Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas

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1 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas Prof a.: Elisangela Farias e Sérgio Motta FUNÇÕES Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é um terno (f; X; Y ), f : X! Y, sendo f uma relação de X para Y satisfazendo: (a) Dom(f) = X, (b) Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f então y = z: [Dizemos que função é uma regra que a elemento y 2 Y. ] cada elemento x 2 X, associa um único Em notação, f : X! Y x 7! f(x) = y Dizemos que y é a imagem de x sob f e que x é a imagem inversa de y sob f. O conjunto Y é dito contra-domínio da função e não necessariamente coincide com o conjunto das imagens da função. Quando é dada uma lei x 7! f(x) = y que associa aos elementos de X elementos de Y; para termos certeza que esta lei de ne uma função f : X! Y; devemos veri car que efetivamente a cada elemento de X é associado um único elemento de Y: Deve-se mostrar que se a = b; então f(a) = f(b): Além disso, deve-se garantir ainda que D(f) = fx 2 X; 9y 2 Y : f(x) = yg = X: Exemplos e Contraexemplos Exemplo 0.1. A função f : X! X, que ao elemento x associa o próprio x; recebe o nome de função identidade de X, e é denotada por Id X :

2 2 Exemplo 0.2. Seja f : X x 2 X. Esta aplicação é a função constante.! Y uma função tal que 9b 2 Y com f(x) = b para todo Exemplo 0.3. Toda função s : N escrever s n ao invés de s(n):! A é chamada sequência em A: Costuma-se Exemplo 0.4. Seja A um conjunto. Uma função qualquer f : A A! A é chamada de operação em A. Dizemos que a operação é comutativa se f(a; b) = f(b; a); 8(a; b) 2 A A: A operação é dita associativa se para todos os elementos a; b; c 2 A se tem f(a; f(b; c)) = f(f(a; b); c): Um elemento e 2 A é dito elemento neutro para a operação f se para todo elemento a 2 A se tem f(a; e) = f(e; a) = a: Se f possui um elemento neutro e; então um elemento a 2 A é dito simetrizável se existe b 2 A tal que f(a; b) = f(b; a) = e: D(g) = R + 6= R Exemplo 0.5. Seja g : R! R dada por x 7! p x: Esta regra não é uma função pois Exemplo 0.6. Seja g : R! R dada por x 7! p 1 x 2 : Esta regra não é uma função pois D(g) = [ 1; 1] 6= R e existem dois correspondentes para um mesmo valor de x: Exemplo 0.7. Seja f : R! R de nida por f(x) = [x] para todo x 2 R em que [x] denota o maior inteiro menor ou igual a x: Esta é chamada função maior inteiro. Exemplo 0.8. Seja A um subconjunto de um conjunto não vazio X: Então a relação f(x; y) 2 X f0; 1g; y = 1 se x 2 A e y = 0 se x 2 X Ag dá origem a uma função de X em f0; 1g, conhecida como função característica de A : A : X! f0; 1g 8 < 1 se x 2 A; ; A (x) = : 0 se x 2 X A;.

3 3 Imagens e Imagens Inversas de Conjuntos Seja f : X! Y uma função, e sejam A e B subconjuntos de X e Y; respectivamente. (a) A imagem de A sob f, que denotamos por f(a) é o conjunto de todas as imagens f(x) tais que x 2 A f(a) = ff(x); x 2 Ag (b) A imagem inversa de B sob f, que denotamos por f 1 (B) é o conjunto de todas as préimagens dos elementos y 2 B f 1 (B) = fx; f(x) 2 Bg 0.1 Teorema. Seja f : X! Y uma função. Então (a) f(;) = ; (b) f(fxg) = ff(x)g (c) Se A B X; então f(a) f(b) (d) Se C D Y, então f 1 (C) f 1 (D) 0.2 Teorema. Seja f : X! Y uma função e seja fa g; 2 I uma família de subconjuntos de X. Então (a) f([ 2I A ) = [ 2I f(a ) (b) f(\ 2I A ) \ 2I f(a ) Exemplo 0.9. Sejam X = fa; bg, Y = fcg; I = f1; 2g; A 1 = fag; A 2 = fbg e seja f : X! Y a função constante f(a) = f(b) = c: Então f(a 1 \ A 2 ) = f(;) = ; e f(a 1 ) \ f(a 2 ) = fcg: 0.3 Teorema. Seja f : X! Y uma função e seja fb g; 2 I uma família de subconjuntos de Y. Então (a) f 1 ([ 2I B ) = [ 2I f 1 (B ) (b) f 1 (\ 2I B ) = \ 2I f 1 (B ) Seja f : X nova função g : A! X uma função e A um subconjunto de X; A X: Podemos de nir uma! Y com a mesma lei f; isto é, g(x) = f(x) para 8x 2 A X: Esta função é chamada de restrição de f a A e é denotada por fj A Seja A X: A função identidade x 7! x; pode ser vista como a aplicação A! X, que é chamada inclusão, e é as vezes denotada por A,! X:

4 4 Se B X e C Y então toda aplicação g : B chamada prolongamento de f ao conjunto B.! C tal que g(x) = f(x); 8x 2 X; é Exemplo Consideremos a função f : R! R dada por f(x) = 1 x ; 8x 2 R : Se A = f2; 4; 6; :::g; então fj A = f(2; 1); (4; 1 ); :::g é a restrição de f ao conjunto dos números 2 4 pares maiores que zero. 8 < 0; se x = 0 ; A função g : R! R dada por g(x) = : f(x); se x 2 R. (ou extensão) de f ao conjunto R: Exemplo Seja f : C é um prolongamento! R + dada por f(x + yi) = p x 2 + y 2 : Seja R(R C) e seja g : R! R + dada por g(x) = jxj: Neste caso, g = fj R pois f(x) = f(x +0i) = p x = jxj = g(x); 8x 2 R: Exemplo Seja f : Q! Q dada por x 7! x 2 : Seja agora g : R! R dada < f(x) se sex 2 Q; ; por g(x) = : Então g é uma extensão de f ao conjunto R: Sejam agora : x se x 2 R Q;. S = fx; x 2 Q e 0 6 x 6 1g e h : S! S(ouQ) dada por x 7! x 2 : Então h é uma restrição de f a S: Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 0.4 Definição. Uma função f : X! Y é injetora quando satisfaz: se x 1 ; x 2 2 X e f(x 1 ) = f(x 2 ) então x 1 = x Definição. Uma função f : X! Y é sobrejetora se satisfaz: se y 2 Y; então existe ao menos um x 2 X tal que f(x) = y: Em outras palavras, f : X conjunto imagem de X sob f é igual ao contradomínio da função.! Y é sobrejetora se e somente se f(x) = Y, isto é, o Exemplo A função f : Z! Z dada por x 7! x + 3 é injetora e sobrejetora. não é injetora. Exemplo A função f : R! [ 1; 1]; dada por f(x) = sen(x) é sobrejetora mas

5 5 injetora. injetora. injetora. Exemplo A função f : R Exemplo A função f : R Exemplo A função f : R! R; dada por f(x) = sen(x) não é sobrejetora nem! Q; dada por f(x) = [x] não é sobrejetora nem! Z; dada por f(x) = [x] é sobrejetora mas não é sobrejetora. Mas, Exemplo A função f : R! R dada por f(x) = x 2 não é injetora nem Exemplo A função f : R! R + dada por f(x) = x 2 é sobrejetora. 0.6 Definição. Uma função f : X! Y é chamada uma bijeção (ou correspondência um-aum) se for simultaneamente injetora e sobrejetora. 7 Isto signi ca que, dado um elemento y 2 Y, existe um único elemento x 2 X tal que f(x) = y 0.7 Teorema. Seja f : X! Y uma função injetora e seja fa g; 2 I uma família de subconjuntos de X. Então f(\ 2I A ) = \ 2I f(a ) 0.8 Definição. Sejam X; Y; W e sejam as funções f : X! Y e g : Y! W: Podemos de nir uma nova função h : X! W com a regra h(x) = g(f(x)): A função h é chamada de função composta de g com f e é denotada por g f: Temos portanto, por de nição que (g f)(x) = g(f(x)): Exemplo Consideremos as funções f : R! R + dada por f(x) = x 2 e g : R +! Z dada por g(x) = [x] + 1. Então g f : R! R dada por x! [x 2 ] + 1; é a função composta de g com f. Exemplo Sejam f : R! R + tal que f(x) = 2 x e g : R +! R tal que g(x) = p x: A aplicação composta de g com f é g f : R! R é dada por (g f)(x) = g(f(x)) = p f(x) = p 2 x : Neste caso, observando os domínios e contradomínios de f e g, percebemos que podemos também considerar a função composta de f com g : f g : R +! R + por (f g)(x) = f(g(x)) = f( p x) = 2 p x

6 6 Observemos daí que em geral g f 6= f g: 0.9 Teorema. A composição de funções é associativa. Isto signi ca: sejam X; Y; W; V conjuntos e sejam as funções f : X! Y; g : Y! W; h : W! V: Então h (g f) = (h g) f: 0.10 Teorema. Sejam X; Y; W conjuntos f : X! Y; g : Y! W funções. Se f e g são injetoras, então g f é injetora. Se f e g são sobrejetoras, então g f é sobrejetora. Podemos daí a rmar que se f e g são bijetoras, então g f também é bijetora Definição. Seja f : X! Y uma função. Uma função inversa para f é uma função g : Y! X tal que g f = id X e f g = id Y Na primeira igualdade, dizemos que g é inversa à esquerda de f. Na segunda, dizemos que g é um inversa de f à direita Teorema. Se existe uma função inversa para f; então ela é única, e denotamos-a por f 1 : Logo, por de nição, a aplicação inversa f 1 é caracterizada pela seguinte propriedade: Para todo x 2 X e y 2 Y; f 1 (f(x)) = x e f(f 1 (y)) = y 0.13 Teorema. Uma função é sobrejetora se e somente se ela admite inversa à direita Teorema. Uma função é injetora se e somente se ela admite inversa à esquerda Teorema. Seja f : X! Y uma bijeção. Então f 1 : X! Y é também uma bijeção Teorema. Seja f : X! Y uma função. Então f é bijetora se, e somente se, f tem uma função inversa.

7 7 Exercícios 1) Sejam f : X! Y e g : Y! Z funções. Demonstre: a) Se g f é injetora, então f é injetora. b) Se g f é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora. c) Se g f é sobrejetora, então g é sobrejetora. d) Se g f é sobrejetora e g é injetora, então f é sobrejetora. 2) Apresente um contraexemplo que mostre que g f ser bijetora não implica que g e f também o sejam. 3) Demonstre que se f : X! Y é sobrejetora, então para todo conjunto Z e todas funções g : Y! Z e h : Y! Z, g f = h f ) g = h: 4) Demonstre que se f : X! Y é injetora, então para todo conjunto Z e todas funções g : Z! X e h : Z! X, f g = f h ) g = h: 5) A recíproca dos resultados nos dois últimos exercícios acima é válida? Prove ou apresente contraexemplos. OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os conceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli cados, sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato, elucidativa. Referência Bibliográ ca: Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí cos Editora S.A.,1974 Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, Hefez, Abramo. Curso de Álgebra, vol1. Rio de Janeiro:IMPA,CNPq, Lang, Serge. Álgebra para Graduação. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda,

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