EAE Microeconomia 1 (2018) Lista 2 - Preferências, utilidade e escolha ótima
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- Gilberto Amado Barreto
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1 EAE Microeconomia 1 (2018) Lista 2 - Preferências, utilidade e escolha ótima Prof. José R. N. Chiappin Monitores: Lucas Freddo (turma 2) e Victor Dornelas (turma 1) Preferências e utilidade 1. Foi solicitado a uma pessoa que escolhesse entre quatro situações possíveis: A, B, C e D. Em sucessivas rodadas, um par diferente destas situações era apresentado a ela, que podia responder de três maneiras: escolher uma das situações; declarar-se indiferente; declarar-se indecisa. Cada célula da matriz abaixo contém a resposta da pessoa quando lhe foi apresentado o par de situações dado pelas respectivas linha e coluna. A B C D A A indiferente D B A B B C indiferente B indecisa D D B indecisa Suponha que as escolhas desta pessoa representam suas verdadeiras preferências neste conjunto de escolha. Argumente porque estas não são racionais, explicitando todas as violações às condições de completude e transitividade existentes em suas respostas. 2. Sejam x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) cestas dos bens 1 e 2 no espaço de escolha X; isto é, x e y X R 2 +. Suponha três relações de preferências definidas em X distintas representadas pelas funções utilidade abaixo: x y x 1 + ln(x 2 ) y 1 + ln(y 2 ) x y x 1 /2 + x 2 y 1 /2 + y 2 x y min{3x 1, x 2 } min{3y 1, y 2 } x y x 1 x 2 y 1 y 2 Para cada função utilidade: (a) Esboce gráficos de suas curvas de indiferença. (b) Considere apenas as funções diferenciáveis. Avaliando-as na cesta x, calcule as utilidades marginais dos dois bens. Determine também a taxa marginal de substituição (TMS) de x 1 por x 2. (c) Considere agora todas as quatro funções utilidade. Argumente se as preferências subjacentes a elas são: 1 de 6
2 i. racionais e contínuas; ii. convexas (estritamente?); iii. monótonas (estritamente?); iv. homotéticas. 3. Preferências lexicográficas são tais que, dadas quaisquer cestas x e y X R 2 +, x y x 1 > y 1 ou x 1 = y 1 com x 2 y 2 Ou seja, o indivíduo escolhe a cesta preferida comparando apenas a quantidade do primeiro bem; se esta for igual nas duas, somente então ele passa a se importar com o segundo bem. É um procedimento semelhante a procurar palavras num dicionário (daí o nome lexicográficas ). (a) Esboce um gráfico do mapa de indiferença destas preferências. (b) Elas podem ser representadas por uma função utilidade? Se não, qual das condições não é satisfeita? Justifique. 4. Observe os três mapas de indiferença abaixo: 10 Mapa 1 10 Mapa 2 10 Mapa 3 x utilidade x utilidade x utilidade x x x 1 Além das curvas de indiferença, os gráficos apresentam raios partindo da origem (retas tracejadas). Para cada um dos mapas, avalie se as preferências representadas são transitivas, convexas e/ou homotéticas. Explique seu raciocínio, mesmo se não for possível fornecer uma resposta conclusiva quanto a todas as características. 5. Considere as seguintes funções utilidade: u(x, y) = xy u(x, y) = x 2 y 2 u(x, y) = ln(x) + ln(y) Mostre que cada uma delas tem taxa marginal de substituição (TMS) de x por y decrescente em x, embora apresentem utilidade marginal constante, crescente e decrescente, respectivamente. O que você conclui disso? Tente relacionar sua resposta com considerações sobre cardinalidade e ordinalidade. 2 de 6
3 6. A função abaixo é uma das maneiras típicas de se expressar a utilidade CES (constant elasticity of substitution): x δ δ + yδ, para δ 1 e δ 0; δ u(x, y) = ln(x) + ln(y), para δ = 0. (a) Usando seu conhecimento de Cálculo 1, mostre que: ( x δ ) lim δ 0 δ + yδ = ln(x) + ln(y) δ Dica: estamos tratando de utilidade, então podemos fazer transformações monotônicas convenientes, como g(z) = z 2/δ. (b) Verifique se a função é côncava em R 2 + para qualquer δ 1. Dica: lembre-se que soma de funções côncavas é côncava, o que pode te poupar o trabalho de montar matrizes. Funções quase-côncavas são transformações monotônicas de funções côncavas. O objetivo dos próximos dois itens é ilustrar o fato de que funções (estritamente) quase-côncavas, por delimitarem conjuntos contorno-superior convexos, permitem-nos modelar preferências convexas (i. e., com TMS constante ou, no caso de convexidade estrita, decrescente em x). (c) Argumente que u(x, y) é quase-côncava por duas vias: através de transformações monotônicas; usando o critério demonstrado em Snyder & Nicholson (10th ed.), pg : ( u(x, y) ) 2 2 u(x, y) [ u(x, y) 2 y x 2 x u(x, y) y 2 u(x, y) ] + x y ( u(x, y) x ) 2 2 u(x, y) y 2 0 (d) Demonstre que a TMS de x por y é decrescente em x se δ < 1, confirmando que as curvas de indiferença da CES são estritamente convexas. Maximização de utilidade e escolha ótima 7. Um consumidor sempre adiciona duas colheres de açúcar a cada xícara de café. A partir do custo de cada pacote de açúcar e de café, inferimos que cada colher de açúcar sai por p 1 e cada xícara de café, por p 2. O consumidor em questão reserva sempre a quantia m de sua renda mensal para comprar estes dois bens. (a) Expresse matematicamente o problema que o consumidor enfrenta. (b) Agora resolva-o: quanto ele comprará de cada bem, em termos de colheradas e xícaras? 8. Penélope tem renda de $200 e deve alocá-la entre dois bens: linho e seda. (a) Suponha que seda custe $4 por rolo e linho, $2. Penélope. Desenhe o conjunto orçamentário de 3 de 6
4 (b) Suponha também que as preferências de Penélope são representadas pela função utilidade u(l, s) = 2s + l. Que combinação(ões) de seda e linho ela deve comprar para maximizar sua utilidade? (c) A tecelaria de Ítaca anunciou uma promoção: quem comprar 20 rolos de linho (a $2 por rolo) levará mais 10 de graça. Esta promoção só vale para os primeiros 20 rolos: quaisquer rolos além desses 20 (excluindo os que se ganha de graça) continuam custando $2. Desenhe o novo conjunto orçamentário de Penélope. Você conclui que Penélope aproveitará a promoção? I. e., sua(s) nova(s) cesta(s) ótima(s) terá(ão) mais de 20 rolos de linho? (d) Um problema com os produtores de linho reduz a oferta deste tecido, elevando o preço para $4 por rolo. A tecelaria também encerra a promoção. Como ficou o conjunto orçamentário de Penélope? Que combinação(ões) de seda e linho maximiza(m) sua utilidade? 9. Considere a função Cobb-Douglas: U = f(x 1, x 2 ) = kx α 1 x β 2, onde (α, β) R 2 + e α+β = 1. (a) Encontre os valores de x 1 e x 2 (em função de todos os parâmetros) que maximizam U obedecendo à restrição p 1 x 1 + p 2 x 2 = M, em que (p 1, p 2 ) R 2 ++ e M 0. (b) Suponha que α+β > 1. Isto altera alguma característica da Cobb-Douglas? E quanto a suas conclusões no item anterior: elas mudam ao impormos estes novos parâmetros? Justifique. (c) Encontre as expressões para as elasticidades de U com relação a x 1 e x 2. Interprete os resultados. 10. Érica gosta de dirigir em rodovias. Para cada número x de milhas que dirige, ela obtém utilidade u 1 (x) = 500x x 2. Seu carro faz 25 milhas por galão em autoestradas. Todavia, o quanto ela paga por combustível, dado por y, inflige-lhe desutilidade da forma u 2 (y) = 1000y. Ela reserva $25 toda semana para financiar seu hobby. (a) Atente à função u 1 (x), que expressa o regozijo de Érica ao dirigir. Forneça uma interpretação intuitiva para u 1. (b) Quando as preferências são monótonas ou localmente não-saciadas, o problema de maximizar utilidade tem solução apenas se o indivíduo está restrito a um orçamento limitado (caso contrário, compra quantidades infinitas de bens). Suponha que Érica não precisasse pagar por nada (i. e., suponha que não existisse u 2 ). O problema dela ficaria também sem solução? Justifique destacando as características das preferências neste caso. (c) Para um preço p por galão de combustível, expresse y em termos de x. (d) Considere que o combustível custa $2,50 por galão. Encontre x, o número ótimo de milhas que ela dirige toda semana. (e) O governo resolve taxar o preço do combustível, que passa a custar $5,00 por galão. Como Érica reage a essa mudança? 11. Durante tempos de guerra, é típico que a população civil seja sujeita a algum tipo de racionamento de bens de consumo básicos. Em geral, o método de racionamento é a utilização de cupons resgatáveis emitidos pelo governo. O governo fornecerá a cada consumidor uma quota de cupons por mês. O consumidor, por sua vez, terá de resgatar um certo número de cupons na ocasião de compra de um bem racionado. Isso significa que, em essência, o consumidor se depara com dois preços na hora da compra, isto é, o preço do cupom e o preço monetário do 4 de 6
5 bem racionado. Considere o caso de um país em guerra cujos únicos dois bens da economia, x e y, são racionados. Seja u = f(x, y) a função utilidade do consumidor. Suponha que ele tenha um orçamento monetário fixo m e enfrenta preços exógenos p x e p y. Além disso, o consumidor tem uma cota de cupons denotada por C, que pode ser usada para comprar ou x ou y a um preço de cupom de c x e c y. (a) Monte o problema com o qual o consumidor se depara nesta economia de racionamento. Dica: note que ele se depara com duas restrições. (b) Derive as condições de maximização a partir das condições de Kuhn-Tucker. (c) Suponha que a função utilidade é da forma u = xy 2. Além disso, seja m = 100, p x = p y = 1, enquanto C = 120, c x = 2 e c y = 1. Obtenha a solução ótima do problema do consumidor. 12. Considere uma economia onde existam apenas dois bens, x e y. Suponha que seus habitantes obtenham utilidade somente a partir de uma quantidade mínima de x e y, denotadas por x 0 e y 0 R ++ : u(x, y) = (x x 0 ) α (y y 0 ) β (a) Resolva o problema de maximização do consumidor dessa economia. (b) Calcule a taxa marginal de substituição (TMS) de x por y. (c) A função utilidade que representa as preferências dos consumidores é homotética? 13. Considere o problema de maximização de utilidade do consumidor que percebe os bens x e y como complementares: Max (x,y) R 2 + s.a u(x, y) = min{x, 4y} p x x + p y y m em que (p x, p y ) R 2 ++ e m R +. (a) Resolva para a escolha ótima do indivíduo. (b) Escreva a função utilidade indireta v(p x, p y, m). Considere agora o problema dual, o de minimização de dispêndio: Min (x,y) R 2 + s.a p x x + p y y min{x, 4y} ū (c) Resolva para a escolha ótima do indivíduo. (d) Escreva a função dispêndio e(p x, p y, ū). (e) Isole ū na função dispêndio. Faça o mesmo para m na utilidade indireta. Comente sobre o que obteve fazendo isso. Este resultado decorre justamente da dualidade dos problemas. 5 de 6
6 14. Considere o problema do consumidor com utilidade CES (expressa em sua forma tradicional ): Max (x,y) R 2 + s.a u(x, y) = [αx ρ + (1 α)y ρ ] γ/ρ p x x + p y y m em que impomos ρ > 1, γ > 0, α (0, 1), (p x, p y ) R 2 ++ e m R +. (a) Escreva o lagrangeano e derive as condições de primeira ordem. Verifique se a TMS é decrescente em x. (b) Escreva as equações que definem implicitamente o candidatos à solução de x, y e do multiplicador de Lagrange. (c) É necessário verificar as condições de segunda ordem para garantir que o candidato encontrado é de fato solução? Dica: sua resposta no item a revela algo importante sobre u(x, y) (vide exercício 6 e a seção E2.4 do Snyder & Nicholson, 10th ed.). (d) Obtenha a função utilidade indireta v(p x, p y, m). (e) Derive a utilidade indireta v em relação a m, que representa a renda do indivíduo. (f) A partir da equação obtida no item anterior e das condições de primeira ordem, verifique se a derivada da função utilidade indireta em relação a m é igual ao multiplicador de Lagrange. Verifique também se este é igual à derivada do lagrangeano em relação a m, como prevê o teorema do envelope. (g) Com base no que demonstrou acima, como podemos interpretar o multiplicador no âmbito de teoria do consumidor? 6 de 6
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