Teoria do Consumidor: Equilíbrio do Consumidor

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1 Teoria do Consumidor: Equilíbrio do Consumidor Roberto Guena de Oliveira 16 de março de 2012 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

2 Sumário 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

3 Rest. Orç. 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

4 Rest. Orç. A restrição orçamentária Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

5 Rest. Orç. A restrição orçamentária Imagine um consumidor que deva escolher quanto consumir de cada bem sujeito à restrição de que ele não pode gastar mais do que sua renda montária m. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

6 Rest. Orç. A restrição orçamentária Imagine um consumidor que deva escolher quanto consumir de cada bem sujeito à restrição de que ele não pode gastar mais do que sua renda montária m. Sejam p 1,,...,p n os preços de cada um dos n bens existentes. A cesta de bens a ser escolhida pelo consumidor x=(,,...,x n ) deve satisfazer então à restrição: n p i x i m. i=1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

7 Rest. Orç. A restrição orçamentária Imagine um consumidor que deva escolher quanto consumir de cada bem sujeito à restrição de que ele não pode gastar mais do que sua renda montária m. Sejam p 1,,...,p n os preços de cada um dos n bens existentes. A cesta de bens a ser escolhida pelo consumidor x=(,,...,x n ) deve satisfazer então à restrição: n p i x i m. i=1 O conjunto de cestas de bens que satisfazem a restrição acima é chamado conjunto de restrição orçamentária. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

8 Rest. Orç. A restrição orçamentária Imagine um consumidor que deva escolher quanto consumir de cada bem sujeito à restrição de que ele não pode gastar mais do que sua renda montária m. Sejam p 1,,...,p n os preços de cada um dos n bens existentes. A cesta de bens a ser escolhida pelo consumidor x=(,,...,x n ) deve satisfazer então à restrição: n p i x i m. i=1 O conjunto de cestas de bens que satisfazem a restrição acima é chamado conjunto de restrição orçamentária. O conjunto de cestas de bens para as quais n i=1 p ix i =m é chamado linha de restrição orçamentária. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

9 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

10 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

11 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

12 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

13 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m Linha de restrição orçamentária: (p 1 + =m) m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

14 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m Linha de restrição orçamentária: (p 1 + =m) tan= p 1 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

15 Rest. Orç. Representação gráfica: 2 bens m Linha de restrição orçamentária: (p 1 + =m) Conjunto de restrição orçamentária m p 1 tan= p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

16 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 0 m 0 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

17 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

18 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

19 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

20 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

21 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

22 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

23 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

24 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

25 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

26 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

27 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

28 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

29 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

30 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

31 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

32 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

33 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

34 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

35 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

36 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

37 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

38 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

39 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

40 Rest. Orç. Efeito de um aumento na renda m 1 m 0 m 0 p 1 m 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

41 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

42 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

43 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

44 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

45 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

46 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

47 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

48 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

49 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

50 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

51 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

52 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

53 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

54 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

55 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

56 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

57 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

58 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

59 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

60 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

61 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

62 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

63 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

64 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

65 Rest. Orç. Efeito de uma redução no preço do bem 2 m p 1 2 m p 0 2 m p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

66 Exemplo Rest. Orç. Um consumidor com renda igual a $100 que deve escolher as quantidades a consumir de dois bens. O bem 2 tem preço constante e igual a $1 por unidade. Para o consumo do bem 1, o consumidor paga um preço igual $1 para todas as unidades consumidas até um limite de 50 unidades. Caso queira consumir acima desse limite, ele deve pagar um preço igual a $1 por unidade para as 50 primeiras unidades consumidas e um preço igual a $2 por unidade para as unidades que excederem o limite de 50 unidades. Esboce a linha de restrição orçamentária desse consumidor. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

67 Rest. Orç. Exemplo continuação Restrição orçamentária para 100: Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

68 Rest. Orç. Exemplo continuação Restrição orçamentária para 100: Restrição orçamentária para >100: 50+2( 50)+ 100 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

69 Rest. Orç. Exemplo continuação Restrição orçamentária para 100: Restrição orçamentária para >100: 50+2( 50)+ 100 Ou ainda, Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

70 Rest. Orç. Exemplo continuação Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

71 Rest. Orç. Exemplo continuação = Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

72 Rest. Orç. Exemplo continuação = Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

73 Rest. Orç. Exemplo continuação = Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

74 Rest. Orç. Exemplo continuação = = Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

75 Rest. Orç. Exemplo continuação = = Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

76 Renda endógena 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

77 Renda endógena Renda endógena No mundo real, a renda monetária de um consumidor típico é afetada pelos preços vigentes. Exemplos: salário afeta a renda do trabalhador, preços do bens agrícolas afetam a renda do agricultor... Uma forma de modelar esse fato, é supor que o consumidor, ao invés de uma renda monetária dada, possui uma dotação inicial de bens. Esse consumidor pode vender, aos preços de mercado, alguns desses bens para comprar outros. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

78 Notação Renda endógena ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

79 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

80 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. e : quantidades consumidas dos bens 1 e 2. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

81 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. e : quantidades consumidas dos bens 1 e 2. A restrição orçamentária tem a forma p 1 ( ω 1 )+ ( ω 2 ) 0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

82 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. e : quantidades consumidas dos bens 1 e 2. A restrição orçamentária tem a forma p 1 ( ω 1 )+ ( ω 2 ) 0 ou ainda p 1 + p 1 ω 1 + ω 2 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

83 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. e : quantidades consumidas dos bens 1 e 2. A restrição orçamentária tem a forma p 1 ( ω 1 )+ ( ω 2 ) 0 ou ainda p 1 + p 1 ω 1 + ω 2 m(p 1, )=p 1 ω 1 + ω 2 é a renda endógena do consumidor. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

84 Renda endógena Notação ω 1 e ω 2 : dotações iniciais dos bens 1 e 2, respectivamente. p 1 e : preços aos quais o consumidor pode comprar pode comprar ou vender esses bens. e : quantidades consumidas dos bens 1 e 2. A restrição orçamentária tem a forma p 1 ( ω 1 )+ ( ω 2 ) 0 ou ainda p 1 + p 1 ω 1 + ω 2 m(p 1, )=p 1 ω 1 + ω 2 é a renda endógena do consumidor. Note que a dotação inicial (ω 1,ω 2 ) pertence à linha de restrição orçamentária. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

85 Renda endógena Representação gráfica ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

86 Renda endógena Representação gráfica ω 2 Dotação inicial ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

87 Renda endógena Representação gráfica ω 2 p 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

88 Renda endógena Representação gráfica ω 2 Linha de restrição orçamentária p 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

89 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

90 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

91 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

92 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

93 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

94 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

95 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

96 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

97 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

98 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

99 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

100 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

101 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

102 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

103 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

104 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

105 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

106 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

107 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

108 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

109 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

110 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

111 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 ω 2 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

112 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

113 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

114 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

115 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

116 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

117 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

118 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

119 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

120 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

121 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

122 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

123 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

124 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

125 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

126 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

127 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

128 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

129 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

130 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

131 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

132 Renda endógena Efeito de variações nos preços Redução em p 1 Aumento em p 1 ω 2 ω 2 ω 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

133 Maximização de utilidade 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

134 Maximização de utilidade O problema da maximização de utilidade Suporemos que o consumidor sempre escolherá, entre todas as cestas que sua restrição orçamentária permite que ele escolha, a cesta de bens mais preferida ou com maior utilidade. A escolha do consumidor é, portanto a solução para o problema de escolher uma cesta de bens (, ) que maximize a função de utilidade U(, ) respeitando a restrição orçamentária e as condições de consumo não negativo p 1 + m, 0, 0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

135 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

136 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

137 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

138 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

139 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. Equilíbrio Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

140 Maximização de utilidade Solução gráfica: solução interior. (p 1,,m) Equilíbrio (p 1,,m) Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

141 Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

142 Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Solução sobre a linha de restrição orçamentária (no caso de preferências monotônicas): p 1 (p 1,,m)+ (p 1,,m)=m Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

143 Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Solução sobre a linha de restrição orçamentária (no caso de preferências monotônicas): p 1 (p 1,,m)+ (p 1,,m)=m Tangência entre a curva de indiferença e a linha de restrição orçamentária: TMS = p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

144 Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Solução sobre a linha de restrição orçamentária (no caso de preferências monotônicas): p 1 (p 1,,m)+ (p 1,,m)=m Tangência entre a curva de indiferença e a linha de restrição orçamentária: TMS = p 1 ou UMg 1 p 1 = UMg 2 =λ Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

145 Maximização de utilidade Propriedades da solução interior Solução sobre a linha de restrição orçamentária (no caso de preferências monotônicas): p 1 (p 1,,m)+ (p 1,,m)=m Tangência entre a curva de indiferença e a linha de restrição orçamentária: TMS = p 1 ou UMg 1 p 1 = UMg 2 =λ λ é utilidade marginal da renda. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

146 Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(, ) λ(p 1 + m) Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

147 Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(, ) λ(p 1 + m) Condições de máximo de 1ª ordem L =0 L =0 L λ =0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

148 Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(, ) λ(p 1 + m) Condições de máximo de 1ª ordem L =0 UMg 1 λp 1 =0 L =0 L λ =0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

149 Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(, ) λ(p 1 + m) Condições de máximo de 1ª ordem L =0 UMg 1 λp 1 =0 L =0 UMg 2 λ =0 L λ =0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

150 Maximização de utilidade Solução pelo método de Lagrange O lagrangeano L =U(, ) λ(p 1 + m) Condições de máximo de 1ª ordem L =0 UMg 1 λp 1 =0 L =0 UMg 2 λ =0 L λ =0 p 1 + m=0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

151 Solução de canto Maximização de utilidade Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

152 Solução de canto Maximização de utilidade Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

153 Solução de canto Maximização de utilidade Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

154 Solução de canto Maximização de utilidade E Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

155 Maximização de utilidade Preferências côncavas Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

156 Maximização de utilidade Preferências côncavas Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

157 Maximização de utilidade Preferências côncavas Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

158 Maximização de utilidade Preferências côncavas Não é máximo Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

159 Maximização de utilidade Preferências côncavas Não é máximo E Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

160 Maximização de utilidade A função de demanda marshalliana Definição As funções de demanda marshalliana (p 1,,m) e (p 1,,m) são funções que fornecem os valores que resolvem o problema de maximizar a função de utilidade U(, ) respeitando as condições. p 1 + m 0 0. Nota: Por vezes é conveniente usar a notação x(p 1,,m) para representar o vetor das funções de demanda, isto é x(p 1,,m)=( (p 1,,m), (p 1,,m)) Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

161 Compra e venda 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

162 Compra e venda Definições x i (p 1,,p 1 ω 1 + ω 2 ) é a chamada demanda bruta pelo bem i (i=1,2). e i (p 1,,ω 1,ω 2 )=x i (p 1,,p 1 ω 1 + ω 2 ) ω 1 é a chamada demanda líquida pelo bem i (i=1,2). Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

163 Compra e venda Representação gráfica ω 2 p 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

164 Compra e venda Representação gráfica ω 2 p 1 ω 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

165 Compra e venda Representação gráfica ( ) ω 2 ( ) ω 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

166 Compra e venda Representação gráfica ( ) ω 2 e 1 ( ) ω 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

167 Compra e venda Representação gráfica ( ) ω 2 e 2 e 1 ( ) ω 1 p 1 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

168 Exemplos 1 Restrição orçamentária 2 Restrição orçamentária com renda endógena 3 Maximização de utilidade 4 Compra e venda 5 Exemplos 6 Exercícios Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

169 Exemplos Preferências Cobb-Douglas Função de Utilidade U(, )=x a 1 xb 2 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

170 Exemplos Preferências Cobb-Douglas Função de Utilidade U(, )=x a 1 xb 2 Condições de equilíbrio TMS = a = p 1 bx 1 p 1 + m Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

171 Exemplos Preferências Cobb-Douglas Função de Utilidade U(, )=x a 1 xb 2 Condições de equilíbrio TMS = a = p 1 bx 1 p 1 + m Funções de demanda (p 1,,m)= a m (p 1,,m)= b m a+bp 1 a+b Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

172 Substitutos perfeitos Exemplos O problema do consumidor maximizar U(, )=a + p1 + =m dadas as restrições, 0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

173 Substitutos perfeitos Exemplos O problema do consumidor maximizar U(, )=a + p1 + =m dadas as restrições, 0 Solução Da primeira restrição, vem = (m )/. Substituindo na função objetivo, o problema passa a ser maximizar a p 1 + m Dadas as restrições, 0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

174 Substitutos perfeitos continuação Exemplos As funções de demanda Caso a= p 1/ teremos (p 1,,m)= (p 1,,m)= ( (p 1,,m), (p 1,,m))= m p 1 caso a> p 1 0 caso a< p 1 0 caso a> p 1 m caso a< p 1 {(, ) R 2 + p 1 + =m} Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

175 Exemplos Complementos perfeitos O problema do consumidor maximizar U(, )=min(a, ) p1 + =m dadas as restrições, 0 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

176 Exemplos Complementos perfeitos O problema do consumidor maximizar U(, )=min(a, ) p1 + =m dadas as restrições, 0 Solução y =a x Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

177 Exemplos Complementos perfeitos O problema do consumidor maximizar U(, )=min(a, ) p1 + =m dadas as restrições, 0 Solução y =a Substituindo =a na restrição orçamentária, x Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

178 Exemplos Complementos perfeitos O problema do consumidor maximizar U(, )=min(a, ) p1 + =m dadas as restrições, 0 Solução y =a x Substituindo =a na restrição orçamentária, m (p 1,,m)= p 1 +a am (p 1,,m)= p 1 +a Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

179 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 0 Se U(, )=( ) 2, então a cesta ótima escolhida pelo consumidorédada por: x 1 = 1 R, x 2 2 = 1 R Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

180 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 0 Se U(, )=( ) 2, então a cesta ótima escolhida pelo consumidorédada por: x 1 = 1 R, x 2 2 = 1 R F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

181 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 1 Se a função de utilidade é dada por: x1 U(, )=max 2,, 3 p 1 =2 e =3, então a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por x 1 = R 2,x 2 = R 3. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

182 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 1 Se a função de utilidade é dada por: x1 U(, )=max 2,, 3 p 1 =2 e =3, então a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por x 1 = R 2,x 2 = R 3. F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

183 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 2 Se U(, )=min 4 1, 2 9x2, a cesta ótima é dada por x 1 = 2R, x 2 3p 1 +2p = 3R 2 3p 1 +2 Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

184 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 2 Se U(, )=min 4 1, 2 9x2, a cesta ótima é dada por x 1 = 2R, x 2 3p 1 +2p = 3R 2 3p 1 +2 F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

185 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 2 Se U(, )=min 4 1, 2 9x2, a cesta ótima é dada por x 1 = 2R, x 2 3p 1 +2p = 3R 2 3p Se U(, )=ln +, e supondo solução interior, a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x 1 = p 1 x 2 = R p 1 F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

186 Exercícios Questão 01, ANPEC 2012 As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda montária exógena do consumidor, a quantidade consumida do bem 1, a quantidade consumida do bem 2, p 1 o preço do bem 1 e o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro: 2 Se U(, )=min 4 1, 2 9x2, a cesta ótima é dada por x 1 = 2R, x 2 3p 1 +2p = 3R 2 3p Se U(, )=ln +, e supondo solução interior, a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x 1 = p 1 x 2 = R p 1 F F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

187 Exercícios Questão 02 de 2007 Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 0 Se U(x,y)=x α y β, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-comportadas. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

188 Exercícios Questão 02 de 2007 Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 0 Se U(x,y)=x α y β, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-comportadas. F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

189 Exercícios Questão 02 de 2007 Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 0 Se U(x,y)=x α y β, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-comportadas. F 1 Se U(x,y)=x+ln(y) e se a demanda é interior, então a variação no excedente do consumidor decorrente de uma variação no preço do bem y mede a variação no bem-estar do consumidor. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

190 Questão 02 de 2007 Exercícios Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 0 Se U(x,y)=x α y β, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-comportadas. F 1 Se U(x,y)=x+ln(y) e se a demanda é interior, então a variação no excedente do consumidor decorrente de uma variação no preço do bem y mede a variação no bem-estar do consumidor. V Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

191 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

192 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

193 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F 3 Se U(x,y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com x. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

194 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F 3 Se U(x,y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com x. V Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

195 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F 3 Se U(x,y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com x. V 4 Se U(x,y)= x+y e se a demanda pelo bem x é interior, então a demanda do bem x não varia localmente com a renda. Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

196 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F 3 Se U(x,y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com x. V 4 Se U(x,y)= x+y e se a demanda pelo bem x é interior, então a demanda do bem x não varia localmente com a renda. V Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

197 Exercícios Questão 02 de 2007 continuação Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 2 Se U(x,y)=min{x,2y}, a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e 1 /4 de unidade de y é menor do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y. F 3 Se U(x,y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com x. V 4 Se U(x,y)= x+y e se a demanda pelo bem x é interior, então a demanda do bem x não varia localmente com a renda. V Roberto Guena de Oliveira () Equilíbrio 16 de março de / 36

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