Algumas Preliminares Matemáticas

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1 Lista 1 de Microeconomia I Professor: Carlos E.L. da Costa Monitor: Vitor Farinha Algumas Preliminares Matemáticas Nas próximas páginas apresentam-se alguns conceitos matemáticos e teoremas que serão úteis ao curso de Micro I. Como o objetivo aqui é apresentar rapidamente alguns instrumentos que serão estudados mais profundamente nos cursos de Análise, omitem-se as principais provas. Algumas boas referências sobre os assuntos aqui abordados são: 1. MWG, Apêndice Matemático. 2. Lima, Elon. Análise Real, vols. 1 e Simon e Blume. Matemática para economistas Sundaram, Rangarajan. A First Course in Optimization Theory. 6. Cysne e Moreira. Matemática para economistas. Norma Euclidiana Tipicamente estaremos trabalhando no espaço euclidiano R n, munido da norma euclidiana usual De nição 1 Seja x = (x 1 ; :::; x n ) R n, a norma euclidiana é a função k:k : R n! R dada por kxk = nx x 2 i i=1! 1=2 Que de ne também a noção de distância (métrica) usual desse espaço, sendo a distância entre os pontos x e y dada por d(x; y) = kx yk. Que atende a conhecida "desigualdade triangular" (essa desigualdade é, na verdade, parte da própria de nição de norma), kx yk + ky zk kx zk : Bolas Abertas, Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados De nição 2 Uma bola aberta com centro no ponto x e raio r é dada por B(x; r) = fy 2 R n jd(x; y) < rg: Ou seja, B(x,r) é o conjunto de todos os pontos do R n que distam de x em estritamente menos que r. Se substituímos a desiguldade estrita(<) pela desigualdade fraca();então temos a bola fechada B(x,r) De nição 3 O conjunto S no R n é dito aberto se, para todo ponto x 2 S; existe r tal que B(x; r) S:Intuitivamente, todo o ponto de um conjunto aberto está em seu interior, sendo possível deslocar-se pequenas distâncias em qualquer direção sem que deixemos o conjunto S. De nição 4 O conjunto S no R n é dito fechado se seu complementar é aberto. O teorema abaixo torna possível uma de nição alternativa, possivelmente mais clara, usando a noção de seqüências convergentes. Teorema 1 Um conjunto S R n é fechado se, e somente se, para toda seqüência {x k g tal que x k 2 S para todo k e x k! x, tem se que x 2 S: Ou seja, o limite de qualquer seqüência convergente formada por pontos em S também é um ponto de S. 1

2 Conjuntos limitados e conjuntos compactos De nição 5 Um conjunto S R n é dito limitado se existe r>0 tal que S B(0; r): De nição 6 Um conjunto S R n é dito compacto se é limitado e fechado. Combinações Convexas e Conjuntos Convexos Dada qualquer coleção nita de pontos x 1 ; x 2 ; :::; x m 2 R n ; um ponto z 2 R n é dito uma combinação convexa dos pontos (x 1 ; :::; x m ) se existe 2 R m satisfazendo (i) i 0; i = 1; 2; :::; m e (ii) P m i=1 i = 1; tal que z= P m i=1 ix i : De nição 7 Um conjunto S R n é dito convexo se qualquer combinação convexa de quaisquer dois pontos de S também está em S. Ou seja, se qualquer linha reta que liga dois pontos de S estiver completamente contida nele. Continuidade De nição 8 Tome f : S! T; em que S R n e T R l :Então, f é dita contínua em x2 R n se para todo " > 0; existe > 0 tal que ao tomar-se y 2 S com d(x; y) <, valerá d(f(x); f(y)) < ": Em termos de seqüências, f : S! T é contínua em x se para todas as seqüências fx k g com x k 2 S para todo k e lim k!1 x k = x tem-se lim k!1 f(x k ) = f(x): Intuitivamente, f é contínua em x se, ao nos aproximarmos deste ponto, obtivermos aproximações sucessivamente melhores para o valor de f(x). Uma função é dita contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio. Teorema 2 (Weierstrass) Tome D R n compacto e f : D! R uma função contínua em D. Então f atinge um máximo e um mínimo em D, i.e., exitem pontos z 1 ; z 2 2 D; tais que f(z 1 ) f(x) f(z 2 ) 8x 2 D Convexidade e Quase-Convexidade De nição 9 Seja X R n um conjunto convexo. Uma função f : X! R é convexa se para todo 2 [0; 1] e x,y 2 X tivermos f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y): Analogamente, é dita estritemente convexa se o sinal da desigualdade for estrito (< ao invés de ). De nição 10 Seja X R n um conjunto convexo. Uma função f:x! R é côncava se -f é convexa. Ou seja,f : X! Ré côncava se para todo 2 [0; 1] e x,y 2 X tivermos f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y):analogamente, é dita estritemente côncava se o sinal da desigualdade for estrito. De nição 11 Sejam D R n um conjunto convexo e f : D! R:O conjunto de contorno superior de f em a, denotado por C + a ou U f (a); é de nido como U f (a) = fx 2 Djf(x) ag: O conjunto de contorno inferior de f em a, por sua vez, denotado por C a ou L f (a);é de nido como L f (a) = fx 2 Djf(x) ag: A função f é dita quase-côncava se U f (a) é convexo para todo a. Analogamente, é dita quase-convexa se L f (a) é convexo para todo a. 2

3 Figure 1: Curvas de nível e conjuntos de contorno de uma função quase-côncava, porém não côncava. Figure 2: Uma função côncava, uma apenas quase-côncava e uma que não apresenta globalmente nenhum dos comportamentos citados. Teorema 3 A função f:d! R é quase-côncava em D se, e somente se, para todo x,y2 D e para todo 2 (0; 1); vale f[x + (1 )y] minff(x); f(y)g: A função f é quase-convexa em D se, e somente se, para todo x,y 2 D e para todo 2 (0; 1); vale f[x + (1 )y] maxff(x); f(y)g: Os grá cos a seguir, retirados de ajudam a melhor compreender os conceitos de concavidade e quase-concavidade. Homogeneidade e Homoteticidade De nição 12 Uma função é dita homogênea de grau k se: f(tx) = t k f(x) para todo t>0. Teorema 4 Seja f:d! R uma função C 1 de nida em um cone aberto do R n : Se f é homogênea de grau k, suas derivadas parciais são homogêneas de grau k-1. 3

4 Proof. Por hipótese temos: Diferenciando em relação a x obtemos: f(tx) = t k f(x): rf(tx)t = t k rf(x) ) rf(tx) = t k 1 rf(x) Homogeneidade de grau 1 Teorema 5 (Fórmula de Euler) Suponha f(x) homogênea de grau k e diferenciável. Então, para qualquer x, temos :x n = n ou, em notação matricial, n rf(x):x = k:f(x) Proof. De maneira semelhante à prova anterior, agora diferenciamos a de nição, f(tx) = t k f(x) em relação a t, obtendo rf(tx) x = kt k 1 f(x) Avaliando em t=1, tem-se: rf(x) x = kf(x) Se uma função f(:) homogênea é transformada por uma função crescente de uma única variável L(:), a resultante L(f(x)) é dita homotética. Note que a família das curvas de nível de L(f(:)) é a mesma que a família das curvas de nível de f(:). Matrizes Semi-De nidas e De nidas De nição 13 A matriz M nxn é dita negativa semi-de nida se z0mz 0; para todo z 2 R n :Se a desigualdade é estrita para todo z 6= 0, então M é negativa de nida(inverterndo as desigualdades, obtemos os conceitos de matriz positiva semi-de nida e de nida). Teorema 6 A função f : D! R de classe C 2 é côncava se e somente se a hessiana de f(.) (matriz de segundas derivadas) é negativa semi-de nida para todo x 2 D. Se a hessiana é negativa de nida para todo x 2 D; então a função é estritamente côncava (observe que a volta não vale). Otimização com restrições de igualdade Considere o seguinte problema: max x2r n f(x) sa g k (x; ) = b k k=1,...,k No estudo de problemas como este, são relevantes dois objetos: 1. O conjunto solução x () = arg max sa restrições f(x; ) que dá a(s) solução(ões) para cada parâmetro 2 (se o problema tem múltiplas soluções, então x () é um conjunto com diversos elementos). 2. A função valor V () = max f(x; ) sa restrições que dá o valor da função para cada parâmetro 2 (V () = f(y; ) para todo y2 x ()): 4

5 Teorema 7 (Teorema de Lagrange) Sejam f : R n! R e g k : R n! R funções de classe C 1 ; k = 1; :::; K:Suponha que x seja um máximo ou mínimo local de f no conjunto D = U \ fxjg k (x) = b k ; k = 1; :::; Kg em que U R n é aberto. Suponha também que (Dg(x )) = K: Então, existe um vetor = ( 1; :::; K) 2 R K tal que KX Df(x ) + kdg k (x ) = 0: k=1 Teorema 8 (Teorema do Envelope) Considere o problema de maximização proposto no início desta seção e suponha que (i) f(),g 1 (); :::; g K () são continuamente diferenciáveis em (x,) e (ii)x é diferenciável em uma vizinhança A de ^:Então, 1. V(.) é diferenciável em A. 2. Para i=1,...,s g(x (^);^) i ; em que é o multiplicador de Lagrange associado a x i = f(x (^);^) i P K k=1 k Simpli cando, este teorema nos diz que não é necessário observar os efeitos indiretos da variação dos parâmetros sobre a variação da função valor, podendo-se derivá-la diretamente no ótimo. Exercícios da Lista 1 Exercício 1 Responda verdadeiro ou falso, justi cando: a) Toda função côncava é quase-côncava. b) Toda função quase-côncava é côncava. c) A soma de duas funções côncavas é côncava. d) A união de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo. e) A interseção de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo. f) Seja f : R! R diferenciável e estritamente crescente; então f 0 (x) > 0 para todo x 2 R: g) A união de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto. h)a interseção de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto. i) O conjunto A f(x; y) : x 2 + y 2 = 1gé um conjunto convexo. j)o conjunto A f(x; y) : x 2 + y 2 1gé um conjunto convexo. Exercício 2 Mostre a equivalência das duas de nições de quase-concavidade. Exercício 3 Mostre que a função f(x,y)=min{ax,by} é quase-côncava se a,b>0 Exercício 4 Seja f : R n +! R uma função côncava. Seja g : R! R estritamente crescente. Mostre que h(x) = g(f(x)) é uma função quase-côncava. Exercício 5 Mostre que a inclinação das curvas de nível de uma função homotética não muda ao longo de um raio que parte da origem. 5

6 Exercício 6 Considere um problema de nido por: V (p; y) = maxu(x) sa y = p x Mostre = ; em que é o multiplicador de Lagrange associado ao problema de maximização. Exercício 7 Considere as relações de preferências racional sobre X. Mostre que as relações binárias ~ e são transitivas, mas não são necessariamente completas. Exercício 8 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade de monotonicidade, então também satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Pode-se a rmar que não saciedade local implica monotonicidade estrita? Justi que. Exercício 9 A ordenação lexicográ ca para X = R 2 + é de nida por: x; y 2 R 2 +; x y se x 1 > y 1 ou se x 1 = y 1 e x 2 y 2 : a) Mostre que a relação binária acima é uma relação de preferências racional. b)mostre que as preferências lexicográ cas são monótonas estritas. c) Mostre que as preferências lexicográ cas não são contínuas. d) Por que esta relação de preferências não é muito interessante do ponto de vista econômico? Exercício 10 Seja a relação de nida a partir de % por ~ (x y), y % x. Então prove que é assimétrica se, e somente se, % é completa. Obs.: é assimétrica se 8x; y 2 X temos que ~ (x y) ou ~ (y x) : Exercício 11 Prove que, se % é racional e estritamente convexa, para qualquer cojunto C X convexo, o conjunto C 0 = fx 2 Cjx % y; 8y 2 Cg é vazio ou unitário. 6