Matemática D Extensivo V. 5

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1 ateática D Extensivo V. 5 Exercícios 01 B I. Falso. Pois duas retas deterina u plano quando são concorrentes ou paralelas e distintas. II. Falso. Pois duas retas pode ser perpendiculares ou paralelas a u eso plano. III. Verdadeiro. Pois os planos são paralelos. 0 V - V - V - V 0 B 0 E 05 E 06 (V Pois três pontos não colineares fora u plano. (V Pela definição de secante. (V Pela definição de seiplano. (V Pois ua reta e u ponto não pertencente à reta fora u plano. a Falso. Pois se r α = r então α r, portanto r intercepta α. b Verdadeiro. Pois r α e duas retas concorrentes fora u plano. c Falso. Pois ua reta pode ser concorrente a r e parelela a α. d Falso. Existe infinitas retas paralelas a r e não contidas e α. e Falso. Pois ua reta pode ser perpendicular a α e não interceptar r. I. Verdadeiro. Pela definição de espaço. II. Verdadeiro. Pela definição de reta. III. Verdadeiro. Pela definição de plano. a Falso. Pois são necessárias duas retas concorrentes ou duas retas paralelas distintas. b Falso. Pois são necessários ua reta e u ponto fora da reta. c Falso. Pois duas retas reversas não define u plano. d Falso. Pois são necessárias duas retas paralelas distintas. e Verdadeiro. Pela definição de plano. a Verdadeira. Pela definição de retas reversas. b Falso. Pois retas para sere reversas não estão necessariaente contidas e u eso plano. 07 C 08 B 09 E 10 D 11 E c Falso. Ne todas as retas que não se intercepta são reversas. d Falso. Ne todas as retas que não são paralelas são reversas, elas pode ser concorrentes. e Falso. Retas reversas não pode ser paralelas. I. Falso. Elas pode ser reversas. II. Falso. Pois se fore colineares deterina infinitos. III. Verdadeiro. Por definição de plano. IV. Verdadeiro. Por definição de retas reversas. a Falso. Basta rotacionar r e torno do eixo forado pela intersecção de r e s. b Verdadeira. Pois duas retas concorrentes fora u plano. c Falso. Pois r pode ser perpendicular a α. d Falso. Não necessariaente. e Falso. Não necessariaente. a Falso. Pois existe u plano perpendicular a r no ponto. b Falso. Pois pode existir infinitas retas paralelas a r não contidas e α. c Falso. Pois r α. d Falso. Pois dois planos perpendiculares fora ua única reta. e Verdadeiro. Pela definição de plano. Se os pontos não são coplanares, então cada u se encontra e u plano distinto, portanto deterina planos. a Falso. Eles pode ser distintos dois a dois e colineares definindo infinitos planos. b Falso. Pois o ponto pode estar contido na reta forando infinitos planos. c Falso. Pois necessariaente eles terão ua reta e cou e portanto infinitos pontos. d Falso. Por definição de plano. e Verdadeiro. Por transitividade. ateática D 1

2 1 B 17 1 Coo os pontos, B e C são não colineares dois a dois, então são coplanares, portanto as arestas reversas desse tetraedro são e B, e C e e D. t s cueeira v u 1 C 15 C a Verdadeiro. Não é possivel forar ais de ua reta perpendicular e relação a u ponto p não pertencente a α. b Falso. Ide a. c Falso. Passa infinitas retas paralelas a α pelo ponto p. d Falso. Passa infinitos planos perpendiculares a α. e Falso. Passa apenas u plano paralelo. a Falso. Pois existe infinitas retas pertencentes a α que não são paralelas a r. b Falso. Pois r pode pertencer ao plano. c Verdadeiro. d Falso. Pois para sere perpendiculares é necessário que as retas tenha ua intersecção. e Falso. 18 C a Verdadeiro. b Falso. São paralelas. c Falso. Pois t u = d Falso. Pois t u = e Falso. Pois r s = r a Falso. Pois os planos pode ser perpendiculares entre si e paralelos à reta. b Falso. Pois são paralelos. c Verdadeiro. d Falso. Pois as retas pode ser concorrentes e paralelas ao plano. e Falso. Eles pode ser perpendiculares entre si. 19 D Basta contar as retas que não intercepta a reta r e não são paralelas, totalizando 8 pares. I J 16 F - V - V - V - V. H G r E F L K s (F r e s são reversas. (V Pois r e s não possue ponto e cou e não são coplanares (V Por se tratar de u cubo. (V Pois r e s são reversas. (V Pois elas não se intersecciona. N a Falso. Pois sua interseção é não nula e são planos distintos. b Falso. É cou apenas ao plano EFH. c Falso. d Verdadeiro. ateática D

3 0 B a Falso. Eles pode ser concorrentes e não perpendiculares. b Verdadeiro. c Falso. r é perpendicular a α. d Falso. e Falso. Pois r é perpendicular a α C 01. Falso. Os planos que contê r são perpendiculares a α e β. 0. Verdadeiro. 0. Falso. r é paralelo ou está contido. 08. Falso. 16. Verdadeiro. I. Falso. Eles pode ser reversos ou perpendiculares e ainda ser paralelos a ua esa reta. II. Falso. III. Verdadeiro. IV. Falso. Os planos pode ser concorrentes ou perpendiculares e ainda assi u plano ser paralelo a ua reta de outro. B 5 D a Falso. Pois ne todas as retas α intercepta a reta r. b Verdadeiro. Pois β e γ são perpendiculares a α. c Falso. Pois β e γ são perpendiculares a α. d Falso. Pois existe planos que não intercepta os planos β e γ e são perpendiculares a α. e Falso. Pois eles são perpendiculares. I. Verdadeiro. Pois os planos são paralelos. II. Verdadeiro. Pois as retas são perpendiculares ao plano. III. Verdadeiro. Pois se a reta é perpendicular ao plano o plano que a conté tabé será. Confore a figura é possivel perceber que, independenteente da posição de x, a reta que passa por x e B sepre será perpendicular a d Verdadeiro. Pois r e s são paralelas, assuindo assi o eso ângulo entre a reta e o plano. 0. Falso. Pois r e s pode forar u plano distinto do forado por s e t. 0. Falso. Pois r e s define u único plano as não todos os planos que contê r ou s. 08. Verdadeiro. Pois as retas são paralelas. 16. Falso. Pois basta duas retas paralelas distintas para se forar u plano. 7 C I. Verdadeiro. Pois os planos interceptados são paralelos e as retas foradas pertence a u eso plano. II. Falso. s retas pode ser ortogonais ou reversas. III. Falso. Os planos pode assuir qualquer posição e ainda assi sere paralelas à reta. IV. Verdadeiro. Por definição de reverso Falso. Pois a reta pode assuir qualquer ângulo e relação a π. 0. Verdadeiro. Pois r é perpendicular a π. 0. Falso. Elas são ortogonais. 08. Verdadeiro. Por sere paralelas. 16. Verdadeiro.. Falso. Pois ou é paralelo a π e ortogonal a r ou paralela a r e perpendicular a π. 9 V - F - V - V - V (V Pois as retas define o plano. (F Já que e u espaço é possivel apenas três retas distintas perpendiculares duas a duas. (V Pois todas as retas que passa por esse ponto são perpendiculares à reta perpenducular ao plano. (V Por definição de perpendicularidade. (V Pela definição de plano. α x b c B t d ateática D

4 0 E α t r p β s D a Falso. Pode resultar e u ponto ou outro segento de reta. b Falso. Pode resultar e u ponto. c Falso. Pode resultar apenas e ua reta ou ua seirreta. d Falso. Pode resultar e u segento de reta ou outros triângulos. e Verdadeiro. Basta a circuferência estar ortogonal ao plano. Sendo o poliedro convexo, teos que ele obedece à relação de Euler, V + F = +. a Falso. Não necessariaente. b Falso. Não necessariaente. c Falso. Elas não se encontra no eso plano. d Falso. Elas pode ser paralelas. e Verdadeiro. Confore o desenho. Núeros de arestas: núero total de lados dividido por dois. =. +. = 1. Portanto, V = + F V = 7 E 1 E β 5 E Basta relacionar os lados das figuras: o pentágono aparece e e 1, os lados retangulares e C e e os lados triangulares e B e. Sendo o poliedro convexo, ele obedece à relação de Euler. α r t s Núero de arestas: = Portanto, V + F = + V = 90 + V = 60 vértices. = 180 = 90 6 B E I. Verdadeiro. Confore figura acia. II. Verdadeiro. Pois α e β são perpendiculares. III. Verdadeiro. Confore figura acia. IV. Verdadeiro. Confore figura acia. α p I. Falso. O núero de arestas corresponde ao núero total de lados de cada face dividido por dois. = = 1 Coo o poliedro é convexo, teos V + F = +, portanto: V = V = 9 II. Verdadeiro. S = 60. (V = = 50, enquanto, = 50 III. Verdadeiro. Confore calculado e I IV. Falso. Confore calculado e I. ateática D

5 7 D 8 C 9 B 0 1 E Sabendo quwe todo poliedro regular é convexo teos: V + F = + F = F = 0. O único que se enquadra na descrição é o c, pois é o único que te lado trapézoidal e fundo quadrado. Confore a figura é possivel perceber que o novo poliedro será forado por 6 quadriláteros, 1 triângulos e hexágonos, portanto soando 0 faces. O núero de vértices é dado por: 10 = 60. (V V = 6 Sendo assi, cada face do poliedro é u triângulo equilátero, tratando-se de u octaedro, ou seja, 1 arestas. Pela propriedade de poliedros convexos teos:. = n. F = F Portanto pela relação de Euler, teos: V + F = F = F + F = 0 = 6. e 5 F F Pela relação de Euler: V + F = F = 18 F = 9 Portanto, seja x e y o núero de quadriláteros e triângulos respectivaente x + y = 16 e x + y = 9 Dessa fora: x+ y= x+ 7 x= x+ y= 9 x = 5 7 Substituindo, 5 + y = 9 y = 01. Verdadeiro. Prieiro encontraos o núero de arestas supondo n = = = = 19 Desta fora coo o poliedro é convexo teos: V + F = +, portanto V = = Verdadeiro. Pois, as faces pentagonais e quadrangulares soa 6, portanto para o núero de faces ser 16, n deve ser Falso. Suponha n = 1 então: = = = 9 = 1, 5 Portanto, o núero de arestas não seria inteiro. 08. Verdadeiro. Suponha n = 6, então = = Portanto V = + 1 = 1 Sabendo que S = 60. (V, teos: S = = Verdadeiro. = n. 5 = n 50 6 n = = 8 D Basta verificar que no vértice concorre as arestas E, F, B e D e na planificação teos no ponto as retas ab, af, ae e as. Coo: B ab E ab F af D as, então, usando o eso raciocíonio E ae BE be ateática D 5

6 CE cp 8 B DE eq Portanto, D está relacionado ao enos co q e s. L 5 C Área da base ( : = l = 8 = 16 H Volue total do prisa: t =. h t = = E 7 D Coo altura é igual à aresta, então h = =. Área hexagono regular ( h h = 6. l = 6 Área total do prisa ( t t = 6. = 1 Área da base do prisa triangular: t = a Volue do prisa triangular: V t = a. h Área da base do prisa hexagonal: a h = 6. Volue do prisa hexagonal: a V h = 6.. h Razão (R: a.. h R = = a.. h. = 1 a. 6. a. 6.. h 6. h Área das faces laterais ( f : f =. (L. H =. (6. 8 = 1 c Área da base: = l = 6 9 E Portanto, o custo (C é: = 16 c C = ( ,05 = 1, c 1 c c eixo cou O volue da peça será o volue total do prisa hexagonal enos o volue do prisa hexagonal enor. V H = 6. ( = 160 c Vh = 6. (.. 10 = 0 c Portanto o volue da peça é: Vp = V H V h = 190 c 6 ateática D

7 50 D h D 51 C 6 c 10 c E B 8 c Basta descobrir a altura do prisa. Coo o volue é 10 c teos: V =. h. h = 10. Área da base ( : = 6. 8 = c Portanto, h = 10 = 5 c Dessa fora, T = T = T = H H = 5 H = 9 5 H = Portanto, T = 8. = 1 ², e V =. H V = 1. = 6 5 E U desenho que ele poderá reproduzir é o que não te seelhança algua co o desenho do artista holandês. C F No caso o prisa representado por e. 5 a 75 c ³ 5 C Área da base: = 6. l = 6. 5 Volue do prisa: V =. h = 75 b 50 c Co a secção teos: 5 c 10 5 c = = c C Coo o hexágono é regular teos que a base da secção é u triângulo isósceles confore a figura. Pela lei dos cossenos encontraos C: (C² = 5² + 5² cos10 (C² = = 75 C = 5 c, portanto a área da secção vale: S = = 50 c² Lado do quadrado da base ( ltura inicial do prisa (h Volue inicial do prisa (V i V i = ². h = ². h Volue após ser diinuído (V f : V f = l. h = l. h = l.h 8 Portanto, D = V i V f = ². h l.h 7l.h = 8 8 D = 0,875. ². h C ateática D 7

8 55 B Basta diinuir o volue total do bloco do volue das portas retiradas para forar o H. Área da base original: o = a. a = 9a² Área da base das portas: p = a. a = a² Volue original V o = o. h 0 = 9a². a = 7a³ Volue das portas: V p =. (a². a = 6a³ Portanto, o volue do sólido é: V = V o V p = 7a³ 6a³ = 1a³ 58 B Área total da ebalage: T = l = T = 10 c² aterial necessário para os vincos. v = 10. 0, = 6 c² aterial total necessário: T = 500. ( T = ³ c² = 18,6. 10 c² Coo 1 ² = 10 c², teos T = 18,6 ² 56 B Coo as ebalagens tê a esa capacidade de arazenaento, V 1 = V, portanto h 1. 1 = h., e que 1 e são áreas das bases das ebalagens 1 e respectivaente. a a 1. 6 =. 6 a1 a = =.( = 16 a = 16 = Área total das ebalagens: t1 = 6. (h 1. a 1 +. ( 1 t1 = 6. ( t1 = 16 c² e 57 t = 6. (h. a +. ( t = 6. ( t = = 8 15,9 c² Prieiraente, calcula-se a área da base e da lateral da ebalage: = b. l = = 150 l = = 00 Coo os pacotes são seelhantes, então: c = a. n, d = b. n e h = h. n. Too V coo o volue do pacote aior e V o volue do enor. Portanto, V = a. b. h a. b. h = = V V c. d. h a. n. b. n. h. n V Dessa fora, 1 = n = 1 1 n Dessa esa fora a soa total da área aior (S e a da área do enor (S : S ( ab + b. h + a. h = S ( na. nb + nb. nh + na. nh S = ( ab + b. h + a. h S n ( ab+ b. h + a. h Portanto, S = 1 S n = 1 S 1 S = 8 ateática D

9 59 B H c O segento CD é igual a 10, coo o segento HI é igual a x e é paralelo a CD, podeos dizer que o copriento do segento que está faltando para HI ser igual a CD é 10 x. Observando a figura verifica-se tabé que do ponto J até o chão o segento perpendicular a HI é igual a. Podeos agora forar u prisa cuja a base é u triângulo retângulo de catetos, (10 x e hipotenusa igual a y. sua altura é igual a c Prieiraente, calcula-se a altura h: h = sen h = 6. = Portanto a área da base: =. 6 = 18 = 9 Coo o prisa é obliquo é necessário calcular H: H = sen H =. 10 = 5 Portanto, V = 9. 5 = 15 c² 60 Sabendo ua das diensões da base triangular do prisa calcula-se a base através da lei dos cossenos. Sendo = 0 c = 0,, teos h = sen 0. 0, h = 0,1 Então b =. (cos 0. 0, b = 0, 61 C Portanto, a área da base triangular do prisa ( = b. h = 0,. 01, = 0,01 Portanto, o volue do prisa é: V =. h = 0,01. = 0,0 ³ Seja IJ = y e HI = x. Coo a soa das áreas desses retângulos é igual a 77 ² podeos escrever: 7x + 7 y = (x +y = 77 x + y = 11 y = 11 x (1 y² = ² + (10 x² ( Substituindo (1 e (, teos: (11 x² = ². (10 x² 11 x + x² = x +x² 11 x = 109 0x x = 1 x = 6 c y = 11 6 y = 5 c Calculando o volue do prisa, teos: Vp = b. h Vp =.. 7 Vp = ³ O volue da piscina é igual a : 80 = 8 ³ O tepo total é: 8 000L corresponde a 8 ³ t = 8 8 t = 9, 75 h t = 9 h e 5 in 6 C T =.( xy+ xz+ zy z= y T = x [xy + x. (y + (y. y] = x² xy + xy + y² = x² y² + xy x² = 0 y = x ± 9 x². (.( x² = x ± 9 x² + 16 x².( y = x ± 5 x² x± 5x = x 5x x x y1 = + = = x 5x 8x y = = = x < 0 (não serve Logo, V = x. y. z = x. x.. x = x ateática D 9