Notas de Aula de Fundamentos de Matemática

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1 Universidade Estadual de Montes Claros Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Ciências Exatas Notas de Aula de Fundamentos de Matemática Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que foram elaboradas para orientar o estudo de conteúdos básicos de Matemática. Montes Claros, 26 de fevereiro de 2012

2 Capítulo 1 Linguagem de Conjuntos 1.1 Conjuntos Intuitivamente se pode considerar um conjunto como uma coleção de objetos, cada um dos quais se diz que é um elemento do conjunto. Em geral representaremos os conjuntos por letras maiúsculas e a seus elementos por letras minúsculas, quando fizermos o uso de letras, claro. Para indicar que um objeto x é elemento de um conjunto A se escreve x A, e se lê x pertence a A. Para indicar que um objeto x não é elemento de A se escreve x / A, e se lê x não pertence a A. Utilizaremos frequentemente os símbolos Signo se lê denomina-se para todo quantificador universal existe ao menos um quantificador existencial! existe um e só um se..., então.... implicação simples se e somente se dupla implicação ou equivalência ou ; tal que : se verifica Um conjunto está determinado ou definido quando se conhece quais são os objetos que o formam. A determinação de um conjunto se pode fazer por extensão ou por compreensão: a) um conjunto está determinado por extensão quando se enumera todos os seus

3 elementos. Escreve-se entre duas chaves todos os seus elementos, separados por vírgulas. Exemplo: A = {a, e, i, o, u}. b) um conjunto está determinado por compreensão quando se dá uma propriedade que verificam todos e cada um dos seus elementos, e somente eles. Escreve-se entre duas chaves a propriedade que caracteriza os elementos de dito conjunto. Exemplo: Para representar o conjunto de todos os meses do ano se escreverá {x x é um mês do ano}. Lerá-se Conjunto dos x tais que x é um mês do ano. O conjunto dos números pares se representará por {x x é um número par}. Se a condição que têm de verificar os elementos de um conjunto é a conjunção de outras duas, sendo uma delas que o elemento há de pertencer a um conjunto dado, se emprega uma simplificação na notação. Por exemplo: O conjunto dos números naturais maiores que um {x x N e x > 1} se escreverá {x N x > 1}. O conjunto das raízes reais do polinômio x 5 6x+3, que se pode escrever {x x R e x 5 6x + 3 = 0} se abrevia escrevendo {x R; x 5 6x + 3 = 0}. Para expressar que algum elemento x de um conjunto A verifica a propriedade P (x) se escreve x A; P (x), o que significa exatamente que {x A P (x)} =. ( := conjunto vazio). Se se quer expressar que há exatamente um elemento do conjunto A que verifica a propriedade P (x), se escreverá!x A P (x). Expressando por P (x) a propriedade que nega a propriedade P (x), a negação de x A : P (x) é x A P (x) e a negação de x A; P (x) é x A : P (x). Dada uma propriedade qualquer P (x) é certo que x : P (x). Com efeito, {x ; P (x)} =. 2

4 1.2 Igualdade e Inclusão de Conjuntos Para que dois conjuntos sejam iguais é necessário e suficiente que qualquer elemento de qualquer deles seja elemento do outro. Definição 1.1 Sejam A e B dois conjuntos. Diz-se que A é um subconjunto de B, ou que A está contido em B, ou que A é parte de B, e se denota por A B, se todo elemento de A é um elemento de B. Em linguagem matemática se escreverá A B x A : x B. Exemplo {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a} A a A Nota 1.2 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. De fato, suponha A, para algum conjunto. Assim, existe algum x tal que x / A. Mas isso é absurdo. As formas mais usadas para representar conjuntos são: a) Diagrama linear. Consiste em assinalar sobre uma linha reta todos os elementos do conjunto. Exemplo: O conjunto A = {a, e, i, o, u} se pode representar b) Diagrama de Venn. Os conjuntos vêm representados por uma região do plano limitada por uma curva regular fechada. Os elementos são representados por pontos situados no interior da curva. O conjunto anterior se representaria: 3

5 Definição 1.3 O número de elementos de um conjunto A recebe o nome de cardinalidade do conjunto A. Denotamos este fato por n(a), Card(A) ou (A). Nota 1.4 a) IN = {0} N, sendo N = {1, 2, 3, 4, 5,...} b) Chama-se conjunto vazio ao conjunto que não tem elementos, e o conjunto vazio será considerado um conjunto finito. Com relação ao número de elementos, um conjunto é finito no caso em que o número de elementos dele é um número natural. A Todo conjunto que não é finito se diz que ele é infinito. Convenciona-se que quando um conjunto A é vazio, ou seja, A =, então n(a) = 0. Para expressar que todos os elementos x de um conjunto A tem uma propriedade P (x) se escreve x A : P (x); o que significa, literalmente, que = {x A x não verifica P (x)}. Proposição 1.5 Sejam A, B e C conjuntos. Então a) A A b) A = B A B e B A c) Se A B e B C A C Demonstração. a) x A : x A. b) ( ) é consequência imediata de (a). ( ) x A : x B, por ser A B. x B : x A, por ser B A. Assim A e B têm os mesmos elementos. c) x A x B, por ser A B. x B x C, por ser B C. Assim, todo elemento de A é elemento de C. Logo A C. 4

6 Nota 1.6 Os subconjuntos de A distintos do vazio e do próprio A se chamam subconjuntos próprios. O conjunto A e o conjunto vazio recebem o nome de subconjuntos impróprios. Definição 1.7 Seja A um conjunto. Chama-se conjunto das partes de A ao conjunto (A) = {B B A}. Exemplo: Seja A = {1, 2, 3}. Então: (A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. 1.3 Operações entre conjuntos: união, intersecção, diferença Definição 1.8 Sejam A e B dois conjuntos. Então: a) Chama-se união de A e de B ao conjunto A B = {x x A ou x B}. b) Chama-se instersecção de A e de B ao conjunto A B = {x x A e x B}. c) Chama-se diferença de A e de B ao conjunto A B = {x A x / B} = {x A e x / B}. Exemplo Se A = {1, 3, 5} e B = {2, 3, 4} se tem: A B = {1, 2, 3, 4, 5}, A B = {3}, A B = {1, 5} e B A = {2, 4} Propriedades das operações entre conjuntos Sejam A, B e C conjuntos. Então a) A A = A e A A = A (Propriedade idempotente) b) A B = B A e A B = B A (Propriedade comutativa) c) (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C) (Propriedade associativa) d) (A B) A = A e (A B) A = A (Propriedade simplificativa) e) A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C) (Propriedade distributiva) Demonstração. 5

7 a) A A = {x x A ou x A} = {x x A} = A A A = {x x A e x A} = {x x A} = A b) A B = {x x A ou x B} = {x x B ou x A} = B A A B = {x A e x B} = {x B e x A} = B A c) (A B) C = {x x A B ou x C} = {x x A ou x B ou x C} = {x x A ou x B C} = A (B C) (A B) C = {x x (A B) e x C} = {x x A e x B e x C} = {x x A e x B C} = A (B C) d) x (A B) A x A. Logo (A B) A A. x A x (A B) e x A x (A B) A, i.e., A (A B) A. Também temos que, x (A B) A, x A B ou x A. De x A B vem que x A. Assim, em qualquer das situações, x A. Logo, (A B) A A. Por outro lado, x A x (A B) A. Logo, A (A B) A. e) x A (B C) temos que x A ou x (B C). De x A vem que x A B e x A C, logo x (A B) A C). De x (B C) vem que x B e x C. Consequentemente, x (A B) e x (A C), ou seja, x (A B) (A C). Assim, pois, A (B C) (A B) (A C). Agora, se x A B) (A C) : se x A então x A (B C). Caso contrário, x (A B) A C) x A B e x A C. Assim, x B e x C, pois xx / A. Então, x B C x A (B C). Logo, (A B) (A C) A (B C). Da dupla inclusão se conclui a igualdade. A demonstração da outra propriedade distributiva é similar a esta: De fato, x A (B C) x A e x (B C). De x (B C), vem que x B ou x C). Assim, x A B ou x A C), donde A (B C) (A B) (A C). Por outro lado temos que x (A B) (A C) x A B ou x A C). De x A B vem que x A e x B e de x A C vem que x A e 6

8 x C. Assim, x A e x B ou x C. seja,(a B) (A C) A (B C). Portanto, x A (B C), ou Proposição 1.9 Sejam A e B conjuntos. São equivalentes: (a)a B (b)a B = B (c)a B = A (d)a B = Demonstração. (a) (b) Seja x A B. Então, x A x B ou x B. Em qualquer dos casos, x B. Logo A B B. Como sempre é certo que (B A B, se conclui a igualdade. (b) (c) A B = B A B = A (A B) = A. (c) (d) Suponhamos que A B. Assim, x (A B). Então x A = A B x B. Absurdo, pois x (A B). (d) (a) Seja x A. Como a B = x / (A B) x B, já que x A e x / (A B). Proposição 1.10 Sejam A, B e C conjuntos. Então a) A (B C) = (A B) C b) A (B C) = (A B) (A C) c) A (B C) = (A B) (A C) Demonstração. contido no outro. Basta comprovar em cada caso que um dos dois conjuntos está a) x A (B C) x A e x / (B C), ou seja, x / B e x / C. De x A e x / B vem que x (A B). Como x / C, temos x (A B) C. Logo A (B C) (A B) C. Seja agora x (A B) C x (A B) e x / C. De x (A B) vem que x A e x / B. Assim, x / (B C) e x A (B C) Portanto A (B C) A (B C). Da dupla inclusão se conclui a igualdade. 7

9 b) x A (B C) x A e x / B C). De x / B C) vem que x / B ou x / C. Assim, x (A B) ou x (A C), ou seja, x (A B) (A C). Logo, A (B C) (A B) (A C). Seja agora x (A B) (A C) x (A B) ou x (A C). De x (A B) vem que x A e x / B. De x (A C) vem que x A e x / C. Em qualquer dos casos, x A. Como x / B nem x / C, x / (B C), ou seja, x A (B C). Assim, (A B) (A C) A (B C). Da dupla inclusão se deduz a igualdade. c) Seja x A (B C) x A e x / (B C).) De x / (B C)) vem que x / B ou x C. Assim, x (A B) ou x (A C), ou seja, x (A B) (A C). Logo, A (B C) (A B) (A C). Seja agora x (A B) (A C) x (A B) ou x (A C). De x (A B) vem que x A e x / B. De x (A C) vem que x A e x C. Em qualquer dos casos, x A. Como x / B ou x C, temos que x / (B C) donde x A (B C). Assim, (A B) (A C) A (B C). Da dupla inclusão se deduz a igualdade. Definição 1.11 Seja A um conjunto e seja B (A). Chama-se complementar de B (em A) ao conjunto B A = A B = B. Exemplo Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {1, 3, 5} se tem que B = {2, 4, 6, 7}. Se A = N e B = 2N, então B A = {x N x é ímpar}. Proposição 1.12 Seja A um conjunto e seja B (A). Então B B = A e B B =. Demonstração. x A x B ou x / B x B B. Logo A B B. Por outra parte, B A e B A B B A. Daí a igualdade. Suponhamos agora que B B x B B. Então x B e x B - absurdo! Nota 1.13 Muitas vezes tem-se um conjunto U que contém todos os conjuntos que ocorrem em certa discussão. Nesse caso, U X chama-se complementar de X e indicamos esse fato por X. U é chamado conjunto fundamental ou conjunto universo. 8

10 1.4 Produto Cartesiano Definição 1.14 Chama-se par ordenado ao ente matemático formado por dois tipos de objetos matemáticos dados em uma ordem determinada. Se simboliza (a, b), onde a e b se denominam primeira e segunda componentes do par (a, b). Diz-se que dois pares são iguais se, e somente se sse, as componentes correspondentes são iguais entre si, é dizer, (a, b) = (c, d) a = c e b = d Dessa condição se deduz que (a, b) = (b, a) a = b. Definição 1.15 Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se produto cartesiano de A e B ao conjunto A B = {(a, b) a A, b B}. Exx. Se A = {1, 2, 3} e B = {a, b} se tem que A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. A/B a b 1 (1,a) (1,b) 2 (2,a) (2,b) 3 (3,a) (3,b) Se A = N = {1, 2, 3,...}, B = R, A B é o conjunto de todos os pares ordenados cuja primeira componente (ou coordenada) é um número natural e cuja segunda componente (ou coordenada) é um número real. Proposição 1.16 Sejam A, B, C, D conjuntos. Então a) A B A e B b) A B = C D A = C e B = D c) A (B C) = (A B) (A C) e (B C) A = (B A) (C A) d) A (B C) = (A B) (A C) e (B C) A = (B A) (C A) e) A (B C) = (A B) (A C) e (B C) A = (B A) (C A) Demonstração. 9

11 a) A B (a, b) A B a A e b B A e B. b) ( ) Trivial ( ) Seja (a, b) A B = C D a A, a C, b B, b D. Então x A (x, b) A B (x, b) C D x C. Logo, A = C e, analogamente, B = D. c) Seja (a, b) A (B C) a A e b B C. De b B C vem que b B ou b C. Se b B (a, b) A B (a, b) (A B) (A C) Se b C (a, b) A C (a, b) (a B) (A C) Assim, pois: A (B C) (a B) (A C) Se (a, b) (A B) (A C) (a, b) A B ou (a, b) (A C) Se (a, b) A B a A e b B a A e b B C (a, b) A (B C). Assim, pois A B) (A C) A (B C). Da dupla inclusão se deduz a igualdade. De igual forma se procede para demonstrar que (B C) A = (B A) (C A). d) e) É similar a c) É similar aos dois anteriores. 1.5 Problemas 1) Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa e forme sua negação: a) Existe um número real x tal que x 2 = 1. b) Para todo número inteiro n, vale n 2 > n. c) Para todo número real x, tem-se x > 1 ou x 2 < 1. d) Para todo número real x existe um número natural n tal que n > x. e) Existe um número natural n tal que, para todo número real x tem-se n > x. 10

12 2) Considere os conjuntos abaixo: F = conjunto de todos os filósofos M = conjunto de todos os matemáticos C = conjunto de todos os cientistas P = conjunto de todos os professores a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos: i) Todos os matemáticos são cientistas. ii) Alguns matemáticos são professores. iii) Alguns cientistas são filósofos. iv) Todos os filósofos são cientistas ou professores. v) Nem todo professor é cientista. b) Faça o mesmo com as afirmações abaixo: vi) Alguns matemáticos são filósofos. vii) Nem todo filósofo é cientista. viii) Alguns filósofos são professores. ix) Se um filósofo não é matemático, ele é professor. x) Alguns filósofos são matemáticos. c) Tomando as cinco primeiras afirmativas como hipóteses, verifique quais das afirmativas do segundo grupo são necessariamente verdadeiras 3) Falso ou verdadeiro: a) {a, a, b, c} = {a, b, c} b) {a} {a, {a}} c) {{a}} {a, {a}} d) {a} = {a, {a}} e) {a} {a, {a}} 11

13 f) {a, b} {a, {a, b}} 4) Falso ou verdadeiro: a) { } b) = { } c) { } d) {{ }} e) {{ }} f) = {, { }} 5) Quantos subconjuntos tem cada um dos seguintes conjuntos a) {1} b) {1, 2} c) {1, 2, 3} d) generalize. 6) Caracterize todos os inteiros X para os quais é verdadeira a sentença aberta P (x) dada por a) Existem inteiros m e n tais que x = m 2 + n 3 b) Existem inteiros m e n tais que x = m 4 + n 6 7) Determine os seguintes conjuntos: a) Z + Z b) Z + Z a) Z + Z 8) Mostre que se B A, então a) B B A = A 12

14 b) B B A = 9) O diagrama de Venn para os conjuntos X, Y, Z decompõe o plano em oito regiões. Numere essas regiões e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas dessas regiões. (Por exemplo: X Y = 1 2) a) ( X Y ) b) ( X Y ) Z c) ( X Y ) (X Z ) d) X Y Z 10) Diga se cada uma das seguintes asserções é falsa ou verdadeira. Prove-a quando verdadeira e dê um contra-exemplo quando falsa. a) A B = A C B = C b) A B = A C B = C a) A B = A C B = C e A B = A C B = C 11) Dados A, B subconjuntos de um conjunto universo U, mostre que a) ( A) = A b) A B B A c) A = A = U d) (A B) = A B e) (A B) = A B 13

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16 Capítulo 2 Correspondências e Aplicações Definição 2.1 Sejam A e B conjuntos. Chama-se correspondência (ou relação) entre A e B a qualquer f subconjunto de A B. Exemplo 2.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. cartesiano A B vem dado por: Então o quadro do produto Assim, f A B e, portanto, f é uma corres- A/B (1,3) (1,4) 2 (2,3) (2,4) 3 (3,3) (3,4) Seja f = {(1,3),(2,4),(3,4)}. pondência. Definição 2.3 Sejam A,B,C conjuntos e sejam f A B, g B C. Então: i) Chama-se domínio de f o conjunto dom(f) = {x A; y B com (x, y) f}; ii) Chama-se imagem de f o conjunto Im(f) = {y B; x A com (x, y) f}; iii) Chama-se correspondência inversa o conjunto f 1 = {(y, x) B A; (x, y) f}; iv) Chama-se composição de f e g (e se escreve g f) à correspondência g f = {(x, z) A C; y B com (x, y) f, (y, z) g}; v) O conjunto B é chamado contradomínio de f. Nota 2.4 É bom lembrar que: 1) Se (x, y) f dizemos que y é a imagem de x pela f e denotemos esta imagem por y = f(x). Frequentemente, e de forma coloquial, a vocalização do símbolo f(x) é f de x, mas deve-se ter em mente que se trata da imagem de x pela f, e, portanto, de um elemento do contradomínio de f; 15

17 2) f f(x). De fato, f é o símbolo para a correspondência e, portanto, uma notação para o conjunto, enquanto f(x) é um elemento de B que está associado ao elemento x do domínio de f. As definições apresentadas em cada item permite fazer algum exercício de demonstrar propriedades que as articulam, e é disso que se trata a seguinte proposição. Proposição 2.5 As seguintes propriedades se verificam: i) dom(f 1 ) = Im(f) e Im(f 1 ) = dom(f) ii) (f 1 ) 1 = f iii) (g f) 1 = f 1 g 1 iv) h (g f) = (h g) f é dizer, a propriedade associativa se verifica para a operação de composição de correspondências. Demonstração. a) dom(f 1 ) = {y B x A com (y, x) f 1 } = {y B x A com (x, y) f} = Im(f) b) (f 1 ) 1 = {(x, y) A B (y, x) f 1 } = {(x, y) A B (x, y) f} = f c) (g f) 1 = f 1 g 1 (g f) = {(x, z) A C y B com (x, y) f, (y, z) g} 16

18 (g f) 1 = {(z, x) C A (y, z) g f} = {(z, x) C A y B com (x, y) f, (y, z) g} = {(z, x) C A y B com (z, y) g 1 e (y, x) f 1 } = f 1 g 1 d) Sejam A, B, C e D conjuntos e f A B, g B C, h C D. h (g f) = {(x, k) A D z C com (x, z) g f, (z, k) h} = {(x, k) A D y B e z C com (x, y) f, (y, z) g, (z, k) h} = {(x, k) A D y B com (x, y) f(y, k) h g} = (h g) f Definição 2.6 Seja f A B uma correspondência. Então: a) Diz-se que f é unívoca se x A y, z B com (x, y), (x, z) f, se tem y = z. b) Diz-se que f é biunívoca se f e f 1 são unívocas. c) Diz-se que f é uma aplicação se f é unívoca e dom(f) = A. d) Diz-se que f é injetiva se f 1 é unívoca. e) Diz-se que f é sobrejetiva se Im(f) = B. f) Diz-se que f é bijetiva se f é injetiva e sobrejetiva simultaneamente. Proposição 2.7 Sejam f : A B e g : B C aplicações. Então: a) g f é aplicação. b) f é injetiva se x, x A com f(x) = f(x ) : x = x c) Se f e g são injetivas, então g f é injetiva. d) Se f e g são sobrejetivas, então g f é sobrejetiva. e) Se f e g são bijetivas, então g f é bijetiva. 17

19 f) f é bijetiva f 1 : B A é uma aplicação. Demonstração. g f : A C a) Seja x A y B : (x, y) f, porque f é uma aplicação. y B z C. i) (y, z) g, porque g é uma aplicação. Então se verifica que (x, y) g f x dom(g f) dom(g f) = A. ii) Seja x A e sejam z, z C com (x, z), (x, z ) g f A C y, y B com (x, y), (x, y ) f e (y, z), (y, z ) g. Como (x, y), (x, y ) f, que é aplicação, y = y. Então (y, z), (y, z ) g, que é aplicação z = z. Assim, pois, g f é unívoca. Sendo g f unívoca e dom(g f) = A, g f é aplicação. b) f é injetiva f 1 é unívoca y B, x, x A com (y, x), (y, x ) f : x = x. Mas se (x, y) f y = f(x) (x, y) f y = f(x ) Então se y = f(x) = f(x ) (x, y), (x, y) f x = x. c) Sejam x, x A tal que (g f)(x) = (g f)(x ). Sendo (g f)(x) = (g f)(x ) g(f(x)) = g(f(x )). Mas g é injetiva, logo f(x) = f(x ), e por f ser injetiva, x = x. d) Seja z C. Sabemos que C é o contradomínio de g. Como g é sobre, existe algum elemento do domínio de g, que é B, digamos y B, tal que g(y) = z. Mas B é o contradomínio de f, e f é sobrejetora. Logo, existe algum elemento do domínio de f, que é A, digamos x A, tal que f(x) = g. Assim temos z = g(y) e y = f(x), portanto z = g(f(x)) = (g f)(x). Portanto g f é sobre. e) Consequência imediata de c) e d). f) f : A B f 1 : B A f é bijetiva f 1 é aplicação. 18

20 f é bijetiva f 1 é injetiva e f é sobrejetiva f é unívoca e Im(f) = B f 1 é unívoca e dom(f 1 ) = B f 1 é aplicação. EXERCÍCIOS 1) Sendo E = {a, b, c, d} e F = {1, 2, 3}, decida quais das relações abaixo são aplicações de E em F. a) R 1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} b) R 2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} c) R 3 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} d) R 4 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)} 2) Determinar todas as aplicações de E = {1, 2, 3} em F = {3, 4}. 3) Se E e F são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas são as aplicações de E em F? 4) Escrever como conjunto de pares ordenados a função f : E F tal que f(x) = 1, se x Q e f(x) = 1 se x / Q. São dados E = {0, 1, 1 2, 2, π, 7 3 } e F = { 1, 1}. 5) Seja a aplicação f : N N N tal que f(x, y) = mdc(x, y). Determinar f(5, 1), f(12, 8), f(3, 7), f(0, 5) e f(0, 0). 6) A aplicação f : R R é tal que 2x + 5, se x < 1 f(x) = x 2 1, se 1 x 1 5x, sex > 1 Determinar f(0), f( 5 3 ), f( 7 2 ), f( 2) e f( 2π 5 ). 7) Decidir em cada caso se f e g são funções iguais. a)f(x) = x2 4x+3 x 3, g(x) = x 1 e x R {3} b)f(x) = 1, g(x) = x 4 e x {1, 1, i, i} c)f(x) = x 3, x R e g(y) = y 3, y [ 1, 1] 19

21 8) Seja f : E F uma aplicação e sejam A E e B F. Provar que a) se A B, então f(a) f(b) b) f(a B = f(a) f(b) c) f(a B) f(a) f(b) d) A f 1 (f(a)) e f(f 1 (B)) B e) f é bijetora se, e somente se, f(a C ) = (f(a)) C. 9) Abaixo estão indicadas algumas aplicações de E = {a, b, c, d} em F = {0, 1, 2, 3, 4}. Quais são injetoras? a) f 1 = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 4)} b) f 2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)} c) f 3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 3), (d, 0)} d) f 4 = {(a, 3), (b, 0), (c, 0), (d, 4)} 10) Quais das seguintes aplicações de E = {a, b, c} em F = {0, 1} são sobrejetoras? a) f 1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)} b) f 2 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1)} c) f 3 = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} d) f 4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} 11) Determine todas as injeções de A = {1, 2} em B = {3, 4, 5}. 12) Determine todas as sobrejeções de A = {1, 2, 3} em B = {4, 5}. 13) Se E e F são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas são as aplicações injetoras de E em F? E quantas são as sobrejetoras? 14) Mostrar que toda aplicação injetora (sobrejetora) de um conjunto finito sobre si mesmo é também sobrejetora (injetora). 20

22 15) Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetoa as seguintes funções de R em R. a) y = x 3 b) y = x 2 5x 6 c) y = 2 x d) y = sinx e) y = x + x f) y = x ) Achar uma função f : A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo. a) A = R, B R e f injetora mas não sobrejetora. b)a R, B = R e f injetora mas não sobrejetora. c) A = R, B R e f sobrejetora mas não injetora. d)a R, B = R e f sobrejetora mas não injetora. 17) Provar que a função f : R R definida por f(x) = ax + b, com a e b constantes reais, a 0, é uma bijeção. Obter f 1. 18) Provar que a função f :] 1, 1[ R definida pela lei f(x) = x 1 x é bijetora. Definir sua inversa. 19) Sejam A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}eC = {8, 9, 0}. Seja f : A B dada por f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6. Seja g : B C dada por g(4) = 8, g(5) = 8, g(6) = 9 e g(7) = 0. Quais são os pares ordenados de g f? A função g f é injetora ou sobrejetora? 20) Sejam f, g, h funções reais definidas por f(x) = x 1, g(x) = x 2 +2 e h(x) = x+1. a) Determinar f g, f h, g h, g f, h f e h g. b) Verificar que (f g) h = f (g h). 21

23 21) Sejam as funções reais f(x) = sinx e g(x) = x. Esboçar os gráficos das compostas f g e g f. 22) Sejam f : R R e g : R R as aplicações assim definidas: { 2x + 5 se x 0 f(x) = e g(x) = 3x 2 x 2 1 se x < 0 Determinar as compostas f g e g f. 23) Determinar as compostas f g e g f, sabendo que f e g são funções de R em R tais que { { f(x) = x 2 se x < 0 2x se x 0 e g(x) = 1 x se x < x se x 1 22

24 Capítulo 3 Números Naturais 3.1 Definição formal do conjunto dos números naturais Definição 3.1 São dados i) Um conjunto N cujos elementos são chamados números naturais ii) Uma aplicação s : N N definida por s(n) = n s onde n s se chama o sucessor de n e s satisfaz os seguintes axiomas (de Peano): A1- n N n s N ( seguinte de n ) A2- s é injetora, i.e., n, m N : n m n s m s A3- N s(n) consta de um só elemento denotado por 1. Assim, existe um único elemento (número natural) que não é sucessor de nenhum outro número natural. Dito número se chama um. A4- (Princípio de Indução) Se S N é um subconjunto tal que 1 S e n S : n s S, então S = N. A4 pode ser enunciado como: Seja P uma propriedade referente a objetos de N. Se 1 satisfaz a propriedade P e, se do fato de um n N satisfazer P ser possivel demonstrar que n s satifaz P, então todos os objetos de N satisfazem essa P. Exemplo : n N n s n. Seja S = {n N : n n s }. Claro que 1 S pois 1 não é sucessor de elemento algum em particular 1 1 s. Temos que n n s, i.e. n s (n s ) s porque S é injetora.

25 Seja f : S s tal que para cada n N associamos de modo único f n : S S como segue: f 1 = f e f ns = fof n Assim se f=s 2 = 1 s 3 = 2 s 4 = 3 s f n : S S chama-se n-ésima iterada de f De tal modo que f n s = fof n Definição por indução Por S : N N e iterados de s definimos + : N N N (m, n) m + n = s n (m) portanto m + 1 = s 1 (m) = s(m) = m s m + n significa, a partir de m, iterar n vezes a operação de tomar o sucessor de m nvezes {}}{ i.e. m + n = (m) Em outras palavras m + 1 = m s = s(m) m + S(n) = S(m + n) Como S(n) = n + 1 temos m + S(n) = m + (n + 1) = (m + n) + 1 (*) 24

26 A função + chama-se adição e de cara a adição é associativa. De fato: Seja S = p N : m + (n + p) = (m + n) + p m, n N 1 S por (*) Sendo p S então m + (n + S(p)) = m + S(n + p) = S(m + (n + p)) = hip p S S((m + n) + p) = (m + n) S(p). Logo 1 S e p S; p s S S = N Propriedades formais da soma Associatividade: m + (n + p) = (m + n) + p Comutatividade: m + n = n + m Lei do corte: m + n = m + p n = p Tricotomia: Sejam m, n N exclusivamente uma das situações se verifica { m = n p N; m = n + p ou q N; n = m + q As demonstrações são feitas por indução. Relação de ordem Sejam m, n N dizemos que: a) m é menor que n, denotamos por m < n, se p N tal que m + n = p b) m é maior que n se q N tal que n + q = m * A notação m n significa que m é menor ou igual a n A relação < satisfaz: 25

27 transitividade m < n, n < p m < p tricotomia m, n N tem-se uma unica alternativa m = n m < n n < m monotonicidade da adição m < n m + p < n + p p N : (N, ) é uma ordem total Multiplicação de N N N N mvezes {}}{ (n, m) n m = n + n n Prop: M1 Associativa M2 Comutativa M3 (Elemento neutro do produto ou unidade) Definição 3.2 A se diz finito se n N e uma função f : A {1, 2,..., n} tal que f é bijetiva caso contrário se diz que A é infinito 26

28 Capítulo 4 Os números inteiros 4.1 Os números inteiros Em N Ndefinimos a seguinte relação de equivalência (n, m) (n, m ) n + m = n + m Exemplo (1, 3) (2, 4) [(n, m)] = (n, m ) N N : n + m = n + m Definição 4.1 Z = N N = {[n, m]; (n, m) N N} O n o inteiro [(1, 1)] se denota por 0 e se chama zero. *Se [(n, m)] e n > m, se escreve K = n m N i.e. k N : n = k + m. A classe [(n, m)] se denota K n m *Se [(n, m)] e n < m i.e. k N : m = k + n A classe [(n, m)] se denota K Operações em Z 1-Soma +: Z Z Z [(n, m)], [(n, m )] [(n, m)] [(n, m )] = [n + n, m + m ] 27

29 exemplo: ( 2) + 5 = 3 [(1, 3)] + [(6, 1)] = [(7, 4)] = 3 Prop: associativa comutativa elemento neutro (n, m) o o oposto, [(n, m )] : [(n, m)] + [(n, m )] = 0 Nota (Z, +) é um grupo 2-Produto Z Z Z [(n, m)], [(n, m )] [(n, m)] [(n, m )] = [(n n + m m, n m + n m)]. Ex: ( 3) ( 5) = 15 [(1, 4)] [(1, 6)] = [(25, 10)] Prop: associativa comutativa elemento neutro [(2, 1)] [(n, m)] [(2, 1)] = [n, m] a menos de 1 e -1 os outros inteiros não possuem inverso em (Z, ) 28

30 Relação soma - produto Distributiva ([(n, m)] [(n, m )]) [(n, m )] = [(n, m)] [(n, m )] + [n, m ] [(n, m )] Relação de ordem [(n, m)] < [(n, m )] n + m < m + n [(n, m)] > [(n, m )] n + m > m + n [(n, m)] = [(n, m )] n + m = m + n Ex: a) [(3, 1)] < [(7, 2)] já que 5 < 8 b) [(1, 2)] < [(2, 2)] já que 3 4 Relação de ordem - operações 1) [(n, m)] [(n, m )] e [(n, m )] Z [(n, m)] + [(n, m )] [(n, m )] + [(n, m )] 2)(a) n > m [(n, m)] [(n, m )] [(n, m )] (b) n = m [n, m] [1, 1] = [(1, 1)] [(n, m)] [(1, 1)] = [(1, 1)] 29

31 (b) n < m [(n, m)] [(n, m )] [(n, m )] [(n, m )]. os números do tipo [(n, m)] com n > m são chamados os +(positivos), os outros diferentes de [(n, n)] os -(negativos) Z = Z + 0 Z Nota: Z é enumerável i.e. existe uma bijeção f : Z N N Z Definição 4.2 Dados a, b Z se diz que i) a divide b, a b (a é divisor de b, b é múltiplo de a) se k Z : b = k a ii) Se n N, n > 1 se diz que n é primo se os únicos divisores de n em N são 1 e n. Sejam m, n N se diz m.d.c (n, m) ao maior divisor comum em N { n = 98 Div(98) = {7, 2}, 98 = m = 21 Div(21) = {7, 3}, 21 = 7 3 m.d.c (98, 21) = 7 Nota: m.d.c sempre existe A = {k N k n, k m}a, 1 A e está limitado superiormente por min{n, m} d N Prop: d = m.d.c(n, m) d n e d m se k n e k m k d n, m N se dizem primos entre si se m.d.c(n, m) = 1 30

32 Teorema 4.3 (Identidade de Bezoot) Dados n, m N. se existem k 1, k 2 Z tal que d = k 1 n + k 2 m, se cumpre que d = m.d.c(n, m) Exemplo: m.d.c(98, 21) = 7 7 = k k = Lema de Euclides Se k n m e m.d.c(k, m) = 1 k n Dem Pela identidade de Bezoot k 1 k 2 Z 1 = k 1 k + k 2 n d Z tal que n m = d k pois k n m m = k 1 m k + k 2 m n (m m por m) m = k 1 m k + k 2 d k m = (k 1 m + k 2 d)k k m COROLÁRIO Se p N primo e p n m p n ou p m Dem usar o lema de Euclides Todo n o n > 1 pode se decompor de maneira única (salvo de ordem de fatores) como produto de números primos Dem por indução Teorema de Euclides Existem infinitos (enumerável) números Primos Dem N N A = {P 1, P 2,..., P n } todos os números primos. Seja P = P 1 P 2... P n

33 { p não pertence a A p > p j j mas p é primo, caso contrário p = produto de primos A(p k está entre eles) p k p mas p = p 1... p k... p n + 1 p k 1 (absurdo!) n m n m } n k 1 m + k 2 m 32

34 Capítulo 5 Números Racionais Z = {n Z : n 0} Em Z Z definimos: (n, m) (n, m ) se nm = mn : é uma relação de equivalência Exemplo (7, 3) ( 14, 6) 7 6 = ( 3) ( 14) [(n, m)] = {(n, m ) Z Z : n m = m n } Q = Z Z Representante canônico de uma classe : Fração irredutivel n Z m{ Z n se n 0 n se n < 0 N {0} n = p n pn k k m = q m qm e e [(n, m)] = [(n, m )] onde simplificamos os fatores comuns. Teorema 5.1 Q é enumerável

35 Idéia , , ,... Se consigo um caminho que toque os números uma só vez, consegui numerá-los construindo uma aplicação bijetiva Operações em Q Q = Z Z = {[(n, m)] : n Z, m Z } n m = [(n, m)] = {(n, m ) : nm = mn } SOMA + : Q Q Q [(n, m)] + [(n, m )] [(n m + m n, m m )] n m + n m = n m +n m m m PRODUTO Q Q Q [(n, m)], [(n, m )] [(n n, m m )] Nota 5.2 (Q, +, ) tem estruturas algébricas que o identificam como um corpo. Um corpo é um anel em que cada elemento é invertível com respeito à multiplicação, e 1 é o elemento neutro da multiplicação. Definição 5.3 Dizer que um conjunto X não vazio munido de duas operações + soma, e multiplicação, é um anel é afirmar que i) (X, +) é um grupo abeliano; ii) ( ) é associativa e ( ) é distributiva em relação à (+), tanto à direita quanto à esquerda. 34

36 iii) Se em X há um elemento neutro com respeito à ( ), o anel se diz unitário, com unidade, ou com identidade, e que denotamos por 1 ou por 1 X. Definição 5.4 O par (X, +) é um grupo se + satisfaz: i) associatividade ii) elemento neutro, denotado por 0, tal que x + 0 = 0 + x = x, x X. iii) x X y X elemento simétrico, ou oposto de x, denotado por y=-x, tal que x + y = y + x = 0 iv) Se, além disso, x + y = y + x, x, y X então o grupo é dito grupo comutativo, ou abeliano. As operações de adição e de multiplicação definidas em Q são tais que (Q, +, ) é um corpo. Para elemento neutro e inverso basta considerar: como elemento neutro da multiplicação o número racional [(1, 1)] Exemplo: [(n, m)] [(1, 1)] = [(n, m)] e para [(n, m)] [(0, 1)] inverso de [(n, m)], i.e., existe [(m, n)] Q, tal que [(n, m)] [(m, n)] = [(1, 1)]. As outras propriedades são todas facilmente verificadas. Outro fato interessante é que o conjunto dos números racionais é ordenado. Basta considerar o seguinte fato. Def [(n, m)] [(n, m )] se (sendo n m n m m, m N ) n m m n (ordem definida em Z) (Q, ) é uma ordem TOTAL. (Sempre um número é menor ou igual ao outro) Compatibilidade da ordem e da soma 35

37 Sejam [(n, m)], [(n, m )] Q tais que [(n, m)] [(n, m )]. Para [(n, m )] Q tem-se [(n, m)] + [(n, m )] [(n, m )] + [(n, m )]. Compatibilidade da ordem e do produto Sejam [(n, m)], [(n, m )] Q tais que [(n, m)] [(n, m )]. Se [(n, m )] [(0, 1)], então [(n, m)] [(n, m )] [(n, m )] [(n, m )]; e se [(n, m )] [(0, 1)], então [(n, m)] [(n, m )] [(n, m )] [(n, m )]. 36