Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e

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1 Lista Especial de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Número complexo, sequência de Cauchy, função exponencial e movimento hamônico simples) IFUSP - 8 de Agosto de 08 Exercício Se z x + iy, x, y R, é um número complexo (denotamos por z C) definimos o complexo conjugado e módulo de z por z x iy e z x + y P Qual é a interpretação geométrica de z e z Resposta: Um número complexo z x + iy pode ser representado por um ponto de coordenadas (x, y), em relação aos eixos cartesinos correspondentes a sua parte real (eixo horizontal) e a sua parte imaginária (eixo vertical), do plano R Estabelecemos desta forma uma relação biunívoca entre elementos z C e elementos (x, y) R do produto Cartesiano R R de R com ele mesmo O complexo conjugado z x iy de z, que pela relação estabelecida entre os conjuntos C e R associamos ao ponto (x, y), pode ser interpretado geometricamente como sendo a reflexão especular de z x + iy em relação ao eixo x Interpretamos, por esta analogia, o módulo z x + y de z como sendo o comprimento do raio vetor formado pelo segmento de reta ligando o ponto (x, y) á origem (0, 0) Da maneira análoga, interpretamos o módulo z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ) da diferença z z 0 entre dois pontos z 0 x 0 + iy 0 e z x + iy, ambos em C, como sendo a distancia Euclideana entre os pontos (x 0, y 0 ) e (x, y) em R ou o comprimento do segmento que os ligam P z 0 implica que z 0 Prova: Por hipótese, z x + y 0 Da interpretação geométrica, o raio vetor do ponto (x, y) associado à z x + iy ou comprimento do segmento ligando a origem (0, 0) à (x, y), é nulo Disso segue que (x, y) (0, 0) e, pela relação biunívoca entre os conjuntos C e R, concluímos que z 0 Sejam z, z e z números complexos e λ R Demonstre as seguintes propriedades P3 λz λ z Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz λx + iλy e P4 z z z λz (λx) + (λy) λ (x + y ) λ x + y λ z Prova: Usando a álgebra dos números complexos: i ( i) ( i) i, (±i) (±i) ±i e, definição de z e propriedade distributiva, temos z z (x + iy) (x iy) x ixy + iyx + i( i)y x + y z P5 Desigualdade triangular z + z z + z

2 Prova: Temos z + z (x + x ) + (y + y ) x + x + y + y + (x x + y y ) () Usando 0 (x y x y ) x y + x y x x y y, obtemos a desigualdade que por sua vez implica x x y y x y + x y (x x + y y ) x x + y y + x x y y e, consequentemente, x x + yy + x y + x y ( ( ) x + y) x + y (x x + y y ) x x + y y (x x + y y ) (x + y) (x + y) () Substituindo () em () segue que, devido a monotonicidade da função raiz quadrada (0 < a b a b), já empregada em (), z + z x + x + y + y + (x + y) (x + y) ( ) (x + y) + (x + y) (x + y) + (x + y) z + z A desigualdade triangular é deduzida mais facilmente de sua interpretação geométrica, como a demonstração de Euclides no seu texto sobre geometria A soma vetorial z + z define os três vértices de um triangulo ABC de coordenadas A (0, 0), B (x, y ) e C (x + x, y + y ) a soma dos comprimentos AB + BC dos segmentos AB e BC é sempre maior ou igual ao comprimento AC do segmento AC e isso reproduz a desigualdade Veja prova de Euclides na Wikipedia

3 P6 z z z z Prova: Pela definição de módulo e álgebra dos números complexos, temos z z (x + iy ) (x + iy ) x x y y + i (x y + x y ) (x x y y ) + (x y + x y ) x x + y y + x y + x y (x + y ) (x + y ) z z P7 /z / z, z 0 Prova: Da álgebra dos números complexos, temos que Mas, pela definição de módulo, z z e, portanto, P8 /z z se z Prova: Segue de (3) com z que /z z /z z/(z z) P4 z/ z (3) /z z/ z z / z z / z / z Exercício Uma sequência (w n ) n de números complexos é dita convergente se existir w C tal que lim n w n w 0, e dizemos que w é o limite da sequência Uma sequência (w n ) n é dita ser uma sequência de Cauchy se para cada ε > 0 existir um natural N N(ε) tal que w n w m < ε, n, m > N A séries n z n de números complexos converge se a sequência (S N ) N formada pelas somas parciais S N n N z n for convergente Demonstre as seguintes afirmações P9 Uma sequência convergente de números complexos tem um único limite 3

4 Prova: Suponha, por contradição, que existam dois limites, w e w, com w w, da sequência (w n ) n de números complexos Como, por hipótese, a sequência é convergente e lim n w n w i 0, i,, temos 0 < w w wn w ( w n w ) P5 wn w + wn w Passando o limite, obtemos a contradição 0 < 0 Logo w w P0 Uma sequência de números complexos converge se, e somente se, for uma sequência de Cauchy Prova: Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para o conjunto dos números reais Para uma prova, veja Djairo G de Figueiredo, Análise I Seja (z n ) n, com z n x n + iy n, x n, y n R, uma sequência de números complexos Se as sequências (x n ) n e (y n ) n de reais forem convergentes para x e y, então com z x + iy, lim z n z lim x n x + i (y n y) P4 lim ( x n x + y n y ) 0 n n n e (z n ) n converge para z Suponha agora que (z n ) n, z n x n +iy n, seja uma sequência convergente para z x + iy Então lim x n x y n y lim x n x + i (y n y) lim z n z 0 n n n e pela propriedade P as sequencias (x n ) n e (y n ) n reais convergem para x e y Por outro lado, suponha que as sequencias (x n ) n e (y n ) n reais convirjam para x e y e, portanto, sejam sequências de Cauchy Então z n z m x n x m i (y n y m ) x n x m + y n y m ε Logo, a sequência (z n ) n convergente para z x+iy é também uma sequência de Cauchy Suponha a sequência (z n ) n uma sequência de Cauchy, então x n x m y n y m z n z m < ε e por continuidade da função z z (propriedade P) ambas sequencias (x n ) n e (y n ) n são de Cauchy e, portanto, sequências convergentes implicando, pelo que foi provado anteriormente, que a sequência (z n ) n é convergente P Se (z n ) n é uma sequência de números complexos satisfazendo z n a n, e (a n ) n uma sequência de números reais não negativos tal que a séries n a n converge, então a séries z n converge n Prova: Vamos aplicar o critério de convergência de Cauchy Sejam (σ n ) n e (A n ) n a sequência complexa das séries parciais σ n z k e a sequencia das series parciais positivas A n k 4 k a k

5 que, por hipótese, é convergente Da propriedade P0, (A n ) n é uma sequencia de Cauchy e dado ε > 0, existe N tal que para todo n, m > N(ε) tais que n > m, A n A m < ε/ Observe que σ n z k z k a k A n (4) Portanto, para todo n, m > N(ε) tais que n > m, temos σ n σ m z k z k km+ k k km+ k km+ a k A n A m < ε provando que a sequencia complexa (σ n ) n de séries parciais é de Cauchy e, pelas propriedades P9 e P0, z n converge, isto é, σ z n é o único limite da sequência de suas séries parciais n n Exercício 3 Para z C, definimos a exponencial de z por Demonstre que e z P A função exponencial é bem definida pela série complexa (5) n z n n! (5) Prova: Considere a sequência complexa (η n ) n das séries parciais η n η n (z) z k /k! Sabemos por P9 que, se para um dado z C a sequência (η n (z)) n converge, o limite lim n η n (z) η(z) é univocamente definido A função e z é, portanto, bem definida pelo limite η(z) para todo z tal que a sequência de séries parciais converge Vamos mostrar que (η n (z)) n converge para todo z C Pelo critério P, basta encontrar uma sequência (A n ) n de séries parciais majorante Dado R > 0, tão grande quanto se queira, seja A n R k /k! Então, procedendo de maneira similar a (4), juntamente com P6, temos z k η n (z) k! De onde se conclui que k k z k k! k k z k k! η n (z) A n, n e z R, e devido a propriedade P, a função exponencial é bem definida para todo z C A convergência é de fato uniforme para cada subconjunto limitado de C, ou seja, (η n (z)) n é uma sequencia de Cauchy para um mesmo ε e N(ε), uniformemente em z pertencente a esta região P3 Se z e z são dois números complexos, então e z e z e z +z k R k k! k 5

6 Prova: Devido ao teorema binomial, onde (z + z ) n k0 ( ) n z k k z n k ( ) n n!/ (k!(n k)!) é o coeficiente binomial, temos k e z +z (z + z ) n n0 n0 n! n0 k0 k0 k0 n! k0 k! zk k! zk k! zk ( ) n z k k z n k nk m0 (n k)! zn k (n k)! zn k m! zm e z e z onde ao denotarmos n k m, desacoplamos a soma sobre m da soma sobre k P4 Se z for puramente imaginário: z iy, então temos a conhecida identidade de Euler e iy cos y + i sin y (6) Prova: Pela definição e pela álgebra (i) k (i ) k ( ) k e ( ) k+ ( ) k i, temos e iy (iy) n n k0 n! ( ) k y k ( ) k + i k! (k + )! yk+ k0 cos y + i sin y onde as funções cos y e sin y são bem definidas por sua série de Taylor, convergente para todo y R P5 Se z x + iy, x, y R, então e z e x e e z e x (cos y + i sin y) (7) 6

7 Prova: A primeira igualdade segue de P3, P6 e e iy, e z e x+iy e x e iy e x e iy e x pois e x > 0 qualquer que seja x R A igualdade (7) segue de P6 e P4 P6 e z se, e somente se, z πik para algum inteiro k Prova: Suponhamos que z πik Por P6 e P4, temos e z e πik ( e πi) k (cos π + i sin π) k () k Por outro lado, suponhamos que e z Então, por P5, temos e z e x (cos y + i sin y) implica x 0, sin y 0 e cos y As raízes da função seno são múltiplos inteiros de π e a condição sobre o cosseno é satisfeita somente para os múltiplos pares de π Portanto z πik para k um inteiro P7 z x + iy, x, y R, pode ser escrito na forma z re iθ onde 0 r < é único e θ R é único a menos de um inteiro múltiplo de π Verifique que r z e θ arctan (y/x) Prova: A mudança de coordenadas Cartesianas à polares, x r cos θ y r sin θ define uma relação biunívoca entre pontos do plano puncturado R \{0} e da faixa semi infinita r > 0 e 0 θ < π Quando a variável θ é estendida a R interpretamos geometricamente como se tivéssimos infinitas cópias do plano, um eixo perpendicular atravessando a origem de todas elas, e a partir dos quais um corte que se estende ao longo do eixo x positivo, alinhados em relação as cópias, permite que passamos de um a outro plano Pela interpretação geométrica P e por intermédio desta transformação, escrevemos um número complexo z re iθ, onde 0 r < e θ R, módulo π As variáveis (r, θ) são obtidas a partir de (x, y) pela transformação inversa r x + y z θ arctan y x sendo esta última equação definida em algum dos infinitos ramos da função θ tan θ definida em cada superfície de Riemann (cópias do plano complexo aludido acima) P8 Dado θ R, mostre as (também) chamadas identidades de Euler cos θ ( e iθ + e iθ) e sin θ i ( e iθ e iθ) 7

8 Prova: Seja z e iθ e considere a fórmula de Euler (6) com y θ Temos, cos θ Re(z) (z + z) ( e iθ + e iθ), onde, por definição, z x iy troca o sinal da componente y acarretando a troca de sinal da variável θ, pela paridade ímpar da função arco tangente (a mesma da tangente) Analogamente, sin θ Im(z) i (z z) ( e iθ e iθ) i P9 Verifique que f(x) e inx é periódica de período π e π π π e inx dx { se n 0 0 se n 0 Prova: Vamos mostrar que f(x + π) f(x) qualquer que seja x R Pelas propriedades da exponencial complexa P3 e P6, temos Usando P4, a integral complexa para n 0, Para n 0, π e in(x+π) e inx e πin e inx, x R π π e inx dx π π π (cos nx + i sin nx) dx πn sin nx i cos nx π π sin nπ 0 πn π dx π π Exercício 4 Prove que, se x x(t) é uma função em R duas vezes contínuamente diferenciável e solução da equação x + c x 0 (8) então existem constantes a e b tais que x(t) a cos ct + b sin ct e Prova: Sejam y(t) x(t) cos ct c x (t) sin ct w(t) x(t) sin ct + c x (t) cos ct duas funções definidas em R nas quais x(t) é uma função duas vezes continuamente diferenciável e solução da equação (8) Portanto, y(t) e w(t) são continuamente diferenciáveis e a derivada destas funções satisfaz, devido a (8), y (t) cx sin ct x (t) cos ct + x (t) cos ct c x (t) sin ct cx sin ct x (t) cos ct + x (t) cos ct + cx(t) sin ct 0 8

9 e w (t) cx cos ct x (t) sin ct + x (t) sin ct + c x (t) cos ct cx cos ct x (t) sin ct + x (t) sin ct cx(t) cos ct 0 de onde se conclui que estas quantidades são mantidas iguais a uma constante ao longo do tempo Sejam a e b reais quaisquer Escrevemos, o sistema de equações y(t) x(t) cos ct c x (t) sin ct a w(t) x(t) sin ct + c x (t) cos ct b na forma matricial ( cos ct (/c) sin ct sin ct (/c) cos ct ) ( x(t) x (t) cuja solução para x(t) e x (t) é dada pela aplicação pela esquerda da matriz inversa A Cof(A) T / det A (Cof(A) é matriz dos cofatores de A) da matriz A em ambos lados da igualdade: ( ) ( ) ( ) ( ) x(t) cos ct sin ct a a cos ct + b sin ct x (t) c sin ct c cos ct b ac sin ct + bc cos ct ) ( a b ) 9