponto. Bens norais Se ɛ i, (p, ) > 0, a deanda pelo be i é não decrescente na renda no ponto (p, ) e o be dito é dito noral nesse ponto. Bens essenciais ou necessários Se 0 < ɛ i, (p, ) < 1, o be i é dito essencial ou necessário no ponto (p, ). Bens de luxo Se ɛ i, (p, ) > 1, o be i é dito de luxo no ponto (p, ). 118

119 Elasticidade preço próprio do gasto co a aquisição de u be E pi [p i x i (p, )] = 1 + E pi x i (p, ) = 1 + ɛ i Portanto, para pequenas variações e p i, Se ɛ i < 1 ( ɛ i > 1, para bens couns), então o gasto co a aquisição do be i varia e sentido contrário a seu preço; se ɛ i > 1 ( ɛ i > 1, para bens couns), então o gasto co a aquisição do be i varia no eso sentido que seu preço; se ɛ i = 1 ( ɛ i = 1, para bens couns), então o gasto co a aquisição do be i é localente estável e relação a seu preço. 119

120 Classificação da deanda confore a elasticidade preço próprio O be i será classificado coo Be de Giffen caso ɛ i > 0; Be cou caso ɛ i < 0; u be cou pode ter deanda elástica caso ɛ i > 1; deanda inelástica caso ɛ i < 1 não há noe específico para os casos e que ɛ = 1. Não há noe específico para o caso e que ɛ i =

121 Exeplo: deanda linear Função de deanda: x = a bp, a, b > 0. Elasticidade: ɛ = b p x = b p a bp = p p a. b Elasticidade por intervalos: p < a a ɛ < 1; 2b 2b < p < a b ɛ > 1. Elasticidade e pontos notáveis: p = a 2b ɛ = 1; li ɛ = ; p = 0 ɛ = 0. p a b 121

122 Exeplo: deanda linear Ponto no trecho elástico p Ponto no trecho inelástico p a b p ɛ = p p a b > 1 a b ɛ = ˆp ˆp a b < 1 a 2b a 2b ˆp x a 2 a x a 2 ˆx a x 122

123 Exeplo: deanda linear Ponto édio p a b ɛ = p p a b = 1 Elasticidade por trechos p a b ɛ = ɛ > 1 p = a b a 2b ɛ = 1 ɛ < 1 ɛ = 0 x = a 2 a x a 2 a x 123

124 Definição e interpretação gráfica Propriedades Elasticidades da deanda Propriedades das elasticidades da deanda 124

125 Hoogeneidade de grau zero Coo o conjunto de restrição orçaentária é hoogêneo de grau zero, a função de deanda tabé é hoogênea de grau zero, ou seja, para qualquer real α > 0 e todo i = 1,..., L, x i (αp, α) = x(p, ) Pelo teorea de Euler, p 1 x i (p, ) + x i (p, ) + + p L x i (p, ) + x i (p, ) = 0 x i p 1 x i x i p L x i Isto é, ɛ i,1 + ɛ i,2 + + ɛ i,l + ɛ i, =

126 Agregação de Engel Assuindo preferências localente não saciáveis, deveos ter p 1 x 1 (p, ) + x 2 (p, ) + + p L x L (p, ) = Por se tratar de ua identidade, podeos diferenciar a igualdade dos dois lados e relação a para obter p 1 x 1 (p, ) + x 2 (p, ) xl (p, ) + + p L = 1 p 1 x 1 x 1 x1 + x2 x 2 x2 + + p LxL x L x L = 1 s 1 ɛ 1, + s 2 ɛ 2, + + s L ɛ L, = 1 126

127 Agregação de Cournot Assuindo preferências localente não saciáveis, deveos ter p 1 x 1 (p, ) + x 2 (p, ) + + p L x L (p, ) = Por se tratar de ua identidade, podeos diferenciar a igualdade dos dois lados e relação a p i para obter xi x1 (p, ) x2 (p, ) xl (p, ) p p L = 0 p i p i p i xi p i + p 1x1 p i x1 x1 + x2 p i p i x2 x2 + + p LxL p i p i xl x L p i = 0 s 1 ɛ 1,i + s 2 ɛ 2,i + + s L ɛ L,i = s i 127

128 Parte V Exercícios 128

129 129

130 Questão 1, exae de 2017 U consuidor te preferêncis descritas pela função U(x, y) = x + y, sendo os preços dos bens x e y representados por p x e p y e a renda por R. Diga se as afirações que se segue são falsas ou verdadeiras: 0 Se p x = $2, p y = $1 e R = $300, então o agente axiizador de utilidade escolherá a cesta de consuo (x, y) = (50, 200); V 1 Utilizando os valores calculados no ite anterior, λ = representa quanto auenta o valor de U(x, y) causado por u pequeno auento na renda noinal disponível; F 2 A TMS (taxa arginal de substituição) será igual a x/y que ostra que as curvas de indiferença são estritaente convexas e relação à orige; F 130

131 Questão 1, exae de 2017 U consuidor te preferêncis descritas pela função U(x, y) = x + y, sendo os preços dos bens x e y representados por p x e p y e a renda por R. Diga se as afirações que se segue são falsas ou verdadeiras: 3 A função deanda pelo be y é dada pela expressão 1 2 p y F 4 O exae da função deanda pelo be x ostra que esse be é inferior, as não o bastante para se tratar de u be de Giffen. F R 131

132 Questão 3, exae de 2010 Co relação à classificação dos bens (e noral, de luxo, necessário, inferior, cou e de Giffen) e às deandas por esses bens, julgue as questões a seguir: 0 Se u be é noral, então ele não pode ser u be de Giffen; V 1 Se u be é de Giffen, então ele deve ser u be inferior; V 2 Suponha que exista apenas dois bens, cujas deandas são denotadas por x e y. Se x apresenta elasticidade-renda unitária e o consuidor gasta ua fração positiva de sua renda e cada be, então y tabé apresenta elasticidade-renda unitária; V 132

133 Questão 3, exae de 2010 (continuação) Co relação à classificação dos bens (e noral, de luxo, necessário, inferior, cou e de Giffen) e às deandas por esses bens, julgue as questões a seguir: 3 Suponha que exista apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o be 1 é u be cou e que a sua deanda é elástica relativaente ao seu próprio preço. Se o be 1 é u copleentar bruto do be 2, então o be 1 é u be noral necessário; F 4 Suponha que exista apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o consuidor gasta etade de sua renda e cada be e que o be 1 é u be noral de luxo, co elasticidade-renda estritaente aior do que 2. Então o be 2 deve ser u be inferior. V 133