Secção 3. Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem

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1 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Secção 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde (Farlow: Sec 23 a 26) hegou a altura de ilustrar a utilidade prática das equações diferenciais de prieira orde aos ver que alguns probleas físicos pode ser descritos por EDOs deste tipo Decaíento radioactivo A proporção carbono-14/carbono-12 presente na atéria orgânica viva é constante No entanto, na atéria orgânica orta a quantidade de 14 diui co o tepo, a ua taxa proporcional à quantidade existente Se designaros essa quantidade por, tereos então que a variação de por unidade de tepo é proporcional a :, t e que é ua constante de proporcionalidade O sal negativo é necessário por fora a garantir que decresce coo tepo Será ais correcto falar e teros de variação stantânea: d Esta EDO resolve-se facilente por separação de variáveis: d t ln t + e Sabendo que no ício ( t ), então: t e Esta resultado constitui a base do processo de datação por carbono-14 2ª Lei de Newton O enunciado da 2ª Lei de Newton diz-nos que o produto da assa pela aceleração de u corpo é igual ao soatório das forças a que está sujeito: a F i i Para u corpo e queda livre tereos assi: Pága 1 da Secção 3

2 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde dv g v, e que v é a velocidade do corpo, o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade Rearranjando a equação, obteos: dv + v g, ou seja, ua EDO lear de 1ª orde que pode ser resolvida por separação de variáveis A solução geral é: g v + e t Exeplo U pára-quedista, pesando 7 Kg, salta de u avião e abre o pára-quedas passados 1 s Antes da abertura do pára-quedas, o seu coeficiente de atrito é spq 5 Kg s -1, depois é 1 Kg s -1 x t v x x 1 t 1 v v 1 a) ual a velocidade do pára-quedista no stante e que se abre o pára-quedas? Já vios anteriorente qual é a equação que descreve a queda livre, be coo a sua solução: spqt dv spq g + v g v + e spq A constante de tegração é deterada a partir da condição icial: g v( t ) spq A solução particular ve então: x x 2 t t 2 v v 2 Esta EDO tabé pode ser resolvida pelo étodo do factor tegrante (porquê)? Deonstre que desta fora se obté o eso resultado Pága 2 da Secção 3

3 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde v spqt g 1 e ( t < 1s) spq Ao fi de 1 segundos, a velocidade alcançada pelo pára-quedista é: spq1 g 1 e v 7 s spq 1 b) ual a distância percorrida e queda livre? Já obtiveos na alínea anterior a fora coo a velocidade do pára-quedista varia co o tepo, durante a queda livre Sabeos tabé que a velocidade é a derivada da distância percorrida e orde ao tepo Então: Ou seja: dx v x v + g x t + e spq spq Aplicando a condição icial: E a solução particular ve: spqt + 2 g x( t ) 2 spq spqt g x t + e 1 spq spq spqt g 1 e + spq Passados os tais 1 segundos, a distância percorrida foi: t 1s x 1 + e Espereos que o nosso hoe se tenha atirado do avião quando este se encontrava a ua altura superior a 392, de contrário ter-se-á estatelado no chão antes de abrir o páraquedas c) ual a velocidade ínia que o pára-quedista poderá atgir, após a abertura do páraquedas? Pága 3 da Secção 3

4 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Após a abertura do pára-quedas a velocidade coeça a decrescer, devido ao aior coeficiente de atrito, até que é eventualente atgido u equilíbrio entre a força da gravidade e a força de atrito A partir desse oento a velocidade peranece constante (é a chaada velocidade liite) A evolução da velocidade após a abertura do pára-quedas é ais ua vez dada pela lei de Newton: e a sua solução é: dv + v g, t g v + e Para u tepo suficienteente longo (t? 8 ) atge-se a velocidade liite: v li v( t) t g s 1 1 É teressante notar que poderíaos chegar a este resultado se ter que resolver a equação diferencial Realente, após ser atgida a velocidade liite, esta peranece constante ao dv longo do tepo, ou seja, a partir desse stante Da equação diferencial acia: logo: dv g dv + g g v, solução de estado estacionário dv g v v que é o eso resultado que anteriorente g Esta solução, que corresponde ao valor constante que a variável dependente atge para u tepo teoricaente fito, é chaada solução de estado estacionário, Equações de balanço U tipo de problea uito cou e Engenharia uíica consiste e efectuar u balanço ássico, volúico ou energético a u deterado sistea aberto (u reactor quíico, por exeplo) aos aqui ver u exeplo siples de coo enunciar este problea e teros de equações diferenciais Pága 4 da Secção 3

5 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Equação de balanço Antes de ais, convé esclarecer e que é que consiste u balanço E teros siples, ua equação de balanço a ua deterada grandeza (volue de líquido nu tanque, assa de u reagente nu reactor, sacos de batatas nua ercearia) é escrita na fora: Acuulação Entradas Saídas As entradas e saídas designa a taxa de entrada ou saída da grandeza e causa no sistea Por exeplo: o Sr Manuel constatou que entra 5 sacos de batatas por dia na sua ercearia (vdos do fornecedor) e sae 3 sacos de batatas por dia (vendidos aos clientes) A acuulação designa a taxa de variação co o tepo da grandeza e causa Por exeplo: O Sr Manuel concluiu que se acuula 2 sacos de batatas por dia na ercearia Se a acuulação for negativa, tal dica ua diuição da quantidade balanceada co o tepo, passando-se o oposto se a acuulação for positiva Exeplo aos considerar u problea de istura nu tanque be agitado coo o representado na figura acia Pretendeos saber coo é que a concentração do soluto A no tanque varia ao longo do tepo Estão defidas as segutes variáveis de processo: audal total de entrada (constante) ( 3 /hr) oncentração de entrada do coponente A (constante) (g/ 3 ) Dizeos que u tanque é be agitado quando a concentração de soluto(s) no seu terior é unifore e todos os pontos do eio líquido Pága 5 da Secção 3

6 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde audal total de saída (constante) ( 3 /hr) oncentração de saída do coponente A (g/ 3 ) oncentração no tanque do coponente A (g/ 3 ) olue de líquido no tanque ( 3 ) É conhecida a segute condição icial: t, Façaos agora o balanço ássico ao coponente A: Acuulação de A Entradas de A Saídas de A Ou seja: ariação da assa de A no tanque por unidade de tepo Massa de A que entra por unidade de tepo Massa de A que sai por unidade de tepo oo podeos reescrever esta equação e teros ais ateáticos? A assa de A no tanque é dada por, logo, a sua variação co o tepo será dada por teros de variação stantânea: d ( ) ( ) t ou, e Por ro lado, a assa de A que entra por unidade de tepo é dada por, enquanto que a assa de A que sai por unidade de tepo é dada por Logo, a equação de balanço fica: d ( ) Esta é ua EDO de prieira orde, e que a variável dependente é a concentração de A no tanque,, Após escrever ua equação de balanço é sepre boa ideia verificar a consistência das unidades Ou seja, verificar se todas as parcelas da equação tê as esas unidades Se tal não se verificar, algo está errado no nosso balanço! aos ver então se a equação anterior é consistente: d ( ) e te unidades de: 3 g volue concentração 3 tepo hr 3 tê unidades de: g g concentraç ão caudal hr hr g hr, 3 Porque razão dizeos que a concentração de A no tanque é igual à concentração na corrente de saída,? Pága 6 da Secção 3

7 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Todas as parcelas tê realente unidades de g/hr, dicando que o balanço é consistente Prossigaos então: teos que resolver a EDO que defe o balanço ao soluto A Antes disso, poré, deveos ter e atenção que o volue de líquido no tanque,, se encontra dentro da derivada Para poderos resolver a equação diferencial necessitaos de saber coo é que varia co o tepo! Para tal, teos que efectuar u balanço volúico ao tanque: ariação de volue de líquido A no tanque por unidade de tepo olue de líquido que entra por unidade de tepo Ou seja: olue de líquido que sai por unidade de tepo d É fácil de ver que o balanço é consistente: todas as parcelas tê unidades de 3 /hr Teos agora duas situações possíveis Prieiro, se os caudais de entrada e saída fore iguais ( ): d constante, e a equação de balanço a A fica siplesente: ou, substitudo já por : + Esta EDO pode ser facilente resolvida por separação de variáveis, dando então: t e, e após aplicação da condição icial: Pága 7 da Secção 3

8 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde ( ) e t ** Se os caudais de entrada e saída fore diferentes ( ), as constantes ao longo do tepo, então é óbvio que o volue de líquido não será constante Teos então que resolver a equação de balanço volúico: d ( t) ( ) t + e que é o volue no stante t Agora a equação de balanço a A fica: d ( ) + d + ( ) + ( ) Não nos podeos esquecer que é função de t! Substitudo o resultado anteriorente obtido ficaos co: ( ) t + ( ) Esta EDO é de variáveis separáveis: ( ) t + O resultado, já após aplicação da condição icial, é: ( ) ( ) t + ** Esboce graficaente o aspecto da curva de variação de co o tepo Pága 8 da Secção 3

9 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Suário da Secção 3 Exeplos de probleas físicos pode ser descritos por EDOs de prieira orde: Decaíento radioactivo 2ª Lei de Newton Balanços ateriais Pága 9 da Secção 3