Professor: Carlos Eugênio da Costa Finanças Públicas Monitor: Alexandre Sollaci

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1 Professor: Carlos Eugênio da Costa Finanças Públicas Monitor: Alexandre Sollaci EBEF/FGV Lista 9 Tributação II Questão 1 [Bem Estar social e Comparabilidade (M&H - Cap. 12)] Existem H consumidores com função utilidade U h = ln ( M h), onde M h é a renda do consumidor h. Se a função de bem estar social é dada por W = U h, mostre que uma dada dotação de renda M seria dividida igualitariamente por um planejador social. Explique porque isto ocorre tendo em vista o resultado da questão anterior. O problema do planejador social é o seguinte: max H {M 1,...,M H } h=1 ln ( M h) s.a H h=1 M h = M Monte o lagrangeano e derive as condições de primeira ordem (se não fizer isso, não valerá o resultado!) para verificar que M h = 1 λ, h = 1,..., H Ou seja, todos os indivíduos devem receber a mesma quantidade de renda. Portanto, temos que a alocação ótima é a alocação igualitária da renda mesmo sendo a função de bem estar social do planejador indiferente quanto à equidade. A explicação para este aparente paradoxo é que o planejador com esta função de bem estar é indiferente quanto a alocação de utilidade entre os indivíduos, no entanto, se preocupa sim com a alocação de renda dado que a função de utilidade dos indivíduos é estritamente côncava na renda. Isto faz com que a função de bem estar social seja também estritamente côncava nas rendas dos indivíduos e o resultado é uma alocação ótima igualitária. Questão 2 [Tributação da renda do trabalho (M&H - Cap. 15)] Considere uma economia com dois consumidores com produtividades s L e s H, onde s H > s L. Sejam x o bem de consumo e z o trabalho, x pode ser produzido a partir de z através da seguinte função de produção: f (z) = x. Seja (x i, z i ) a alocação dada para o indivíduo i = L, H. a) Para a função utilidade U (x i, z i, s i ) = u (x i ) zi s i, (com u ( ) > 0) mostre que para que haja compatibilidade de incentivos é necessário que z H = z L + s H [u (x H ) u (x L )]. Compatibilidade de incentivos requer que cada consumidor prefere sua própria alocação. Logo, para o consumidor L: 1

2 E para o consumidor H: U (x L, z L, s L ) U (x H, z H, s L ) u (x L ) z L s L u (x H ) z H s L s L [u (x L ) u (x H )] + (z H z L ) 0 (1) U (x H, z H, s H ) U (x L, z L, s H ) u (x H ) z H s H u (x L ) z L s H s H [u (x H ) u (x L )] + (z L z H ) 0 (2) Note que se (2) vale com igualdade temos o resultado desejado: z H = z L + s H [u (x H ) u (x L )] (3) Além disso, neste caso (1) não valerá com igualdade (assumindo que x H > x L o que valerá no ótimo): s L [u (x L ) u (x H )] + [z H z L ] (3) = (s H s L ) [u (x H ) u (x L )] > 0 b) Para a função de bem estar social W = U (x L, z L, s L ) + U (x H, z H, s H ), expresse W como função apenas de x L e x H. O problema do planejador social é: max U (x L, z L, s L ) + U (x H, z H, s H ) {x i,z i} i=l,h s.a s L [u (x L ) u (x H )] + (z H z L ) 0 s H [u (x H ) u (x L )] + (z L z H ) 0 x L + x H = z L + z H Do item anterior, temos que as duas primeiras restrições podem ser resumidas por (3). A terceira restrição é a que leva em conta as possibilidades de produção da economia, ela pode ser reescrita da seguinte forma: De (3) e (4), temos que: z L = x L + x H z H (4) z L = 1 2 {x L + x H s H [u (x H ) u (x L )]} (5) z H = 1 2 {x L + x H + s H [u (x H ) u (x L )]} (6) 2

3 Dessa forma, a função de bem estar social pode ser reescrita da seguinte forma: W (x L, x H ) = u (x L ) z L s L + u (x H ) z H s H W (x L, x H ) = s L + s H s H Defino as seguintes constantes: B = s L+s H s H (x L + x H ) + 3s L s H u (x L ) + s L + s H u (x H ) C = 3s L s H D = s L+s H Dessa forma, a função pode ser simplificada para a seguinte forma: W (x L, x H ) = B (x L + x H ) + Cu (x L ) + Du (x H ) E o problema do planejador social se resume a: max W (x 1, x 2 ) x L,x H c) Assumindo que u (x i ) = ln (x i ) derive os valores ótimos de x L, x H, z L e z H. As condições de primeira ordem do problema simplificado derivado no item anterior são: B + Cu (x L) = 0 B + Du (x H) = 0 Utilizando o fato de u (x i ) = ln (x i ), temos o seguinte resultado 1 : x L = C B Portanto, de (5) e (6): x H = D B zl = 1 { [ ( ) ( )]} C + D C D 2 B s H ln + ln B B zh = 1 { [ ( ) ( )]} C + D C D 2 B + s H ln + ln B B 1 Note que como foi indicado no item a: x H x L = D C = s L+s H > s L+s L = 1 = x 3s L s H 3s L s L H > x L. 3

4 d) Calcule as taxas marginais de substituição dos dois consumidores na alocação ótima. Comente os resultados. Calculando as taxas marginais de substituição: T MS L x,z (x L, z L) = U(x L,z L,s L) x L = U(x L,z L,s L) z L s L x L B = s L C = s s L + s H L s H 3s L s H 1 T MS H x,z (x H, z H) = U(x H,z H,s H) x H = U(x H,z H,s H) z H s H x H B = s H D = s s H + s H H = 1 s H s L + s H O fato de T MSx,z H (x H, z H ) = 1 mostra que a decisão entre consumir e trabalhar do consumidor com produtividade s H não é distorcida pelo mecanismo de taxação ótima. No equilíbrio de mercado (sem interferência do planejador social) os consumidores podem transformar trabalho, z, no bem de consumo, x, através de uma taxa um para um, ou seja, T MS x,z = 1 e, portanto, para o indivíduo mais produtivo, vale a condição de eficiência de mercado: T MSx,z H = 1 = T MS x,z. No entanto, fica claro que (T MSx,z L 1 = T MS x,z ) a decisão do agente menos produtivo é distorcida. Esta distorção é necessária para que o agente mais produtivo não tente se passar pelo agente menos produtivo, é necessária para gerar os incentivos adequados. Questão 3 Seja Y a renda bruta do trabalho isto é, Y = ( L ) l w, onde l é o número de horas de lazer. Considere um imposto sobre a renda do trabalho com a seguinte estrutura B + t 0 Y, se 0 Y < Y 1 T (Y ) = B + t 0 Y 1 + t 1 (Y Y 1 ), Y 1 Y < Y 2 B + t 0 Y 1 + t 1 (Y 2 Y 1 ) + t 2 (Y Y 2 ), se Y > Y 2 onde t 2 t 1 0. Faça um gráfico ilustrativo e defina a renda virtual de cada grupo tributário, avaliando os efeitos decorrentes de mudanças nas alíquotas tributárias. Temos que renda virtual I i, é a renda não relacionada ao trabalho que leva ao agente do grupo i fazer a mesma escolha de oferta de trabalho, caso sua restrição orçamentária fosse linear com salário (1 t) w, onde t é a taxa marginal relevante para ele. Assim, para o caso que estamos considerando, temos que I 0 = B, se Y < Y 1, 4

5 I 1 + (1 t 1 ) Y 1 = B + (1 t 0 ) Y 1 = I 1 = B + (t 1 t 0 ) Y 1 se Y 1 Y < Y 2, e I 2 + (1 t 2 ) Y 2 = I 1 + (1 t 1 ) Y 2 = I 2 = I 1 + (t 2 t 1 ) Y 2 se Y Y 2 Substituindo o valor de I 1 nesta última expressão temos I 2 = B + (t 1 t 0 ) Y 1 + (t 2 t 1 ) Y 2 se Y Y 2. Questão 4 [Tributação da renda do trabalho (M&H - Cap. 15)] Considere uma economia com uma população formada por um grande número de indivíduos com a seguinte função utilidade: U (x, l) = x α (1 l) 1 α. Onde x representa a renda disponível, l a fração da renda utilizada para trabalhar (0 l 1) e α é um parâmetro (0 < α < 1). A renda disponível de cada indivíduo depende de sua habilidade para trabalhar, que será representada pelo salário w, de tal maneira que para o esquema de taxação de renda (t, B) temos que: x = B+(1 t) wl. As habilidades estão distribuídas na economia de acordo com a função de densidade f (w) com suporte em [w L, w H ]. O esquema de taxação, portanto, é determinado por uma taxa marginal sobre a renda, t (0, 1), e uma transferência que não depende da renda, B > 0. a) Encontre a oferta de trabalho ótima para um indivíduo com habilidade w. Um indivíduo com habilidade alta trabalha mais ou menos que um com habilidade baixa? Um indivíduo com habilidade alta terá maior ou menor renda disponível do que um com habilidade baixa? Mostre que a condição para participação no mercado de trabalho é w α B 1 α 1 t. O problema do trabalhador é o seguinte: max x α (1 l) 1 α s.a x = B + (1 t) wl x,l max (B + (1 t) wl) α (1 l) 1 α l Pela condição de primeira ordem (derive, pois não será aceita apenas a resposta final): Logo, temos que: l (w) = α (1 α) B (1 t) w l (1 α) B = w (1 t) w 2 > 0 5

6 Ou seja, quanto maior a habilidade de um indivíduo mais ele irá trabalhar. A renda disponível, portanto, também deve ser maior: x = B + (1 t) wl x w = (1 t) ] [l + w l w > 0 A condição para participação no mercado de trabalho é a seguinte: l > 0 (1 α) B α (1 t) w > 0 w 1 α α B 1 t w b) Se o imposto arrecadado é utilizado apenas para financiar as transferências B, qual é a restrição orçamentária do governo? A habilidade dos indivíduos está distribuída na economia de acordo com a função de densidade f (w) com suporte em [w L, w H ]. Todos os indivíduos recebem a transferência B, no entanto, apenas aqueles que participam do mercado de trabalho pagam a taxa sobre a renda t. Dessa forma, a restrição orçamentária do governo é: Substituindo l (w): w L Bf (w) dw = w L Bf (w) dw = max{w L,w } max{w L,w } [ tw α twl (w) f (w) dw ] (1 α) B f (w) dw (1 t) w c) Suponha que a habilidade média na população é w e que a habilidade mais baixa, w L, é uma fração γ < 1 da habilidade média ( w L = γ w). Se o governo quiser redistribuir todo o imposto arrecadado para financiar as transferências B, qual é a condição que o esquema de taxação, (t, B), deve satisfazer? Manipulando o resultado do item anterior, temos que a restrição orçamentária do governo se resume a: 6

7 B f (w) dw w } L {{ } 1 = αt B = αt w e max{w L,w } wdw } {{ } w e t (1 α) B P e (1 t) t (1 α) B wh (1 t) max{w L,w } f (w) dw } {{ } P e Onde w e é o salário médio dos indivíduos empregados e P e é a proporção da população que está empregada. Se max {w L, w } = w L, ou seja, toda a população trabalha: w e = w e P e = 1. Da restrição de participação temos que: w 1 α B α 1 t α B (1 t) w 1 α Portanto, para w L = γ w, se (B, t) satisfazem a seguinte condição: B = α (1 t) γ w 1 α então todos participam. d) Encontre a taxação ótima se o governo tem como objetivo maximizar a renda disponível do indivíduo com menor habilidade sujeito a todos estarem trabalhando. Se todos estão trabalhando então a restrição orçamentária do governo é: B = αt w B = t (1 α) B (1 t) αt (1 t) w (1) A renda disponível do indivíduo com menor habilidade é dada por: x = B + (1 t) w L l (w L ) Logo, substituindo w L = γ w e (1) em (2): x = α [B + (1 t) w L ] (2) [ αt (1 t) x = α x = α (1 t) [ γ + ] w + (1 t) γ w ] αt w 7

8 Da análise acima temos que todos os indivíduos participam se: B Substituindo w L = γ w e (1) em (3): α 1 α (1 t) w L (3) γ (1 α) t Portanto, o problema do planejador (sujeito a todos participarem) é o seguinte: [ max α (1 t) γ + αt ] w s.a γ (1 α)t t 1 tα Se a restrição valer com igualdade 2 podemos resolver por Lagrangeano o que gera: t = 1 1 α α 2 Isto ocorrerá quando γ < 1 α(1 1 α) α. 8