ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo.
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- Sofia Antunes de Sequeira
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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1 NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES COMPLEXAS Números Complexos 1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo. ) Resolva a equação quadrática z + iz + i 1 0. Pela fórmula resolvente para a equação quadrática, z + iz + i 1 0 z i ± i z + i ou z + i Comentário: A fórmula resolvente para a equação quadrática vale para equações com coeficientes complexos. A sua demonstração resume-se a: az + bz + c a z b + ) b 4ac z b ) b 4ac, a a onde e representam as duas raízes quadradas de um número complexo. 3) Determine todas as soluções z C da equação z 6 i + ) i i Primeiro simplifica-se o lado direito: i + ) i i 3 + 6i 30 55i + 1i i 5 As soluções da equação são portanto as raízes sextas de 8, ou seja, z e i kπ 3 com k {0, 1,, 3, 4, 5}.. 4) Resolva a seguinte equação 1 + 3z + 3z + z 3 4 e i 7π e i π + e i3π ). 1
2 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 Diferenciabilidade 5) a) Seja T : C C uma aplicação linear ) onde C é considerado espaço vectorial de a b dimensão sobre R. Seja a matriz que representa T relativamente c d à base 1, i de C, ou seja, T x + yi) ax + by) + cx + dy)i. Mostre que a aplicação T é multiplicação por um número complexo se e só se a d e b c. b) Uma função anaĺıtica f : C C considerada como uma função f : R R tem por derivada em cada z 0 uma aplicação linear a sua jacobiana), Df z0 : R R. A aplicação Df z0 corresponde à multiplicação por um número complexo, f z 0 ). Qual é esse número em termos das entradas de Df z0? a) Suponha-se que T é multiplicação por um número complexo, a + ci. Então T x + yi) a + ci)x + yi) ax cy) + cx + ay)i. Relativamente à base 1, i de C, fica [ ] [ ] [ ] x a c x T, y c a y ou seja, as entradas da diagonal são iguais e as da anti-diagonal são simétricas. Suponha-se, reciprocamente, que, relativamente à base 1, i de C, a aplicação linear T é dada por uma matriz [ ] a c, c a ou seja, [ ] [ ] [ ] x a c x T y c a y [ ax cy cx + ay Então T x+yi) ax cy)+cx+ay)i a+ci)x+yi), pelo que T é multiplicação pelo número complexo a + ci. b) Considerando a função complexa de variável complexa f : C C x + yi ux + yi) + ivx + yi) como uma função vectorial real de duas variáveis reais, f : R R x, y) ux, y), vx, y)), a sua jacobiana no ponto x 0, y 0 ) correspondente a z 0 x 0 + iy 0 é x 0, y 0 ) x 0, y 0 ) Df z0 x 0, y 0 ) x 0, y 0 ). ].
3 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 3 De acordo com a aĺınea a), conclui-se que Df z0 se traduz na multiplicação pelo número complexo f z 0 ) x 0, y 0 ) + i x 0, y 0 ) onde x 0, y 0 ) x 0, y 0 ) e x 0, y 0 ) x 0, y 0 )). Equações de Cauchy-Riemann 6) Use as equações de Cauchy-Riemann para decidir sobre a analiticidade das seguintes funções onde z x + yi): a) fz) z z x 3 + xy + x y + y 3 )i; b) fz) e x y cos xy) 1 + i cosxy) sinxy)). 7) Determine o domínio de diferenciabilidade das seguintes funções: a) fz) e xy e xy + xyi; b) fz) x y i para z 0); x +y x +y onde x Rez e y Imz. a) As equações de Cauchy-Riemann são necessárias para a diferenciabilidade. A função fx + iy) e } xy {{ e xy } +xy i }{{} ux,y) vx,y) não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann fora da origem porque: { { ye xy + ye xy x xe xy xe xy y { xye xy + e xy ) x xye xy + e xy ) y x y x y 0 Na origem as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, e na origem f é de facto diferenciável porque e lim xy e xy +ixy z 0 x+iy [e lim xy e xy )x+xy ]+i[x y e xy e xy )y] z 0 x +y x lim y+xy +...) x + i lim y xy +...) z 0 x +y z 0 x +y 0 onde...) representa termos de ordem superior que não contribuem para o limite. Conclui-se que f é diferenciável apenas em 0. Comentário: Em alternativa, podia-se invocar o teorema que afirma que, quando as derivadas parciais são contínuas, as equações de Cauchy-Riemann são também uma condição suficiente para a diferenciabilidade; ver, por exemplo, p.6 de Complex Analysis por L. Ahlfors. Este resultado é aplicado na aĺınea seguinte.
4 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 b) Quando as partes real e imaginária de uma função complexa são continuamente diferenciáveis, as equações de Cauchy-Riemann são suficientes para a diferenciabilidade. Neste caso a função f tem derivadas contínuas em todo o seu domínio e satisfaz sempre as equações de Cauchy-Riemann: y x x +y ) xy x +y ). Conclui-se que f é diferenciável em todo o seu domínio. Comentário: A função dada é igual a fz) 1 1 z, cuja derivada é z z 0. para qualquer 8) Considere a função u : R R definida por ux, y) x 3 + y 3 3xyx + y) a) Mostre que u é uma função harmónica. b) Determine a função harmónica conjugada, v, tal que v0, 0) 0. 9) a) Mostre que, em coordenadas polares, as equações de Cauchy-Riemann se escrevem onde x cos θ e y sin θ. b) Mostre que a função 1 1 fz) log + iθ é anaĺıtica em todo o seu domínio, > 0 e θ ]0, π[. c) Calcule a derivada, f z), da função da aĺınea anterior em termos de z. a) Se então e { x cos θ y sin θ cos θ sin θ 1 sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ.
5 As equações de Cauchy-Riemann ficam AMIV FICHA SUPLEMENTAR sin θ cos θ cos θ sin θ + cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ ) sin θ ) sin θ ) + cos θ ) 1 1. b) Quando as partes real e imaginária de uma função complexa são continuamente diferenciáveis, as equações de Cauchy-Riemann são suficientes para a diferenciabilidade. Neste caso, u Re f log ) ) c) v Im f θ e as equações de Cauchy-Riemann são sempre satisfeitas: Logo, f é anaĺıtica em todo o seu domínio. f z) + i + ) + i + ) ) cos θ i 0 sin θ ) cos θ i sin θ z z z. Comentário: A função dada é igual a fz) log z 4, onde log representa o ramo principal do logaritmo.
6 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 1 Funções Trigonométricas 10) Prove que sinx + iy) sin x cosh y + i cos x sinh y. sinx + iy) eix+iy) e ix+iy) i eix y e ix+y i sin x cosh y + i cos x sinh y eix e ix i e y +e y + i eix +e ix e y e y ey+ix e y ix +e y+ix e y ix e y+ix e y ix +e y+ix +e y ix 4i e y+ix e y ix i 11) Mostre que, para z x + yi, se tem sin z sinh y + sin x cosh y cos x. 1) Estabeleça seguinte igualdade onde z x + yi) cos z + sin z coshy). Exponenciais e Logaritmos 13) Determine todas as soluções da equação z i z i + 0. Nas equações seguintes, o símbolo Log z representa genericamente os logaritmos de z. z i z i + 0 z i ) z i + 0 z i 1 ± i ilog z Log 1 ± i) Log z 1 i [ln 1 ± i + iarg1 ± i) + kπ)] Log z i ln ± π 4 + kπ com k Z. z e ± π 4 +kπ i ln,
7 AMIV FICHA SUPLEMENTAR ) Se z e w forem números complexos com z 0, o símbolo z w representa o conjunto dos números complexos s que têm logaritmo da forma wα, para algum logaritmo α de z. Ou seja, e wα s e e α z para algum número complexo α.) Descreva o conjunto z w quando z 1 and w i. Tem-se que 1 e kπi para qualquer k Z. Consequentemente: i e 1 3 +i)log 1 e 1 3 +i)kπi e kπ 3 i kπ onde k Z. e kπ cos kπ 3 + i sin kπ ) 3,
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