Utilidade. Universidade Federal de Santa Catarina. From the SelectedWorks of Sergio Da Silva. Sergio Da Silva, Federal University of Santa Catarina

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1 Universidade Federal de Santa Catarina From the SelectedWorks of Sergio Da Silva 00 Utilidade Sergio Da Silva, Federal University of Santa Catarina Available at:

2 Utilidade Hal R Varian Intermediate Microeconomics, 8th edition Capítulo 4 A função utilidade simplesmente descreve numericamente as preferências, que são os fundamentos na análise da escolha Isto significa que a função utilidade u() atribui um número a cada possível cesta de consumo, onde cestas mais preferidas recebem números maiores Assim, ( x, x) ( y, y) se e somente se ux (, x) > uy (, y) A utilidade é ordinal, o que significa que apenas a ordem das cestas importa A diferença de utilidade entre duas cestas quaisquer não importa Se o consumidor preferir a cesta A a B, e B a C, as três funções utilidade da tabela a seguir irão descrever as mesmas preferências Cesta Utilidade A 3 7 B 0 C Qualquer transformação de um conjunto de números em outro continua representando as preferências subjacentes desde que preserve a ordem Se a função f ( u ) transformar cada número u em outro número f ( u ), preservando a ordem u > u, então f ( u) > f( u) Isto ocorre com transformações monotônicas positivas, como: multiplicação por um número positivo: f ( u) = 3u; adição de um número positivo: f( u) = u+ 3; elevação a uma potência ímpar: f ( u) 3 = u ; e assim por diante A taxa de variação de f ( u ) em resposta à variação de u é dada por f f ( u) f( u) = u u u f Se a transformação for monotônica positiva, então u > 0 Exemplos são mostrados na Figura Se f ( u ) for uma transformação monotônica positiva de uma função utilidade que representa determinadas preferências, então f ( ux (, x ) ) também será uma função utilidade que representa as mesmas preferências Isto porque: Se ux (, x ) representar as preferências, e ux (, x) > uy (, y), logo ( x, x) ( y, y)

3 Uma transformação monotônica positiva ( ) já que ux (, x) > uy (, y) f u implica que f ( ux (, x) ) f( uy (, y) ) 3 Combinando os fatos e, f ( ux (, x) ) f( uy (, y) ) ( x, x ) ( y, y ) >, > se e somente se A função utilidade atribui números às curvas de indiferença: curvas representando cestas mais preferidas recebem números maiores Qualquer transformação monotônica positiva apenas renumera as curvas de indiferença preservando a ordem das preferências Utilidade cardinal Para saber se a utilidade de uma cesta de determinado consumidor é maior do que a de outra oferecemos a ele a possibilidade de escolha entre as duas cestas e observamos qual será a escolhida Esta, então, deverá receber um número de utilidade maior Podemos ir adiante e supor que o consumidor gosta de uma cesta duas vezes mais do que de outra se, por exemplo, estiver disposto a pagar por ela duas vezes mais, a percorrer o dobro do caminho, a esperar o dobro do tempo ou a se arriscar em dobro para consegui-la Porém, esse ponto de vista, chamado de utilidade cardinal, é pouco preciso Felizmente, a utilidade cardinal é desnecessária para descrever a escolha: basta a utilidade ordinal Obtenção da função utilidade Se as preferências não forem transitivas, não poderemos representá-las pela função utilidade Dadas as cestas A, B e C, se A B C A, então o número ua ( ) > ub ( ) > uc ( ) > ua ( ), o que é impossível Porém, com preferências bem-comportadas será possível numerar as curvas de indiferença pela distância a partir da origem de uma diagonal (Figura ) Com preferências monotônicas, a linha diagonal somente poderá interceptar cada curva de indiferença uma única vez e cestas mais altas receberão números maiores Dada a função utilidade ux (, x ), as curvas de indiferença podem ser traçadas marcando-se todos os pontos ( x, x ) de modo que ux (, x ) fique constante Este é o nível de indiferença Diferentes níveis (diferentes valores da constante) definem distintas curvas de indiferença

4 Como exemplo, o nível para o qual a função utilidade ux (, x) = x x, fica constante em k é ou k = x x x k = x Assim, para diferentes k =,,3 encontramos as associadas curvas de indiferença, como na tabela a seguir k x x = 3 3 k x Para k =, se x = 0 x = e, se x = 0 x = Isto significa que a curva de indiferença para o nível k = não corta os eixos (Figura 3)

5 Para a função utilidade vx (, x) = x x note que vx (, x) ( x x) = Como, do exemplo anterior, ux (, x) = x x, logo vx (, x ) é o quadrado de ux (, x ) Como x x não pode ser negativo, ux (, x) = x x não pode ser negativo Assim, vx (, x ) é uma transformação monotônica positiva de ux (, x ) e, portanto, vx (, x ) possui as mesmas curvas de indiferença da Figura 3 Apenas os números mudarão: de,, 3 para, 4, 9 Por exemplo, o conjunto das cestas com vx (, x ) = 9 é igual ao conjunto com ux (, x ) = 3 Consideraremos a seguir exemplos para bens substitutos perfeitos e complementares e as funções quase-linear e Cobb-Douglas Exemplos de função utilidade Para bens substitutos perfeitos, como lápis vermelhos e azuis, onde o que interessa é o número total de lápis e não a cor, a função utilidade ux (, x) = x+ x pode representar suas curvas de indiferença porque: x+ x é constante ao longo de cada curva Para x+ x = 0, por exemplo, a curva de indiferença passa pelos pontos (0, 0), (, 9), e assim por diante Além disso, cestas mais preferidas apresentam um número maior Para x + x =, a curva que passa por (, ), (, 0), encontra-se acima da anterior que passa por (0, 0), (, 9),

6 Qualquer função utilidade que seja uma transformação monotônica positiva de ux (, x) = x+ x também representará as preferências envolvendo bens substitutos perfeitos Por exemplo, vx (, x) = ( x+ x) = x + xx + x e também ux (, x) = x+ x, que representa as curvas de indiferença de inclinação Em geral, ux (, x) = ax+ bx a representa as preferências envolvendo bens substitutos perfeitos, onde b é a inclinação, e a e b são valores positivos que medem a importância dada pelo consumidor aos bens e, respectivamente Partindo da cesta (0, 0), podemos acrescentar uma unidade a mais do bem e ficar com (, 0) Se os bens forem complementares, serão preferidos em conjunto e, assim, o acréscimo do bem não irá fazer diferença para o consumidor, o que significa que ele ficará na situação de antes, na mesma curva de indiferença A função utilidade para bens complementares seria, então, já que { x x} ux (, x) = min,, min{ 0, 0} = min{, 0} = 0 Qualquer transformação monotônica positiva dessa função utilidade continuará representando as mesmas preferências envolvendo bens complementares Assim, sua forma geral será { ax bx} ux (, x) = min,, onde a e b (positivos) representam as proporções em que cada bem é consumido Para x = k v( x ) ou vx ( ) + x = k,

7 a função utilidade ux (, x) = k= vx ( ) + x é linear com relação ao bem, mas possivelmente não-linear com relação ao bem Isto é um exemplo de função utilidade quase-linear (Figura 4) Outros exemplos: ux (, x) = x+ x e ux (, x) = lnx+ x As preferências são ditas bem comportadas se forem ao mesmo tempo monotônicas e convexas A função mais simples que descreve essas preferências é a Cobb-Douglas: ux (, x) = x x, c d onde c e d (positivos) descrevem as preferências do consumidor (Figura 5) Transformações monotônicas positivas dessa função utilidade representam as mesmas preferências Extrair o log natural é uma possível transformação monotônica positiva:

8 ( c d) vx (, x) = ln x x = clnx+ dlnx Outra transformação possível é elevar à potência c+ d: x c d c+ d c+ d x Fazendo c a c + d podemos ver que c c+ d c d a = = = c+ d c+ d c+ d Então, vx (, x) = x x a a Como a+ ( a) =, podemos, dessa maneira, sempre obter uma transformação monotônica positiva da função utilidade Cobb-Douglas para tornar a soma dos seus expoentes igual a Utilidade marginal A utilidade U da cesta ( x, x ) aumenta se o consumidor desejar mais do bem, x, mesmo que o consumo do bem fique constante Assim, a utilidade marginal do bem é U ux ( +, x) ux (, x) = =, onde U representa a taxa de variação na utilidade: U = x Analogamente, a utilidade marginal do bem é U ux (, x +) ux (, x) = = Agora, U = x Utilidade marginal e taxa marginal de substituição Se o aumento no consumo do bem, x, for compensado com uma redução no consumo do bem, x, a utilidade ficará constante ( U = 0 ) e o consumidor ficará na mesma curva de indiferença:

9 x+ x = U = 0 ou x = x = = TMS Logo, a taxa marginal de substituição (TMS) é a razão das utilidades marginais Como uma transformação monotônica positiva de uma função utilidade leva a outra função utilidade que representa as mesmas preferências, a razão entre as utilidades marginais independe da transformação monotônica ocorrida e a TMS continua sendo a mesma O numerador e o denominador serão afetados igualmente e, portanto, a TMS independerá da representação dada pela utilidade O termo marginal significa apenas que estamos lidando com uma derivada A utilidade marginal do bem, por exemplo, será ux ( +, x) ux (, x) x (, x) = lim = 0 x Usamos a derivada parcial porque o valor do bem fica constante A variação ( dx, dx ) que mantém a utilidade constante ( du = 0 ) é dada por: x (, x) x (, x) du = dx + dx = 0 x x ou dx x = dx, x que é a TMS: x x dx TMS = = dx TMS = Além de recorrer a diferenciais, podemos chegar ao mesmo resultado pelo método da função implícita A curva de indiferença pode ser expressa como: ux (, x( x)) = k Diferenciando em relação a x :

10 x x x x + = x x x x = 0 x x = x x, que também é a TMS = Para mostrar que a TMS independe da transformação monotônica ( ) vx (, x) = f ux (, x), consideramos o resultado x x TMS = Usando a regra da cadeia, TMS f x x x f x x x = = = = Para saber se diferentes funções utilidade representam as mesmas preferências, basta calcular suas TMS e ver se são iguais, quando terão as mesmas curvas de indiferença, e depois verificar se o sentido do aumento das preferências é a mesmo Como exemplo, tomemos duas transformações monotônicas positivas da função utilidade Cobb-Douglas: a do log natural e a da representação exponencial A do log natural é dada por: vx (, x) = clnx+ dlnx As suas utilidades marginais são: c = = 0ln x + c + 0ln x + 0 d = x x x e

11 d = = 0ln x + 0 c + 0ln x + d = x x x Logo, c x c x d x TMS = = = d x Já a da representação exponencial é dada por: vx (, x) = xx c d As suas utilidades marginais são: = = cx x + 0 x = cx x c d c c d x = = 0 x + dx x = dx x d d c d c x Logo, cx x c x x c c c c x TMS = x x x x x dx x = d x x = d = d = d x = d x, c d c d c c d ( d ) d c c d que é igual à TMS da representação do log natural Portanto, as duas funções utilidade acima representam as preferências Cobb-Douglas Utilidade do transporte urbano Se uma cesta de bens X for escolhida quando outra cesta Y estiver disponível, então X deve ter uma utilidade maior do que Y Observando a escolha, podemos inferir uma função utilidade Esta noção pode ser usada no estudo do comportamento de usuários de ônibus em um modelo onde o consumidor opta entre carro e ônibus Consideremos duas cestas que compartilham as características: tempo de viagem, tempo de espera, custo em dinheiro, conforto e conveniência A primeira cesta ( x, x,, x n) representa essas n características no uso de carro, e a cesta ( y, y,, y n) representa essas características no uso de ônibus Vamos supor que, para determinado consumidor, essas características sejam representadas por uma função utilidade linear: U( x, x,, x ) = β x + β x + + β x, n n n onde os coeficientes são as utilidades marginais, que podem ser encontradas por técnicas estatísticas a partir da observação do comportamento de diversos consumidores A razão entre dois betas quaisquer fornece a TMS entre as duas características

12 Domenich & McFadden (975) estimaram a função acima e obtiveram U( x, x, x ) = 047x 004x 4x, 3 3 onde x é o tempo de viagem a pé comparado com o de ônibus e carro; x é o tempo de viagem total de ônibus, e x 3 é o custo em dinheiro da viagem de ônibus Depois de aplicada, essa função utilidade conseguiu descrever bem a escolha entre carro e ônibus para 93% dos consumidores americanos em uma amostra para o ano de 967 Por exemplo, a TMS β US$0 por hora = = = β3 4 Isto significa que o usuário de ônibus típico estava disposto a pagar US$037 para reduzir em 0 minutos o tempo de viagem (0/3 = 037) O salário médio do usuário de ônibus típico era de US$85 Comparando esses custos, as autoridades puderam calcular se valia a pena aumentar a frequência de circulação de ônibus ou não A TMS fornece a medida do benefício e a autoridade pode compará-lo aos custos Sergio Da Silva 00 sergiodasilvacom