Geometria Analítica e Álgebra Linear
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- Letícia Prada Bento
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1 NOTAS DE AULA Geoetria Analítica e Álgebra Linear Reta e Plano Professor: Lui Fernando Nunes, Dr.
2 Índice Geoetria Analítica e Álgebra Linear ii Estudo da Reta e do Plano A Reta no Espaço Equação vetorial da reta Equações paraétricas da reta Equações da reta na fora siétrica O Plano Equação vetorial do plano Equações paraétricas do plano Equação geral do plano Distâncias Distância entre pontos Distância entre ponto e reta Distância entre ponto e plano Distância entre retas Referências Bibliográficas... -
3 Estudo da Reta e do Plano. A Reta no Espaço Geoetria Analítica e Álgebra Linear - Trabalhareos sepre co ua base ortonoral detrógira E i, j, k. Dado u ponto P do espaço, podeos escrever P O i j k. Os núeros,, são chaados coordenadas de P no sistea onde O é a orige e E é a base. Costua-se indicar P,,, ou, nu abuso de notação indicaos P,,... Equação vetorial da reta Considereos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor X r, então X A // v, isto é, X A v. Desta fora teos: X A v X A v. Esta últia equação recebe o noe de equação vetorial da reta. O vetor v é chaado de vetor diretor da reta r. v. Se u ponto
4 .. Equações paraétricas da reta Geoetria Analítica e Álgebra Linear - Se no sistea de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tiveros: X,,, A,, e v a, b, c, então teos: X A v,,, a, b, c,,, a, b c, a b c Estas últias equações recebe o noe de equações paraétricas da reta. Eeplos. Sendo A,, e,,5 v por A e te coo v vetor diretor., escreva as equações paraétricas da reta que passa a b c 5 5 Esta resposta não é única. Podeos utiliar qualquer últiplo de v coo vetor diretor. Desta fora se usaros coo vetor diretor v, teos tabé:. Escreva as equações paraétricas dos eios coordenados.,, i,, para o eio das abscissa, teos: Escolhendo O e a b c Analogaente, para o eio das ordenadas e das cotas teos, respectivaente: e.. Escreva as equações paraétricas da reta que passa por A e B, sendo,, B,,. Para vetor diretor, teos v B A. Logo v B A=,,,, 5,,. Assi, utiliando o ponto A, as equações pedidas são: a 5 5 b c Utiliando o ponto B, as equações pedidas são: A e
5 a 5 5 b c Geoetria Analítica e Álgebra Linear -. Escreva as equações paraétricas da reta que passa por A e pelo ponto édio do,,,7,8 C, 7,. segento BC, sendo: A, B e O ponto édio do segento BC e calculado coo: M,,,,5. v M A,,5,, pedidas são: a b c Considere o vetor diretor,, 5. Considere as seguintes equações paraétricas da reta r: a) Encontre dois pontos de r e u vetor diretor. Faendo Faendo v,,. nas equações paraétricas, obteos o ponto,, nas equações paraétricas, obteos o ponto B 5,,9. U vetor diretor pode ser. Assi, as equações A. 7 9 b) Verifique se os pontos P,, e Q 5,,8 pertence à reta r. 7 9 Substituindo o ponto P,, nas equações obteos: 7 que são todas satisfeitas para, logo P r. 9 Substituindo o ponto Q 5,,8 nas equações obteos: 5 que não são todas satisfeitas siultaneaente para nenhu valor de 8, logo Q r.
6 Geoetria Analítica e Álgebra Linear - 6. Escreva as equações paraétricas da reta que passa por A,5, de equações paraétricas:. O vetor diretor será:,, a b 5 c v. Logo as equações pedidas são: e é paralela à reta 7. Escreva as equações paraétricas da reta que passa por A,5, e é paralela à reta que passa pelos pontos B e C, sendo B,, e C,,. Para vetor diretor, teos v C B. Logo v C B Assi, utiliando o ponto A, as equações pedidas são: a b 5 5 c 8. A reta r te equação vetorial X,,,, 6 de A,,. X X A,,,, 6 =,,,,,,.. Obter os pontos de r que dista a b c Logo os pontos são: P,, e,, Q. 9. Dada a reta r te equação vetorial X,,,, e os pontos A,, e B,,, obter o ponto de r eqüidistante de A e de B. X A X B. Logo o ponto procurado é:,, P.
7 .. Equações da reta na fora siétrica Eeplo Geoetria Analítica e Álgebra Linear -5 Considere agora ua reta dada pelas equações paraétricas: a b, sendo a, b, c não nulos. Teos: c, e ou a b c, que são chaadas de equações da reta na fora siétrica. a b c 5. Dadas as equações, ostre que elas representa ua reta, 7 dando u ponto e u vetor diretor da esa. 7 5 Assi teos u ponto P r que é P,, 5 e u vetor diretor: v,,. Retas paralelas aos planos coordenados e aos eios coordenados Quando apresentaos as equações siétricas de ua reta:, a b c consideraos que as coponentes do vetor diretor da esa são todos diferentes de ero. Assi, teos que a, b, c são não nulos. Agora estudareos os casos e que ua ou duas destas coponentes são nulas. a) Ua das coponentes do vetor diretor v é nula: Neste caso, o vetor diretor v é ortogonal a u dos eios coordenados e, portanto, a reta r é paralela ao plano dos outros eios. Assi, (i) se a =, v, b, c O e r // O. Neste caso as equações de r fica: b c
8 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -6 Neste caso, nas coordenadas,, de u ponto genérico P da reta r, varia soente e, conservando-se constante. Isto significa que r se acha nu plano paralelo ao plano coordenado O. (ii) se b =, v a,, c O a c e r // O. Neste caso as equações de r fica: Neste caso, nas coordenadas,, de u ponto genérico P da reta r, varia soente e, conservando-se constante. Isto significa que r se acha nu plano paralelo ao plano coordenado O. (iii) se c =, v a, b, O a b e r // O. Neste caso as equações de r fica: Neste caso, nas coordenadas,, de u ponto genérico P da reta r, varia soente e, conservando-se constante. Isto significa que r se acha nu plano paralelo ao plano coordenado O.
9 j b) Duas das coponentes do vetor diretor v são nulas: Geoetria Analítica e Álgebra Linear -7 Neste caso, o vetor diretor v te a direção de u dos vetores,, ou k,,,, k. Assi: (i) se a = b=, v,, c// k, e portanto, a reta r é paralela ao eio que te a direção de i, j ou e r // O. Neste caso as equações de r fica: i ou (ii) se a = c=, v, b,// j e r // O. Neste caso as equações de r fica: (iii) se b = c=, v a,, // i e r // O. Neste caso as equações de r fica:
10 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -8 Condição de alinhaento de três pontos no espaço A condição para que três pontos A,,,, A e,, A esteja, e linha reta é que os vetores A A A A e A A A A seja paralelos, isto é: A A A A A A, para algu, ou:.. Os pontos A 5,, 6, A,, e 7,, 7 A estão e linha reta. De fato, substituindo as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obteos: Condição de paraleliso de duas retas A condição de paraleliso das retas r e s é a esa dos vetores u a, b, c a b c v a, b, c, que define estas retas, isto é: u v ou. a b c e Retas ortogonais e perpendiculares Dadas as retas r e s, sendo u e v seus vetores diretores, respectivaente. Então elas fae ângulo reto, se e soente se, u v. Indicaos por r s. Retas ortogonais pode ser concorrentes ou não. Caso seja concorrentes são ditas perpendiculares. r s u v
11 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -9 Eeplos. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. r : e s : Vetor diretor de r,, u Vetor diretor de s,, v v u Logo r e s são ortogonais.. Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais. r : 6 e s : Vetor diretor de r,,6 u Vetor diretor de s,, v 6 v u Logo r e s não são ortogonais.. Deterine de odo que seja ortogonais as retas r e s: r : e s : r : Vetor diretor de r,, u Vetor diretor de s,, v v u v u. Logo r e s são ortogonais se. 5. Deterine de odo que seja ortogonais as retas r e s: r : e s : s : Vetor diretor de r u,, Vetor diretor de s,, v v u v u. Logo r e s são ortogonais se.
12 Geoetria Analítica e Álgebra Linear - 6. Deterine de odo que seja ortogonais as retas r e s: r : e s : r: Vetor diretor de s,, u Vetor diretor de r,, v v u v u qualquer Logo r e s são ortogonais para qualquer valor de. Ângulo entre retas Seja r e s não ortogonais, sendo u e v os vetores diretores de r e s, respectivaente. Então v u v u cos, onde é o ângulo agudo entre r e s. cos cos 7. Calcule a edida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo: r : 6 5 e s : r :
13 Vetor diretor de r Geoetria Analítica e Álgebra Linear - 5 u ,, u,, v 8 Vetor diretor de s v 5 u v Logo: cos u v u v cos o 9, 8. Ache u ponto P da reta r de equações paraétricas: ângulo entre as retas r e AP seja, sendo,, A., tal que o cosseno do cos,, u Vetor diretor de AP v A P,, =,, u v cos u v. Assi, se =, = e =. se =, = e =. Solução:,, ou,,. Intersecção de retas. 9. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirativo, ache o ponto de intersecção: r : e s :
14 Geoetria Analítica e Álgebra Linear - Faendo Resolvendo, encontraos 5 Assi, o ponto de intersecção é P,,. e.. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirativo, ache o ponto de intersecção: r : e s : 6 Substituindo os valores de, e de r e s, obteos: Logo não eiste ponto de intersecção entre r e s.. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirativo, ache o ponto de intersecção: r : e s : Substituindo os valores de e de r por, obteos: que é satisfeito apenas para =. Logo teos = = = Assi, o ponto de intersecção é P,,.
15 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -. O Plano.. Equação vetorial do plano Considereos u plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores u e v, não paralelos. Se u ponto X, então X A u v. Desta fora teos: X A u v X A u v. Esta últia equação recebe o noe de equação vetorial do plano. Os vetores u e v são chaados de vetores diretores do plano... Equações paraétricas do plano Eeplos Se no sistea de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tiveros: X,,, A,,, u, n, oe v p, q, r, então teos: X A u v,,,, n, o p, q, r, p, n q,, o r, p n q o r Estas últias equações recebe o noe de equações paraétricas do plano.. Sendo A,,, u,,5 e,, v, escreva as equações paraétricas do plano que passa por A e te u e v coo vetores diretores. p n q o r 5 5 Esta resposta não é única. Podeos utiliar qualquer últiplo de u e v coo vetores diretores.. Escreva as equações paraétricas dos planos coordenados. teos: Escolhendo O,, e i,, e j,, p n q o r para vetores diretores do plano O, Analogaente, para os planos coordenados O e O teos, respectivaente: e.
16 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -. Escreva as equações paraétricas do plano que passa por,, plano de equação vetorial X,,,,,,. A e é paralelo ao O plano procurado te os esos vetores diretores do plano dado, logo as equações pedidas são: p n q o r 5. Escreva as equações paraétricas do plano que passa pelos pontos,, B,, e C,,. Toando B A e C A para vetores diretores, teos: B A,,,,,, v C A,,,,,,. Assi as equações paraétricas fica: u p n q o r 6. Obtenha as equações paraétricas do plano deterinado pela reta r : X,,,, e pelo ponto,, U vetor diretor pode ser,, Assi, v P A,,,,,, A, P. u e o outro obtido por v P A, onde A,,.. Assi, as equações paraétricas pedidas são: p n q o r.. Equação geral do plano Sendo u plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano será chaado de vetor noral a. Seja n a, b, c noral a e A,,, então X se e só se X A é ortogonal a n a, b, c. Logo teos: X A n ou,, a, b, c, ou seja: a b c a b c a b c d a b c Faendo, obteos: a b c d que é chaada de equação geral do plano.
17 n. Geoetria Analítica e Álgebra Linear -5 Observação: os parâetros a, b, c não pode ser todos nulos siultaneaente, pois 7. Obtenha a equação geral do plano coo vetor noral. que passa por A,, e te,, : a b c d d. Coo A,,, teos d d 9. Logo a equação geral de é: Obtenha a equação geral do plano v,, coo vetores diretores. Prieiro necessitaos obter u vetor noral ao plano. que passa por A,, e te,, O vetor u v é noral ao plano, logo: i j k u v det i 5 j k. Assi, : a b c d 5 d. Coo A,,, teos 5 d d. Logo a equação geral de é: São dadas as equações paraétricas de u plano: n u e. Encontre ua equação geral. p n q o r v,, são vetores diretores do plano. O vetor u v é noral ao plano, logo: i j k u v det i j k.. Isto os vetores,, u e Assi, a b c d d. Coo,, geral de é: A, teos d d. Logo a equação.
18 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -6. U plano te equação geral 5. Obter as equações paraétricas deste plano. Faendo e 5 Outro odo: Prieiro obteos três pontos do plano : Faendo e 5 Faendo e Faendo e, assi, os três pontos procurados são: A,,, B,, e C,,. Agora necessitaos de dois vetores diretores: 5 Faendo u B A,,,,,, e 5 5 v C A,,,,,, 5 5 C,,, obteos: Agora utiliando o ponto Planos perpendiculares Seja os planos e, sendo n e n os vetores norais a e, respectivaente. Então, e são perpendiculares, se e soente se, n e n são perpendiculares. Logo n n. 5
19 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -7. Verifique se os planos e são perpendiculares, nos seguintes casos: a) : e : Resposta: Si. b) : e : Resposta: Não.. Deterine de odo que os planos e seja perpendiculares, nos seguintes casos: a) : e : Resposta:. b) : e : Resposta: ou. c) : e : Resposta: qualquer. Ângulo entre planos O ângulo entre os planos e é o ângulo entre duas retas r e r, perpendiculares n n a e, respectivaente. Logo cos, sendo n e n os vetores diretores de r n n e r, respectivaente.. Encontre o ângulo entre os planos e, sendo: : 5 e : n,,5,, n n,,5,, 5 n n n n n Logo cos cos n n 9 6. Encontre o ângulo entre os planos e, sendo: : e : Resposta: arc cos
20 Intersecção de planos Geoetria Analítica e Álgebra Linear -8 Seja os planos e, sendo n e n os vetores norais a e, respectivaente. Se n e n não fore paralelos (o que equivale a dier que n n ), então e se intersecta e a intersecção é ua reta r. Teos ainda que n n é u vetor diretor da reta r. U ponto de r pode ser obtido pelas equações dos planos. 5. Encontre as equações paraétricas da reta r, intersecção dos planos: : e : n,, n,, i j k n n det i j 5 k Para obter u ponto de r, podeos faer, por eeplo = nas equações dos planos. Neste caso obteos o sistea: cuja solução é = =. Assi, u ponto da reta procurada é P,, procuradas são: a b c 5 5. Desta fora, as equações 6. Encontre as equações paraétricas da reta r, intersecção dos planos: : e : Resposta:
21 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -9 Intersecção entre reta e plano 7. Ache a intersecção da reta r co o plano, sendo: r : e 6 : Substituindo, e da reta no plano, obteos: 6. Logo, teos que: 6 Então, o ponto procurado é,, 6 P. 8. Ache a intersecção da reta r co o plano, sendo: r : é a intersecção dos planos : e : e é dado pela equação geral:. O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistea: Solução: 7, 7, 7 P
22 Geoetria Analítica e Álgebra Linear -. Distâncias.. Distância entre pontos.. Distância entre ponto e reta.. Distância entre ponto e plano.. Distância entre retas. Referências Bibliográficas. BARSOTTI, Leo. Geoetria Analítica e Vetores..a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 98.. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geoetria Analítica U trataento Vetorial. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geoetria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geoetria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, VENTURI, Jacir J. Sisteas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 987.
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