2 - f: R R: y = x 2 Classicação: Nem injetora, nem sobrejetora.

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1 Apostila de Métodos Quantitativos - UERJ Professor: Pedro Hemsley Funções: f: X Y : Associa a cada elemento do conjunto X um único elemento do conjunto Y. Existem tres tipos especícos de funções: Sobrejetora, Injetora e Bijetora Sobrejetora: Associa todo elemento de Y a pelo menos um elemento de X. Injetora: Associa a cada elemento de Y um único elemento de X. Bijetora: sobrejetora e injetora. - f: R R: y = x. Classicação: Injetora e Sobrejetora = Bijetora 2 - f: R R: y = Classicação: Nem injetora, nem sobrejetora.

2 3 - f : R R + : y = Classicação: Sobrejetora mas não injetora OBS: Note a diferença entre os exemplos 2 e 3: no último, o contra-domínio inclui apenas os reais não-negativos. 4 - f : R + R: y = x Classicação: Injetora mas não sobrejetora (pois não cobre os reais negativos no contra-domínio Apenas as funções bijetoras admitem função inversa, pois ligam todos os elementos do conjunto Y a um único elemento do conjunto X. Função-Linear Def: Função que preserva estrutura do espaço vetorial. É uma reta (ou plano, ou hiperplano que passa pela origem. f: R K R M / f(αx + βy = αf(x + βf(y x,y R K, α, β R 2

3 -f : R R : y = 2x; y = ax, a R. 2 - f: R 2 R: y = f(x, = 2x f: R k R: y = f(x,,x k = a x + + a k x k 4 - f: R 2 R 2 : y = f (x, = x + ; y 2 = f 2 (x, = x ou: [ ] [ ] [ ] x y = y 2 OBS: As matrizes são uma das formas de representação de funções lineares, ou sistemas de funções lineares. 5 - f: R 3 R 2 : y = x + + x 3 ; y 2 = x + 2 x 3 ou: [ ] x [ ] x 2 2 y = y f: R K R M : y = a x + + a k x k ; y 2 = a 2 x + +a 2k x k ; ; y m = a m x + + a mk x k ou a a k x y *.. =. a m a mk x k y m Toda função linear pode ser representada em forma matricial. representam funções-lineares. Curva de Nível f(x,, x n = b R M Exemplo: f: R 2 R: y = 2x + : = y - 2x gráco para y = : Matrizes Forma Quadrática: extensão natural: generalização de equação de segundo grau. Q(x, = a + a 2 x + a 22 2 : expoentes de cada termo somam 2. Q(x,, x 3 = a + a 2 x + a 3 x x 3 + a a 23 x 3 + a 33 3 Forma Geral: Q(x,,x k = k /i,j= aij x i x j Curva de nível: 3

4 Exemplo: u(x, = x x = u = u x para u exógeno, xo. Gráco para u = : Representação Matricial a x + a 2 x + a 22 = [ x ] [ a a 2 0 a 22 ][ x ] ou ainda (a representação matricial da forma quadrática não é única: a x + a 2 x + a 22 = [ ] [ a x x 2 a ][ ] 2 x 2 2 a 2 a 22 Forma Geral: Q(x,,x m = i j aij xx j = [ 2 ] a a 2 2 a m 2 x x m a 2a 22 2 a 2m * 2 a m a mm Ou seja: Q(x = x T Ax, sendo x T a transposta de x, x = [ ] x x m e A uma matriz simétrica e única. Já que a forma quadrática admite mais de uma representação matricial, o melhor é escolher a representação simétrica. Função contínua: existe um ponto (x 0, f(x 0 no qual f(x 0 existe e é igual ao valor do seguinte limite: lim x x0 f(x 0 (ou seja, o limite deve existir e ser igual ao valor da função no ponto. Inclinação Seja y = f(x; y = ax y = a x a = y x : inclinação. Em funções lineares, a inclinação é constante. Exemplo: f(x = 0 - x; inclinação: - Gráco: x.. x m 4

5 Em funções não-lineares, a inclinação não é constante. A inclinação assume valores diferentes em pontos diferentes. Exemplo: f(x = Gráco: Como denir a inclinação para funções não-lineares? Usamos a derivada: = lim 0( f(x+ f(x Exemplo: y = = lim 0( (x+2 = lim 0 ( + 2x = 2x = 2x = lim 0 ( x x = lim 0 ( 2 +2x Há formas mais fáceis de se calcular uma derivada do que fazendo uso da denição (limite. Para isso, existem algumas regras: - y = x k = kxk 2 - y = ax, a constante = a 3 - y = f(x + g(x = d(f(x 4 - y = af(x = a d(f(x 5 - y = f(xg(x 6 - y = f(x g(x = d(f(x = d(f(x 7 - y = ln x = x 8 - y = e x = ex 9 - y = a x = ax ln a + d(g(x g(x + f(x d(g(x g(x f(x d(g(x g 2 (x Regra da Cadeia: usamos para derivar funções compostas 5

6 y = f(g(x = f (g(xg (x - y =ln( = x 2 = y =(lnx 2 = 2(ln x x = 2lnx x 3 - y = (f(x k = kf(xk f'(x Derivada Parcial: Utilizamos a derivada parcial em funções com mais de uma varíavel. Deriva-se em relação a uma das variaveis, tomando as demais como constantes. - f(x,y = y 2 df = 2xy2 ; df = 2yx2 2 - f(x,y = 3 y 2 + 4xy 3 + 7y df = 6xy2 + 4y 3 ; df = 6x2 y + 2xy Aplicações: Seja u(x, : utilidade, então du i : utilidade marginal do bem i. Seja f(x, : função de produção, então df i : produto marginal do fator de produção i. 3 - u = 4x 4 x2 4 3 û = ln u = ln (4x 4 x2 4 = ln 4 + ln (x ln (x2 4 ln = ln lnx dû = 3 4 * x = 3 4x ; y = 4x 4 x2 4 = 4* 3 4 *x dû 2 = 4 * = 4 4 *x2 4 = 3( x 4 ; 2 = 4* 4 *x 3 Inclinação da Curva de Indiferença (TMS: 2 y = UMG UMG2 = 3 4x 4 = 3x2 x Inclinação da Isoquanta (TMST: 2 y = P MG P MG2 = 3( x 4 ( x 3 4 = 3x2 x 4 *x2 3 4 = ( x 3 4 Derivada Total: com apenas uma varíavel: usamos a expansão de Taylor: f(x =f(x 0 + f'(x 0 (x - x 0 Ou seja: f(x - f(x 0 =f'(x 0 (x - x 0 f = f'(x 0 * x f = df(x0 x Com várias váriaveis: f = df(x0 x + + df(x0 m x m Ou seja: é a equação do plano tangente ao ponto (x, x 2, f(x, x 2. Equação Paramétrica de um plano tangente: precisamos de um ponto e de duas direções (i.e., dois vetores direcionais: x = p + su + tv; s, t R; u,v vetores. O ponto inicial é p = (x, x 2, f(x, x 2. Os dois vetores são: 6

7 u = (,0, df(x,x 2 e v = (0,, df(x,x 2 2 Então: x = (x, x 2, f(x, x 2 + s * (,0, df(x,x 2 + t * (0,, df(x,x 2 2 x = (x + s, x 2 + t, f(x, x 2 + s* df(x,x 2 + t* df(x,x 2 2 Podemos escrever o plano tangente como uma função que, para cada par (s, t, associa o valor abaixo: (s,t f(x, x 2 + s df(x,x 2 + t df(x,x 2 2 Ou seja: f(x + s, x 2 + t - f(x, x 2 =s df(x,x 2 + t df(x,x 2 2 Forma matricial: ( df(x,x 2 df(x,x 2 2 ( s t Logo, a matriz acima representa uma aproximação linear da função f no ponto (x, x 2 Dena então: Df(x, x 2 = ( df(x,x 2 df(x,x 2 2 Df é a derivada de f, e representa uma aproximação linear de f em torno do ponto (x, x 2. Podemos estender o mesmo raciocínio para mais de duas variáveis. Dessa forma, para funções f: R n R, n > 2, temos: Df = df + + df n n Diferencial Total. O hiperplano tangente é o gráco de uma função-am. Notação para o que se segue: (h,..., h m é a generalização para R n do vetor (s, t acima, que está em R 2 por ter apenas duas coordenadas. Ou seja, interprete h = s, h 2 = t. (h,, h m f(x + df(x h + + df(x m Notação para variações Função linear df(x m A matriz Df(x = ( df(x é a derivada de f no ponto x*. Quando f:r n R (Contradomínio é unidimensional, essa matriz é um vetor chamado GRADIENTE. No caso geral, f:r n R, chama-se matriz JACO- BIANA. Regra da cadeia em R n Denição: Curva em R n : Representação paramétrica: x(t = (x (t,,x n (t x i é a função para a coordenada i. t é o parâmetro. - x: vetor de n insumos t: Instante no tempo: parâmetro (x (t,,x n (t: quantidade de cada insumo utilizada em cada instante de tempo. h m 7

8 2 - Segmento de reta entre os pontos (0,0 e (, x(t = t ; y(t = t ; t [0, ] Assim como denimos a derivada x'(t da função x(t em R, denimos x'(t = (x' (t x' n (t. Esse vetor é tangente à função x(t em um ponto t qualquer. Seja x 0 = x(t 0 Seja {h j } uma sequência / h j 0 j =,,n Então x(t 0 + h j x(t 0 Logo: x(t 0 + h j - x(t 0 = h j (x(t 0 + h j - x(t 0 = x(t0+hj x(t0 h j Esse vetor é apenas a diferença x(t 0 + h j - x(t 0 multiplicada pelo escalar h j. Dessa forma, temos que: lim hj 0( x(t0+hj x(t0 h j = x(t0+h x(t0 x h j(t 0+h j x(t 0 h j = x (t 0 x j(t 0 = x'(t 0 - Considere a curva z(t = (x(t, y(t, com x(t = t 3, y(t = t 2. z'(t = (3t 2, 2t z'(t = = (3, 2 z'(t = 0 = (0,0 : Vetor zero: Não tem direção : a reta tangente não está bem denida neste ponto. ATENÇÃO: a derivada é linear porque é sempre avaliada em um ponto! z'( t = = (3,2, mesmo que z'(t = (3t 2, 2t seja não-linear! Uma curva é dita REGULAR se todo x i (t for contínuo em t e [ x (t x n(t ] [ 0 0 ] t. Regra da Cadeia: Seja(x (t,, x n (t uma curva regular, t [a, b]. Pergunta típica: Como uma função f:r n R se comporta ao longo dessa curva? Construímos assim uma função g: f:r R: g(t = f(x (t,,x n (t, t [a, b]. Se n =, podemos utilizar a regra da cadeia já vista: g'(t = f'(x(tx'(t 8

9 Para n >, temos uma expressão análoga, usando o conceito de derivada total: g'(t = dg dt = df (x(t dt (t + + df n (x(t n dt (t Exemplo: f(x,y = + y 2 x(t = t y(t = t g(t = f(x(t, y(t é o quadrado da distância ao longo da reta de 45º. A derivada dessa função no ponto (, é: g'(t = (x(t 2 + y(t 2 ' = 2*x(t* + 2*x(t* = 2*(x(t + y(t = 2*(t + t = 4t. g'( = 4. 9