Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 1 - Soluções

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1 Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista - Soluções ) Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os preços desses bens do seguinte modo: o preço é R$,00 até 5 unidades adquiridas, e o preço é R$ 2,00 para unidades adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que João tem uma renda de R$ 0,00. a) Ilustre graficamente a reta orçamentária de João. S: O governo cobra R$ 2,00 apenas para as quantidades superiores a cinco unidades compradas de cada bem. Se o indivíduo decidir comprar 6 unidades de um dos bens, ele pagará R$,00 pelas cinco primeiras unidades e R$ 2,00 pela sexta unidade adquirida. Portanto, a reta orçamentária é descrita pelo gráfico abaixo: b) Descreva a reta orçamentária em termos algébricos. S: Na reta orçamentária abaixo, o número 5 em cada equação é o valor das cinco primeiras unidades compradas por real. Os termos 2(x 2 5) e 2(x 5) são as quantidades de x e x 2 que excedem 5 unidades, multiplicadas pelo preço nesse caso, igual a 2. { x + 2(x 2 5) + 5 = 0,se x 2 > 5,0 x 5 x 2 + 2(x 5) + 5 = 0,se x > 5,0 x 2 5 2) Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta orçamentária de Maria é p M x x + p M y y = m M e a reta orçamentária de João é p J xx + p J y y = m J, onde p M x /p M y p J x/p J y. Ou seja, o custo de mercado entre x e y para Maria é diferente do custo de mercado para João. Maria e João decidem se casar e formar uma família onde a renda dos dois é gasta em conjunto, apesar de que os preços dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes. a) Defina a restrição orçamentária do casal. S: A restrição orçamentária do casal é p x x + p y y = m, onde p x = min { p M x,p J x} e py = min { p M y,p J } y e m = m M + m J. b) Haverá especialização na compra dos bens? S: Sim. Quem comprará um determinado bem é quem tem acesso ao menor preço deste bem. Por exemplo, se p x = p M x e p y = p J x, ou seja, se Maria tem acesso a um preço mais barato para o bem x e João tem acesso a um preço mais barato para o bem y, Maria se especializa na compra do bem x e João se especializa na compra do bem y.

2 3) Suponha um consumidor que tenha preferências definidas entre cestas compostas por dois bens do seguinte modo: se (x,x 2 ) > (y,y 2 ) (ou seja, x > y e x 2 > y 2 ), então x y. Se (x,x 2 ) < (y,y 2 )(ou seja, x < y e x 2 < y 2 ), então y x. Finalmente, se (x,x 2 ) = (y,y 2 ), então x y. Essas preferências são (justifique sua resposta): a) Completas? S: Não. Duas cestas tais como (x,x 2 ) e (y,y 2 ) com x > y e x 2 < y 2 não são comparáveis, para o sistema de preferências considerado (por exemplo, (,2) e (2,) não são comparáveis: não podemos dizer qual cesta é melhor ou se são indiferentes). b) Transitivas? S: Sim. Temos que mostrar que se a cesta x é preferível à cesta y e a cesta y é preferível à cesta z, então a cesta x é preferível a cesta z. Note que se x y então (x,x 2 ) (y,y 2 ) e se y z (y,y 2 ) (z,z 2 ). Portanto, (x,x 2 ) (z,z 2 ) e então x z. Ou seja, essas preferências são transitivas. c) Monotônicas? S: Sim, por definição ( quanto mais, melhor ). d) Convexas? S: Sim, pois se x e y são duas cestas de bens tais x y, então (x,x 2 ) = (y,y 2 ), e portanto λx + ( λ)y = x, λ [0,], o que por sua vez significa λx + ( λ)y x, λ [0,]. 4) Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade marginal de consumir o bem A é 2 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B é 2. Suponha também que os preços dos bens A e B são R$2 e R$, respectivamente e que as preferências desse consumidor são estritamente convexas. a) Essa pessoa está escolhendo quantidades ótimas dos bens A e B? Caso não esteja, qual bem ela deveria consumir relativamente mais (não se preocupe com a restrição orçamentária nesse item)? S: Denote a cesta de bens que essa pessoa consome por x. Para essas quantidades de bens, temos que: u(x) x A u(x) x B = 6 2 = p A p B A TMS entre A e B é maior do que a relação de preços entre A e B. Nesse caso, o consumidor pode aumentar sua utilidade se consumir mais do bem A e menos do bem B, pois no mercado ele pode trocar 2 unidades de B por uma unidade de A e tal troca vai aumentar sua utilidade em uma razão de seis vezes. b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique S: Não, depende apenas da relação entre as utilidades marginais, que permanece a mesma qualquer que seja a função de utilidade usada para representar as preferências. 5) Suponha que Ana consome apenas pão e circo, e suas preferências são estritamente convexas. Um certo dia o preço do pão aumenta e o preço do circo diminui. Ana continua tão feliz quanto antes da mudança de preços (a renda de Ana não mudou). a) Ana consume mais ou menos pães após a mudança de preços? b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes? S: (a e b juntos) Nesse caso, pão se torna mais caro relativamente ao circo. A reta orçamentária se torna mais inclinada. Essa mudança na reta orçamentária é tal que o indivíduo alcança o mesmo nível de utilidade de antes (ou seja, a nova reta orçamentária tangenciará a mesma curva de indiferença que a reta orçamentária original tangenciava.). O gráfico abaixo mostra que Ana consome menos pães do que antes (equilíbrio muda de E para Ê) e que cesta que ela consumia antes (E) não é mais possível de ser adquirida aos novos preços. 2

3 6) Considere a utilidade u(x,x 2 ) = ax + bx 2. a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade. S: Uma curva de indiferença em particular pode ser encontrada fazendo-se u(x,x 2 ) = u, ou seja, u = ax + bx 2, logo ax + bx 2 = u 2. Isto quer dizer que o mapa de indiferença dessa utilidade tem a mesma forma do que o mapa de indiferença para a utilidade ũ(x,x 2 ) = ax +bx 2. Portanto, esta utilidade também representa bens substitutos perfeitos. A curva de indiferença é: Observe que a TMS de u, é igual a TMS de ũ: T MS u 2 (x,x 2 ) = 0.5(ax + bx 2 ) 0.5 a 0.5(ax + bx 2 ) 0.5 b = a b = T MSũ2 (x,x 2 ) b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor. S: O problema do consumidor é atingir o nível mais alto de utilidade, dada a restrição orçamentária. Como os bens são perfeitamente substitutos, o consumidor comprará o bem que for relativamente mais barato: o bem que tiver menor preço dividido pelo coeficiente da utilidade. As funções de demanda: x M (p,p 2,m) = x M 2 (p,p 2,m) = { { m/p, se p /a < p 2 /b 0 se p /a > p 2 /b m/p 2, se p /a > p 2 /b 0 se p /a < p 2 /b 3

4 No caso em que p 2 /b = p /a, o consumidor é indiferente entre qual dos bens comprar, pois a TMS é sempre igual à relação de preços dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer quantidade de x e x 2tal que satisfaça a sua reta orçamentária p x + p 2x 2 = m. c) Agora suponha que a=b= e p =, p 2 = 2 e m = 00. Ilustre graficamente a solução neste caso. Qual a TMS na cesta ótima? Para este caso, vale a condição de igualdade de TMS e relação de preços? Discuta intuitivamente sua resposta. S: O gráfico abaixo ilustra a solução neste caso. Na cesta ótima, x = 00 e x 2 = 0, não é válida a igualdade entre TMS e relação de preços (T MS = 0.5 = p /p 2 ). Isto ocorre porque estamos em uma solução de canto: apenas o bem é consumido. Se fosse possível, o indivíduo continuaria a trocar o bem 2 pelo bem, mas ele já está no limite, sem mais nenhuma quantidade do bem 2 para trocar pelo bem. A igualdade entre as TMS e a relação de preços é válida para soluções interiores, ou seja, cestas tais que as quantidades dos bens são todas positivas (estritamente maiores do que zero). 7) Considere a utilidade u(x,x 2 ) = (min{ax,bx 2 }) 2. a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade. S: Procedemos como na questão anterior: uma curva de indiferença em particular pode ser encontrada fazendo-se u(x,x 2 ) = u, ou seja, u = (min{ax,bx 2 }) 2, logo u = min{ax,bx 2 }. Isto quer dizer que o mapa de indiferença desta utilidade tem o mesmo formato do que o mapa de indiferença da utilidade ũ = min{ax,bx 2 }. Portanto, esta utilidade também representa bens complementares perfeitos. A curva de indiferença é ilustrada na figura abaixo. A TMS entre os dois bens não está bem definida, pois a utilidade não é diferenciável. Porém, podemos dizer que ela será igual a zero ou a infinito, dependendo da cesta em que for calculada. Se a cesta (x,x 2 ) for tal que x < x 2, então T MS 2 (x,x 2 ) = 0, pois neste caso o consumidor não está disposto a trocar o bem pelo bem 2. Se a cesta (x,x 2 ) for tal que x > x 2, então T MS 2 (x,x 2 ) = +, pois neste caso o consumidor está disposto a trocar o bem pelo bem 2 qualquer que seja a taxa de troca ( a TMS é uma medida local, vale apenas para uma vizinhança da cesta em questão.). Finalmente, se a cesta (x,x 2 ) for tal que x = x 2, então T MS 2 (x,x 2 ) não está definida. 4

5 b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor. S: Como podemos observar no gráfico acima, essa curva toca a reta orçamentária no ponto E. No caso geral, a b, o consumidor iguala os argumentos da função de mínimo: ax = bx 2. Portanto, a b x = x 2. O consumidor compra mais do bem que tiver o coeficiente a ou b menor: para este bem, ele precisa de uma quantidade maior para cada unidade do outro bem. encontramos as funções de demanda: x M (p,p 2,m) = m ( a ) p + ( ) a e x M 2 (p,p 2,m) = b p2 b Substituindo a b x = x 2 na restrição orçamentária m p + ( a b ) p2 c) Agora suponha que a=b= e p =, p 2 = 2 e m = 00. Ilustre graficamente a solução neste caso. Suponha agora que os preços mudaram para suponha que a=b= e p = 2, p 2 = 2 e a renda não se modificou. Calcule e ilustre graficamente a solução neste caso. Compare as duas soluções encontradas nesse item. Discuta intuitivamente sua resposta. S: Para o primeiro caso, temos que x = x 2 = m p +p 2 = Para o segundo caso, temos que x = x 2 = m p +p 2 = Portanto, a cesta ótima é a mesma em ambos. Isto ocorre porque, no caso de bens complementares perfeitos onde a=b, os dois bens devem sempre ser consumidos na proporção de um para um. Podemos dizer que o bem e o bem 2 formam um único bem, cujo o preço é p + p 2. Como nos dois casos, o preço deste bem conjunto não mudou, o consumo dele continua o mesmo. Veja o gráfico abaixo: 8) Encontre as demandas ótimas para os seguintes casos, onde α,β e ]0,+ [: 5

6 a) u(x,x 2 ) = αlnx + βlnx 2 S: Vamos montar o Lagrangiano: As CPOS são: L = αlnx + βlnx 2 + λ[m p x p 2 x 2 ] L x = α x = λp () L x2 = α x 2 = λp 2 (2) L λ = m = p x + p 2 x 2 (3) Dividindo () por (2) e isolando x 2 teremos que: ( β x 2 = x α Substituindo (4) em (3) encontramos que: )( p p 2 ) (4) ( ) α m x = (5) α + β p Inserindo (5) em (4) temos que: b) u(x,x 2 ) = x α β α+β α+β x2 S: Faça a seguinte transformação na função α+β α = Φ e Observe que a função de utilidade é igual a anterior (letra a) elevada a α+β ( ) β m x 2 = (6) α + β p 2 β α+β = Φ então teremos que u(x,x 2 ) = x Φ x Φ 2. o que constitui uma transformação crescente, pois α e β são maiores que zero. Portanto a função de utilidade u(x,x 2 ) = x Φ x Φ 2 é uma versão loglinearizada de u(x,x 2 ) = x α xβ 2. O Lagrangiano é idêntico ao da letra a, bem como o método de resolução, e dessa forma você obterá as seguintes demandas: x = Φ m p = α m (7) α + β p c)u(x,x 2 ) = (x a) α (x 2 b) β S:Vamos montar o Lagrangiano: x 2 = ( Φ) m p 2 = β m (8) α + β p 2 L = (x a) α (x 2 b) β + λ[m p x p 2 x 2 ] As CPOS são: L x = α(x a) α (x 2 b) β = λp (9) L x2 = β (x a) α (x 2 b) β = λp 2 (0) 6

7 Dividindo (9) por (0) e isolando x 2 teremos que: Substituindo (2) em () encontramos que: Inserindo (3) em (2) temos que: d) u(x,x 2 ) = ( x + ) / x 2 S: x = x 2 = L λ = m = p x + p 2 x 2 () x 2 = αp 2 [p β (x a) + αp 2 b] (2) (α + β)p [α(m p 2 b) + p βa] (3) (α + β)p 2 [β (m p a) + αp 2 b] (4) As CPOs são: L = ( x + x 2) λ[m p x p 2 x 2 ] ( x + ) x 2 x = λp (5) ( x + ) x 2 x 2 = λp 2 (6) Dividindo (5) por (6) teremos que: L λ = m = p x + p 2 x 2 (7) ( ) p x 2 = x p 2 (8) Substituindo na equação (7): Inserindo (9) em (8) teremos: e) u(x,x 2 ) = x x S:Vamos montar o Lagrangiano: x = mp p + p x 2 = mp 2 p + p (9) (20) As CPOS são: L = x x λ[m p x p 2 x 2 ] L x = 0.5x 0.5 = λp (2) 7

8 L x2 = 0.5x = λp 2 (22) Dividindo (2) por (22) e isolando x 2 teremos que: L λ = m = p x + p 2 x 2 (23) ( ) 2 x p 2 = x (24) p 2 Substituindo (22) em (23) encontramos que: Inserindo (25) em (24) temos que: ( ) x p 2 = m p p 2 + p 2 ( ) x p 2 = m p p 2 + p 2 2 (25) (26) 8

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