ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo."

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1 NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES COMPLEXAS Números Complexos 1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo. ) Resolva a equação quadrática z + iz + i 1 0. Pela fórmula resolvente para a equação quadrática, z + iz + i 1 0 z i ± i z + i ou z + i Comentário: A fórmula resolvente para a equação quadrática vale para equações com coeficientes complexos. A sua demonstração resume-se a: az + bz + c a z b + ) b 4ac z b ) b 4ac, a a onde e representam as duas raízes quadradas de um número complexo. 3) Determine todas as soluções z C da equação z 6 i + ) i i Primeiro simplifica-se o lado direito: i + ) i i 3 + 6i 30 55i + 1i i 5 As soluções da equação são portanto as raízes sextas de 8, ou seja, z e i kπ 3 com k {0, 1,, 3, 4, 5}.. 4) Resolva a seguinte equação 1 + 3z + 3z + z 3 4 e i 7π e i π + e i3π ). 1

2 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 Diferenciabilidade 5) a) Seja T : C C uma aplicação linear ) onde C é considerado espaço vectorial de a b dimensão sobre R. Seja a matriz que representa T relativamente c d à base 1, i de C, ou seja, T x + yi) ax + by) + cx + dy)i. Mostre que a aplicação T é multiplicação por um número complexo se e só se a d e b c. b) Uma função anaĺıtica f : C C considerada como uma função f : R R tem por derivada em cada z 0 uma aplicação linear a sua jacobiana), Df z0 : R R. A aplicação Df z0 corresponde à multiplicação por um número complexo, f z 0 ). Qual é esse número em termos das entradas de Df z0? a) Suponha-se que T é multiplicação por um número complexo, a + ci. Então T x + yi) a + ci)x + yi) ax cy) + cx + ay)i. Relativamente à base 1, i de C, fica [ ] [ ] [ ] x a c x T, y c a y ou seja, as entradas da diagonal são iguais e as da anti-diagonal são simétricas. Suponha-se, reciprocamente, que, relativamente à base 1, i de C, a aplicação linear T é dada por uma matriz [ ] a c, c a ou seja, [ ] [ ] [ ] x a c x T y c a y [ ax cy cx + ay Então T x+yi) ax cy)+cx+ay)i a+ci)x+yi), pelo que T é multiplicação pelo número complexo a + ci. b) Considerando a função complexa de variável complexa f : C C x + yi ux + yi) + ivx + yi) como uma função vectorial real de duas variáveis reais, f : R R x, y) ux, y), vx, y)), a sua jacobiana no ponto x 0, y 0 ) correspondente a z 0 x 0 + iy 0 é x 0, y 0 ) x 0, y 0 ) Df z0 x 0, y 0 ) x 0, y 0 ). ].

3 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 3 De acordo com a aĺınea a), conclui-se que Df z0 se traduz na multiplicação pelo número complexo f z 0 ) x 0, y 0 ) + i x 0, y 0 ) onde x 0, y 0 ) x 0, y 0 ) e x 0, y 0 ) x 0, y 0 )). Equações de Cauchy-Riemann 6) Use as equações de Cauchy-Riemann para decidir sobre a analiticidade das seguintes funções onde z x + yi): a) fz) z z x 3 + xy + x y + y 3 )i; b) fz) e x y cos xy) 1 + i cosxy) sinxy)). 7) Determine o domínio de diferenciabilidade das seguintes funções: a) fz) e xy e xy + xyi; b) fz) x y i para z 0); x +y x +y onde x Rez e y Imz. a) As equações de Cauchy-Riemann são necessárias para a diferenciabilidade. A função fx + iy) e } xy {{ e xy } +xy i }{{} ux,y) vx,y) não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann fora da origem porque: { { ye xy + ye xy x xe xy xe xy y { xye xy + e xy ) x xye xy + e xy ) y x y x y 0 Na origem as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, e na origem f é de facto diferenciável porque e lim xy e xy +ixy z 0 x+iy [e lim xy e xy )x+xy ]+i[x y e xy e xy )y] z 0 x +y x lim y+xy +...) x + i lim y xy +...) z 0 x +y z 0 x +y 0 onde...) representa termos de ordem superior que não contribuem para o limite. Conclui-se que f é diferenciável apenas em 0. Comentário: Em alternativa, podia-se invocar o teorema que afirma que, quando as derivadas parciais são contínuas, as equações de Cauchy-Riemann são também uma condição suficiente para a diferenciabilidade; ver, por exemplo, p.6 de Complex Analysis por L. Ahlfors. Este resultado é aplicado na aĺınea seguinte.

4 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 b) Quando as partes real e imaginária de uma função complexa são continuamente diferenciáveis, as equações de Cauchy-Riemann são suficientes para a diferenciabilidade. Neste caso a função f tem derivadas contínuas em todo o seu domínio e satisfaz sempre as equações de Cauchy-Riemann: y x x +y ) xy x +y ). Conclui-se que f é diferenciável em todo o seu domínio. Comentário: A função dada é igual a fz) 1 1 z, cuja derivada é z z 0. para qualquer 8) Considere a função u : R R definida por ux, y) x 3 + y 3 3xyx + y) a) Mostre que u é uma função harmónica. b) Determine a função harmónica conjugada, v, tal que v0, 0) 0. 9) a) Mostre que, em coordenadas polares, as equações de Cauchy-Riemann se escrevem onde x cos θ e y sin θ. b) Mostre que a função 1 1 fz) log + iθ é anaĺıtica em todo o seu domínio, > 0 e θ ]0, π[. c) Calcule a derivada, f z), da função da aĺınea anterior em termos de z. a) Se então e { x cos θ y sin θ cos θ sin θ 1 sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ.

5 As equações de Cauchy-Riemann ficam AMIV FICHA SUPLEMENTAR sin θ cos θ cos θ sin θ + cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ ) sin θ ) sin θ ) + cos θ ) 1 1. b) Quando as partes real e imaginária de uma função complexa são continuamente diferenciáveis, as equações de Cauchy-Riemann são suficientes para a diferenciabilidade. Neste caso, u Re f log ) ) c) v Im f θ e as equações de Cauchy-Riemann são sempre satisfeitas: Logo, f é anaĺıtica em todo o seu domínio. f z) + i + ) + i + ) ) cos θ i 0 sin θ ) cos θ i sin θ z z z. Comentário: A função dada é igual a fz) log z 4, onde log representa o ramo principal do logaritmo.

6 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 Funções Trigonométricas 10) Prove que sinx + iy) sin x cosh y + i cos x sinh y. sinx + iy) eix+iy) e ix+iy) i eix y e ix+y i sin x cosh y + i cos x sinh y eix e ix i e y +e y + i eix +e ix e y e y ey+ix e y ix +e y+ix e y ix e y+ix e y ix +e y+ix +e y ix 4i e y+ix e y ix i 11) Mostre que, para z x + yi, se tem sin z sinh y + sin x cosh y cos x. 1) Estabeleça seguinte igualdade onde z x + yi) cos z + sin z coshy). Exponenciais e Logaritmos 13) Determine todas as soluções da equação z i z i + 0. Nas equações seguintes, o símbolo Log z representa genericamente os logaritmos de z. z i z i + 0 z i ) z i + 0 z i 1 ± i ilog z Log 1 ± i) Log z 1 i [ln 1 ± i + iarg1 ± i) + kπ)] Log z i ln ± π 4 + kπ com k Z. z e ± π 4 +kπ i ln,

7 AMIV FICHA SUPLEMENTAR ) Se z e w forem números complexos com z 0, o símbolo z w representa o conjunto dos números complexos s que têm logaritmo da forma wα, para algum logaritmo α de z. Ou seja, e wα s e e α z para algum número complexo α.) Descreva o conjunto z w quando z 1 and w i. Tem-se que 1 e kπi para qualquer k Z. Consequentemente: i e 1 3 +i)log 1 e 1 3 +i)kπi e kπ 3 i kπ onde k Z. e kπ cos kπ 3 + i sin kπ ) 3,

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 1 NÚMEROS E FUNÇÕES COMPLEXAS (1) Calcule i, i e i e represente estes números geometricamente.

Leia mais

Lista 1 - Métodos Matemáticos II Respostas

Lista 1 - Métodos Matemáticos II Respostas Lista 1 - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 08 Condições Suficientes de Diferenciabilidade Teorema Seja f(z) = u(, y) + iv(, y). Se u e v têm derivadas parciais contínuas em torno

Leia mais

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 3 - Funções de uma Variável Complexa.

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 3 - Funções de uma Variável Complexa. UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA Campus Apucarana Prof. Dr. Márcio Hiran Simões Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 3 - Funções de uma Variável Complexa.

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre de 2011/ o Teste - Versão A LEAN, LEIC-A, MEAer, MEEC, MEMec) 5 de Novembro de 2011, 10h,

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre de 2011/ o Teste - Versão A LEAN, LEIC-A, MEAer, MEEC, MEMec) 5 de Novembro de 2011, 10h, Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática (Cursos: Análise Complexa e Equações Diferenciais o Semestre de 2/22 o Teste - Versão A LEAN, LEIC-A, MEAer, MEEC, MEMec) 5 de Novembro de 2, h, Duração:

Leia mais

1 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II

1 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II. Simplifique: [ ] + i a Re + i i b Im 4 i + i 6 i + i d i 4 e eπi i e πi f e +πi. Encontre todos os valores de C tais que: a i 0 b + i + i d 6 + 64 0 e i

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTES DE RECUPERAÇÃO A - 6 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Teste Apresente e justifique

Leia mais

1 Números Complexos e Plano Complexo

1 Números Complexos e Plano Complexo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA 09-1 MTM5327 Variável Complexa 0549 Professor Lista de Exercícios

Leia mais

Notas breves sobre números complexos e aplicações

Notas breves sobre números complexos e aplicações Notas breves sobre números complexos e aplicações Complementos de Análise Matemática - ESI DMat - Universidade do Minho Dezembro de 2005 1 Definição O conjunto dos números complexos, denotado por C, pode-se

Leia mais

Análise Matemática IV

Análise Matemática IV . Análise Matemática IV o Exame - 9 de Janeiro de 006 LEA, LEC, LEEC, LEFT, LEN e LMAC Resolução y 4y + 4y = e t (D ) y = e t (D ) 3 y = 0 y = c e t + c te t + c 3 t e t, c, c, c 3 R. Substituindo estas

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 Cursos: 1 o Teste Versão A LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014 Cursos: Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 23/24 ō Teste, versão A LEIC, MEEC, LEMat, MEAer, MEBiol, MEQ, MEAmbi) 5 de Abril de 24, h3m Duração: h 3m. Seja α C 2 R) e u : R 2 R uma função

Leia mais

Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e

Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e Lista Especial de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Número complexo, sequência de Cauchy, função exponencial e movimento hamônico simples) IFUSP - 8 de Agosto de 08 Exercício Se z x + iy, x,

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 5 28 DE FEVEREIRO DE 2018

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 5 28 DE FEVEREIRO DE 2018 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 5 8 DE FEVEREIRO DE 018 Para o logaritmo complexo, nem sempre são válidas as propriedades conecidas do logaritmo real. Por exemplo: log 0 ( i) = 3π

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 6 SÉRIES DE FOURIER E MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 1 Determine o desenvolvimento em série

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Guia 3 João Pedro Boavida. 21 a 28 de Setembro

Análise Complexa e Equações Diferenciais Guia 3 João Pedro Boavida. 21 a 28 de Setembro 2 de Setembro de 211 21 a 28 de Setembro A secção Números complexos e matrizes 2 2 indica algumas das conclusões da discussão no final do guia 1 As secções Derivação em C e Integração em C resumem algumas

Leia mais

Lista 2 - Métodos Matemáticos II Respostas

Lista 2 - Métodos Matemáticos II Respostas Lista - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele fornecer

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 2 ANÁLISE COMPLEXA Para cada um dos seguintes conjuntos Z C, esboce o conjunto dos seus logaritmos.

Leia mais

Aula 1 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC-A MEBiol MEAmbi MEEC MEQ

Aula 1 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC-A MEBiol MEAmbi MEEC MEQ Aula 1 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC-A MEBiol MEAmbi MEEC MEQ Michael Paluch Instituto Superior Técnico Universidade de Lisboa 18 Fevereiro de 2019 Método de

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2013/2014

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2013/2014 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 1/14 1 ō Teste Versão A (Cursos: LEIC-A, LEMat, MEAmbi, MEBiol, MEQ) de Novembro de 1, 11h 1. Seja v(x,y) = (x+1)α(y), em que α : R R é uma função

Leia mais

(x, y) = 0. Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2016/ de abril de 2017, às 9:00 Teste 1 versão A

(x, y) = 0. Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2016/ de abril de 2017, às 9:00 Teste 1 versão A Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 26/27 22 de abril de 27, às 9: Teste versão A. Considere a função definida em R 2 por em que a e b são constantes reais. MEFT, MEC, MEBiom, LEGM, LMAC,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade

Leia mais

! " # $ % & ' # % ( # " # ) * # +

!  # $ % & ' # % ( #  # ) * # + a Aula 69 AMIV ' * + Fórmula de De Moivre Dado z = ρe e Concluímos por indução que = ρ cos θ + i sen θ C temos z = ρe ρe = ρ e z = zz = ρe ρ e = ρ e z = ρ e para qualquer n N e como ρ e ρ e = ρ e pôr n

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Fichas de Análise Matemática III

Fichas de Análise Matemática III Fichas de Análise Matemática III Fernando Lobo Pereira, João Borges de Sousa Depto de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Instituto de Sistemas

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2009/2010

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2009/2010 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 9/ ō Teste - Versão A (Cursos: Todos) 4 de Abril de, h Duração: h 3m. Seja u(x,y) = xe x cos(y) e x y sen(y)+β(x), em que β : R R é uma função de classe

Leia mais

1 a Lista de Exercícios de Cálculo VIII

1 a Lista de Exercícios de Cálculo VIII a Lista de Eercícios de Cálculo VIII. Simplifique: [ ] + i a + i i b 4 i c + i 6 i + i d i 4 e eπi f i e πi e +πi. Encontre todos os valores de C tais que: a i 0 b + i c + i d 6 + 64 0 e i 8 f 4/. Seja

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV E FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ( Seja f a função definida

Leia mais

Análise Complexa Derivação e Analiticidade Turma EIA /2011

Análise Complexa Derivação e Analiticidade Turma EIA /2011 Análise Complexa Derivação e Analiticidade Turma EIA+4 00/0 No que segue, consideramos f uma função complexa de variável complexa definidanumconjuntoabertod Cez 0 Dumnúmerocomplexo. Sef temderivadaemz

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2014/2015

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2014/2015 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre /205 (Curso: ō Teste MEAer de Novembro de, 9h. Considere a função u: R 2 R definida pela expressão onde a, b são parâmetros reais. u(x, y = ax 3 + bxy

Leia mais

Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então

Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então Seja D v f(p 0 ) = lim λ 0 f(p 0 + λ v) f(p 0 ) λ v representa a derivada direcional de f segundo

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 1 o Teste Versão A Cursos: LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função

Leia mais

Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa

Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa META: Introduzir o conceito de funções holomorfas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir funções holomorfas e determinar se uma

Leia mais

Números Complexos. Cálculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ CORRÊA. Campo Mourão, Paraná. Brasil. Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Números Complexos. Cálculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ CORRÊA. Campo Mourão, Paraná. Brasil. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná ampus ampo Mourão Números omplexos álculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ ORRÊA ampo Mourão, Paraná Brasil Sumário Wellington

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA 3 APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS PARTE A ANÁLISE COMPLEXA

ANÁLISE MATEMÁTICA 3 APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS PARTE A ANÁLISE COMPLEXA ANÁLISE MATEMÁTICA 3 APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS PARTE A ANÁLISE COMPLEXA Maria do Rosário de Pinho e Maria Margarida Ferreira Agosto 2004 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura

Leia mais

GABARITO. 1 a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV Professor: Matheus C. Bortolan

GABARITO. 1 a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV Professor: Matheus C. Bortolan GABARITO 1 a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV Professor: Matheus C. Bortolan (Valor 3.) Questão 1: Responda às seguintes questões, usando as equações de Cauchy-Riemann. (1.5) (a) Mostre que a função

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Análise Complexa e Equações Diferenciais Cursos: MEMec,LEAN (25/6, Semestre ) Apontamentos das aulas teóricas. Introdução Este texto consiste numa

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Análise Complexa e Equações Diferenciais Cursos: MEC,LEGM (24/5, Semestre ) Apontamentos das aulas teóricas. Introdução Este texto consiste numa transcrição

Leia mais

Polinómio e série de Taylor

Polinómio e série de Taylor Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA II - o Semestre 05/06 Exercícios Suplementares (Eng a Física Tecnológica, Matemática Aplicada e Computação

Leia mais

1 o Semestre 2018/2019 MEC

1 o Semestre 2018/2019 MEC ACED Análise Complea e Equações Diferenciais o Semestre 208/209 MEC Conteúdo I. Números compleos, funções compleas........... II. Transformações conformes e diferenciabilidade de funções compleas.............................

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais. Apontamentos das aulas teóricas

Análise Complexa e Equações Diferenciais. Apontamentos das aulas teóricas Análise Complexa e Equações Diferenciais Apontamentos das aulas teóricas 2 Índice Introdução 3. Revisões sobre números complexos 3 2. Representação trigonométrica dos números complexos 4 3. Noções topológicas

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV 1 o Teste (LEAM, LEBL, LEC, LEEC, LEM, LEGM, LEMAT, LEN, LEQ, LQ) Justifique cuidadosamente todas as respostas.

ANÁLISE MATEMÁTICA IV 1 o Teste (LEAM, LEBL, LEC, LEEC, LEM, LEGM, LEMAT, LEN, LEQ, LQ) Justifique cuidadosamente todas as respostas. Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise ANÁLIE MATEMÁTICA IV o Teste LEAM, LEBL, LEC, LEEC, LEM, LEGM, LEMAT, LEN, LEQ, LQ Justifique cuidadosamente todas as respostas.

Leia mais

1 Primeira lista de exercícios

1 Primeira lista de exercícios 1 Primeira lista de exercícios Números complexos, derivadas e integrais. 1. Ache todos os valores das seguintes raízes: (a) (2i) 1=2 (b) ( i) 1=3 (c) 8 1=6 2. Descreva geometricamente cada uma das regiões

Leia mais

Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu M.A.C. FORMULÁRIO. cos z = eiz + e iz. sinh z = ez e z 2

Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu M.A.C. FORMULÁRIO. cos z = eiz + e iz. sinh z = ez e z 2 Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu M.A.. FORMULÁRIO e x+iy = e x (cos y + i sin y) sin z = eiz e iz i cosh z = ez + e z ln z = w z = e w cos z = eiz + e iz sinh z = ez e

Leia mais

3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY 3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY A teoria de Cauchy-Goursat, desenvolvida na secção 2 (TEORIA DE CAUCHY- GOUR- SAT), permite-nos tirar algumas propriedades importantes sobre as funções f que são diferenciáveis

Leia mais

Funções Elementares do Cálculo Complexos 1

Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 META: Definir algumas funções elementares no campo dos complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir algumas funções elementares

Leia mais

Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/ o Exame - 25 de Janeiro de h

Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/ o Exame - 25 de Janeiro de h Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/2002 2 o Exame - 25 de Janeiro de 2001-9 h Todos os cursos excepto Eng. Civil,

Leia mais

1.1 Função Exponencial

1.1 Função Exponencial VARIÁVEL COMPLEXA 3. AS FUNÇÕES ELEMENTARES 1.1 Função Exponencial 1. Escreva as funções abaixo sob a forma u (x; y) + iv (x; y) : (a) w = exp (2z) (b) w = exp z 2 (c) w = exp (iz) : 2. Em cada caso, determine

Leia mais

(d) f (x) = ln (x + 1) (e) f (x) = sinh (ax), a R. (f) f(x) = sin(3x)

(d) f (x) = ln (x + 1) (e) f (x) = sinh (ax), a R. (f) f(x) = sin(3x) Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Derivadas 1. Use a denição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) x 1 2x + (b) f (x) x + 1 (d) f (x) ln (x + 1) (e) f (x)

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA 3 NÚMEROS COMPLEXOS

ANÁLISE MATEMÁTICA 3 NÚMEROS COMPLEXOS ANÁLISE MATEMÁTICA 3 NÚMEROS COMPLEXOS APÊNDICE Maria do Rosário de Pinho e Maria Margarida Ferreira Setembro 1998 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica

Leia mais

RESOLUÇÃO DO PRIMEIRO TESTE 31 DE OUTUBRO DE 2015 MEMEC,LEAN. f(x + iy) = x + x 3 + i(1 + y + y 2 )

RESOLUÇÃO DO PRIMEIRO TESTE 31 DE OUTUBRO DE 2015 MEMEC,LEAN. f(x + iy) = x + x 3 + i(1 + y + y 2 ) ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFEENCIAIS ESOLUÇÃO DO PIMEIO TESTE 3 DE OUTUBO DE 205 MEMEC,LEAN Considere a função f : C C definida pela expressão fx + iy = x + x 3 + i + y + y 2 a Determine o domínio de

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Análise Complexa e Equações Diferenciais o Semestre de 07/8 MEC Exercícios para as aulas práticas Conteúdo I Números complexos (8-/9/07) II Números complexos, funções complexas (5-9/9/07) 4 III Transformações

Leia mais

LOM3253 Física Matemática 2017 S2

LOM3253 Física Matemática 2017 S2 LOM3253 Física Matemática 2017 S2 Parte 2. Funções de variável complexa Prof. Dr. Viktor Pastoukhov EEL-USP Subconjuntos no plano complexo Geometria Analítica no plano complexo Geometria Analítica no plano

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana Parte A 1. (i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P

Leia mais

Variável Complexa

Variável Complexa Variável Complexa 2015.2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2

Leia mais

MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012

MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012 MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 2 14 de Junho de 2012 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas

Leia mais

MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012

MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I. Prova 2 14 de Junho de 2012 MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 2 14 de Junho de 2012 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV ANÁLISE MATEMÁTICA IV (2 ō semestre 2006/07) LEC e LEGM Professor Responsvel: Maria João Borges http://www.math.ist.utl.pt/ mborges/amiv Sumários das Aulas Teóricas Aula 37: (05/06) Aula 36: (04/06) Continuação

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 30 de junho de 2014 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec

Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 30 de junho de 2014 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 3 de junho de 4 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec [ val.] RESOLUÇÃO INÍCIO DA PRIMEIRO PARTE. Considere a função u(x, y) = 3xy x 3. (a) Escreva

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matem tica SecÁ o de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV 1 o Teste Cursos: LCI, LEAmb, LEBL, LEGM, LEIC, LEM, LEMat, LEMG, LEQ, LQ Justifique cuidadosamente

Leia mais

Álgebra. Exercícios de auto-avaliação

Álgebra. Exercícios de auto-avaliação Universidade Eduardo Mondlane Faculdade de Ciências Departamento de Matemática e Informática Álgebra Para Estudantes do Ensino à Distância do Curso de Licenciatura em Matemática, ano 01 Unidade 1 Números

Leia mais

depende apenas da variável y então a função ṽ(y) = e R R(y) dy

depende apenas da variável y então a função ṽ(y) = e R R(y) dy Formulario Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a Ordem Equações Exactas. Factor Integrante. Dada uma equação diferencial não exacta M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. ( ) 1. Se R = 1 M N y N x depende apenas

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:

Leia mais

21 de Junho de 2010, 9h00

21 de Junho de 2010, 9h00 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 009/00 ō Teste \ ō Exame - Versão A (Cursos: Todos) de Junho de 00, 9h00 Duração: Teste - h 30m, Exame - 3h INSTRUÇÕES Não é permitida a utilização de

Leia mais

Análise Complexa. José Luis Silva Departamento de Matemática Universidade da Madeira 9000 Funchal Madeira

Análise Complexa. José Luis Silva Departamento de Matemática Universidade da Madeira 9000 Funchal Madeira Análise Complexa José Luis Silva Departamento de Matemática Universidade da Madeira 9000 Funchal Madeira Conteúdo Números Complexos Breve nota histórica Definições e propriedades 3 3 Complexos conjugados

Leia mais

Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas

Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas 4 de Abril de 5 Semana 3. Determine os valores dos seguintes integrais: a) z dz em que é o semicírculo percorrido em sentido directo unindo i a i.

Leia mais

LEEC Exame de Análise Matemática 3

LEEC Exame de Análise Matemática 3 LEEC Exame de Análise Matemática 3 5 de Fevereiro de 005 Justifique cuidadosamente todas as respostas Não é permitida a utiliação de máquina de calcular O tempo para a realiação desta prova é de horas

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Lista I

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Lista I EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Lista I 1. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t +. Se esse comportamento depender do valor inicial de

Leia mais

2 Funções exponencial e logarítmica complexas

2 Funções exponencial e logarítmica complexas Equações reais, Soluções imaginárias. 1 Introdução Carlos A. Gomes UFRN Na última edição da RPM número 77) há um artigo Por que e iθ = cosθ + i.senθ?, do professor José Paulo Carneiro, onde é exibida uma

Leia mais

Números Complexos. Números complexos: Forma Algébrica: Representação geométrica. 1. Identifique Re(z) e Im(z) nos seguintes complexos:

Números Complexos. Números complexos: Forma Algébrica: Representação geométrica. 1. Identifique Re(z) e Im(z) nos seguintes complexos: Números Complexos Números complexos: Forma Algébrica: Representação geométrica 1. Identifique Re(z) e Im(z) nos seguintes complexos: a) z = 3 + 2i b) z = i + 2 c)z = 1 i d)z = 2i ln 2 e) z = 4 f) z = 2i

Leia mais

LEEC Exame de Análise Matemática 3

LEEC Exame de Análise Matemática 3 LEEC Exame de Análise Matemática 3 0 de Janeiro de 005 Justifique cuidadosamente todas as respostas Não é permitida a utilização de máquina de calcular O tempo para a realização desta prova é de horas

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame - 9 de Janeiro de 8 MEC Resolução. A imagem da região { z C : Rz < e 3 8 < Iz < 8} por z e z é { z C : < z < e 3 } 4 < argz

Leia mais

Exercícios propostos para as aulas práticas

Exercícios propostos para as aulas práticas Análise Matemática III Engenharia Civil 2005/2006 Exercícios propostos para as aulas práticas Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Algumas noções topológicas em IR n 1 Verifique se cada

Leia mais

m c k 0 c 4mk 4mk <0 (radicando NÚMEROS E FUNÇÕES COMPLEXAS CONTEXTUALIZAÇÃO

m c k 0 c 4mk 4mk <0 (radicando NÚMEROS E FUNÇÕES COMPLEXAS CONTEXTUALIZAÇÃO CONTEXTUALIZAÇÃO NÚMEROS E FUNÇÕES COMPLEXAS Números complexos ocorrem frequentemente na análise de vibrações, vindos da solução de equações diferenciais através de suas equações características. Em particular,

Leia mais

Matemática. Lic. em Enologia, 2009/2010

Matemática. Lic. em Enologia, 2009/2010 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Matemática Lic. em Enologia, 009/00 a Parte: Álgebra Linear Vectores em R n e em C n. Sejam u = (, 7,, v = ( 3, 0, 4 e w = (0, 5, 8. Calcule: a 3u 4v b u + 3v

Leia mais

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear 3 1.1. Determinantes 3 1.2. Valores e vectores próprios 5 2. Análise em

Leia mais

Preparar o Exame Matemática A

Preparar o Exame Matemática A 07. { {. 07. Como o polinómio tem coeficientes reais e é uma das suas raízes, então também é raiz de. Recorrendo à regra de Ruffini vem,. Utilizando a fórmula resolvente na equação, vem: ssim, as restantes

Leia mais

Convergência, séries de potência e funções analíticas

Convergência, séries de potência e funções analíticas Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 16, 2011 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior a Um

Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior a Um Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior a Um 2.1 EDOs lineares homogéneas de ordem dois. Redução de ordem. Exercício 2.1.1 As seguintes equações diferenciais de 2 a ordem podem ser

Leia mais

Revisão do Teorema de Green

Revisão do Teorema de Green Curso: MAT 0- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV - IFUSP Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 009 A Terceira Prova: - Não cobrirá questões sobre sequências numericas nem

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem

Leia mais

2 ā Prova de MAT0220 Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de /11/09 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira

2 ā Prova de MAT0220 Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de /11/09 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira Nome : N ō USP : ā Prova de MAT00 Cálculo IV - IFUSP ō semestre de 009-3//09 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira GABARIT O Q 3 4 5 6 Total N JUSTIFIQUE TODAS AS PASSAGENS BOA SORTE. Determine os valores

Leia mais

Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Exercícios de exames e testes intermédios 1. Em C, conjunto dos números complexos, sejam z 1 = 1 3i19 1 + i e z = 3k cis ( 3π, com k R + Sabe-se

Leia mais

TURMA:12.ºA/12.ºB. O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz)

TURMA:12.ºA/12.ºB. O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz) GUIA DE ESTUDO NÚMEROS COMPLEXOS TURMA:12.ºA/12.ºB 2017/2018 (ABRIL/MAIO) Números Complexos O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz) A famosa igualdade de Euler i e 10 A

Leia mais

Matemática 1 a QUESTÃO

Matemática 1 a QUESTÃO Matemática a QUESTÃO IME-007/008 Temos que: i) sen 3 x + cos 3 x = (senx + cosx) (sen x senxcosx + cos x) = (senx + cosx) ( senxcosx) ii) sen xcos x = ( + senxcosx) ( senxcosx) Então, a equação dada é

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003 Funções reais de várias variáveis 1. Faça um esboço de alguns conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f (x,y) = 1 + x + 3y, (x,y)

Leia mais

MAT Lista de exercícios

MAT Lista de exercícios 1 Curvas no R n 1. Esboce a imagem das seguintes curvas para t R a) γ(t) = (1, t) b) γ(t) = (t, cos(t)) c) γ(t) = (t, t ) d) γ(t) = (cos(t), sen(t), 2t) e) γ(t) = (t, 2t, 3t) f) γ(t) = ( 2 cos(t), 2sen(t))

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7.

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 20/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6 SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Propriedades dos Determinantes

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha

Leia mais

Convergência, séries de potência e funções analíticas

Convergência, séries de potência e funções analíticas Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 13, 2015 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova

Leia mais

Variável Complexa

Variável Complexa Variável Complexa 2017.2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ESCALARES E FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN. tet + t

ANÁLISE MATEMÁTICA IV EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ESCALARES E FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN. tet + t Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ESCALARES E FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN () Determine

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como

Leia mais

MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova 1 D

MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova 1 D MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 14 de Outubro de 2011 Prova 1 D Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,

Leia mais