MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
2 DERIVADAS PARCIAIS
3 DERIVADAS PARCIAIS Sejam z = f x, y uma função real de duas variáveis reais; x 0, y 0 D f. Fixando y 0, podemos considerar a função g de uma variável dada por: g x = f x, y 0 A derivada desta função no ponto x = x 0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f, em relação a x, no ponto x 0, y 0.
4 DERIVADAS PARCIAIS A derivada parcial de f, em relação a x, no ponto x 0, y 0 é indicada com uma das notações: Assim f x 0, y 0 ou x=x 0 y=y 0 f x 0, y 0 = g x 0 De acordo com a definição de derivada temos: f x 0, y 0 = g x 0 = lim x x 0 g x g x 0 x x 0 = lim x x 0 f x, y 0 f x 0, y 0 x x 0
5 DERIVADAS PARCIAIS Para se calcular f x 0, y 0 Fixa-se y = y 0 em z = f x, y ; Calcula-se a derivada de g x = f x, y 0 em x = x 0 : f x 0, y 0 = g x 0. EXEMPLO: Seja f x, y = 2xy 4y. Para calcularmos f x, y devemos olhar y como constante e derivar a função em relação a x. f x, y 2xy 4y = = 2xy 4y = 2y 0 = 2y.
6 DERIVADAS PARCIAIS De modo análogo, sejam z = f x, y uma função real de duas variáveis reais; x 0, y 0 D f. Fixando x 0, podemos considerar a função h de uma variável dada por: h y = f x 0, y A derivada desta função no ponto y = y 0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f, em relação a y, no ponto x 0, y 0.
7 DERIVADAS PARCIAIS A derivada parcial de f, em relação a y, no ponto x 0, y 0 é indicada com uma das notações: Assim f x 0, y 0 ou x=x 0 y=y 0 f x 0, y 0 = h y 0 De acordo com a definição de derivada temos: f x 0, y 0 = h y 0 = lim y y 0 h y h y 0 y y 0 = lim y y 0 f x 0, y f x 0, y 0 y y 0
8 DERIVADAS PARCIAIS Para se calcular f x 0, y 0 Fixa-se x = x 0 em z = f x, y ; Calcula-se a derivada de h y = f x 0 em y = y 0 : f x 0, y 0 = h y 0. EXEMPLO: Seja f x, y = 2xy 4y. Para calcularmos f x, y devemos olhar x como constante e derivar a função em relação a y. f x, y 2xy 4y = = 2xy 4y = 2x 4.
9 EXEMPLO 1. Considere a função z = f x, y dada por z = arc tg x 2 + y 2 sabendo que, sempre que k é uma constante arc tg t 2 + k 2 = t 2 + k t 2 + k 2 2 Calcule: a) b) x=1 y=1 c) d) x=0 y=0
10 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1. A) a) = arc tg x2 +y2 = 2x+0 1+ x 2 +y 2 2 = x2+y2 1+ x 2 +y 2 2 = 2x 1+ x 2 +y 2 2 x2 y2 = + 1+ x 2 +y 2 2
11 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1. B) b) x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 y=1 = arc tg x2 +y 2 = 2x 1+ x 2 +y 2 2 x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 y=1 = = = 2 5
12 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1. C) c) = = arc tg x2 +y2 x2+y2 1+ x 2 +y 2 2 = = 0+2y 1+ x 2 +y 2 2 2y 1+ x 2 +y 2 2 x2 y2 = + 1+ x 2 +y 2 2
13 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1. D) d) x=0 y=0 x=0 y=0 x=0 y=0 = arc tg x2 +y 2 = 2y 1+ x 2 +y 2 2 x=0 y=0 x=0 y=0 x=0 y=0 x=0 y=0 x=0 y=0 = = = 0
14 NOTE QUE x 2 +y 2 = x2 y2 + = 2x d x 2 +y 2 dx = d x2 dx d y2 + dx d x 2 +y 2 dx = 2x + d y2 dy dy dx d x 2 +y 2 dx Portanto: = 2x + 2y dy dx x 2 +y 2 d x2 +y 2 dx
15 VETOR GRADIENTE
16 VETOR GRADIENTE Seja z = f x, y uma função que admite derivadas parciais em x 0, y 0. O vetor f x 0, y 0 = f x 0,y 0, f x 0,y 0 denomina-se gradiente de f em x 0, y 0.
17 EXEMPLO 2. Seja f x, y = x 2 + y 2. Calcule f 2, 1. Solução: Note que: f x2 +y 2 = 2x f x2 +y 2 x=2 y=1 = 2 2 = 4 f x2 +y 2 = 2y f x2 +y 2 x=2 y=1 = 2 1 = 2 Assim: f x, y = f x,y, f x,y = 2x, 2y f 2,1 = 4, 2
18 REGRA DA CADEIA
19 REGRA DA CADEIA Sejam f x, y uma função definida em A R 2 γ t uma curva definida num intervalo I, tal que γ t D f para todo t I. Se f e γ forem diferenciáveis, então a composta F t = f γ t será diferenciável e: F t = f γ t γ t T
20 EXEMPLO 3. Seja f x, y = xy e γ t = t 3, t 2. Considere F t = f γ t. Calcule: a) F t b) F t c) f γ t γ t T
21 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 3. A) a) Calcule F t Uma vez que f x, y = xy e γ t = t 3, t 2. F t = f γ t F t = f t 3, t 2 F t = t 3 t 2 F t = t 5
22 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 3. B) b) Calcule F t Uma vez que f x, y = xy: γ t = t 3, t 2 e F t = t 5, temos que: F t = t 5 F t = 5t 5 1 F t = 5t 4
23 SOLUÇÃO DO EXEMPLO 3. C) c) Calcule f γ t γ t T Uma vez que f x, y = f = y, x e γ t = t3, t 2, temos que: f γ t = f t 3, t 2 = t 2, t 3 γ t = t 3, t 2 = 3t 2, 2t Assim: f γ t γ t T = t 2 t 3 3t 2 2t f γ t γ t T = t 2 3t 2 + t 3 2t f γ t γ t T = 3t 4 + 2t 4 = 5t 4
24 REGRA DA CADEIA df dt = f t + f t
25 EXEMPLO 4. Sejam z = x 2 y, x = e t2 e y = 2t + 1. Calcule dz dt. Solução: Utilizando a Regra da Cadeia temos que: dz = + dt t t dz = x2 y dt et2 t + x2 y 2t+1 t dz dt = 2xy 2tet2 + x 2 2 dz dt = 4xytet2 + 2x 2
26 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO
27 PONTO DE MÁXIMO Seja f x, y uma função a valores reais x 0, y 0 A, com A D f Dizemos que x 0, y 0 é ponto de máximo de f em A se, para todo x, y em A, f x, y f x 0, y 0. Sendo x 0, y 0 ponto de máximo de f em A, o número f x 0, y 0 será denominado valor máximo de f em A.
28 PONTO DE MÁXIMO Seja f x, y uma função a valores reais x 0, y 0 D f Dizemos que x 0, y 0 D f é ponto de máximo global ou absolutamente de f se, para todo x, y D f em A, f x, y f x 0, y 0. Neste caso, f x 0, y 0 é o valor máximo de f.
29 PONTO DE MÍNIMO Seja f x, y uma função a valores reais x 0, y 0 A, com A D f Dizemos que x 0, y 0 é ponto de mínimo de f em A se, para todo x, y em A, f x, y f x 0, y 0. Sendo x 0, y 0 ponto de mínimo de f em A, o número f x 0, y 0 será denominado valor mínimo de f em A.
30 PONTO DE MÍNIMO Seja f x, y uma função a valores reais x 0, y 0 D f Dizemos que x 0, y 0 D f é ponto de mínimo global de f se, para todo x, y D f em A, f x, y f x 0, y 0. Neste caso, f x 0, y 0 é o valor mínimo de f.
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