Funções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição

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1 Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 07 Aula 9 Matemática Básica 1 Aula 9 Matemática Básica 2 O que é uma função? O que é uma função? Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x em um conjunto D faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x) em um conjunto C. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. x f (x) =2 x Aula 9 Matemática Básica 3 Aula 9 Matemática Básica 4

2 : a projeção estereográfica Folha 2 Axiomas de Peano N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes propriedades: (a) Todo número natural tem um único sucessor. (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro. (d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números naturais. Se 1 X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N. A função sucessor no conjunto dos números naturais: s : N N n s(n) =sucessor de n = n + 1 A Projeção Estereográfica F: S {N} π P F(P) =Q Aula 9 Matemática Básica 5 Aula 9 Matemática Básica 6 : avaliando funções Lembram-se dos diagramas de Venn? x f (x) =2 x f (0) =0, f (2) =4, f (a + b) =2 (a + b), f ( ) =2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. D C Aula 9 Matemática Básica 7 Aula 9 Matemática Básica 8

3 Lembram-se dos diagramas de Venn? Uma outra representação para funções Folha 3 (entrada) (saída) (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 9 Aula 9 Matemática Básica 10 Cuidado! f : D C x = f (x) Aqui x é um número real no domínio D! Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) C chama-se o valor assumido pela função f no ponto x D. Aqui f é uma função real que a todo número real x no domínio D associa um único número real f (x) no contradomínio C! O correto é dizer a função f e não a função f (x) (ou a função = f (x) ). Contudo, por simplicidade, livros e pessoas costumam usar as formas incorretas. : dizer a função = 2 x ao invés de a função tal que = f (x) =2 x. A Imagem de Uma Função Aula 9 Matemática Básica 11 Aula 9 Matemática Básica 12

4 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? Folha 4 x f (x) =2 x Aula 9 Matemática Básica 13 Aula 9 Matemática Básica 14 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? x f (x) =2 x 1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) =1! x f (x) =2 x 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) =2! Aula 9 Matemática Básica 15 Aula 9 Matemática Básica 16

5 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? Folha 5 x f (x) =2 x 3 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 3/2) = 3! x f (x) =2 x b R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) =b! Aula 9 Matemática Básica 17 Aula 9 Matemática Básica 18 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? x f (x) =2 x Moral: Imagem de f = R! x f (x) =x 2 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 2)=2! Aula 9 Matemática Básica 19 Aula 9 Matemática Básica 20

6 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? Folha 6 x f (x) =x 2 Temos que f ( 2)=2. Note, também, que f ( 2)=2. x f (x) =x 2 Para que Imagem de f basta um x D tal que f (x) =! Aula 9 Matemática Básica 21 Aula 9 Matemática Básica 22 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? x f (x) =x 2 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) =0! x f (x) =x 2 1 pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0e 1 < 0! Aula 9 Matemática Básica 23 Aula 9 Matemática Básica 24

7 O que é a imagem de uma função? O que é a imagem de uma função? Folha 7 x f (x) =x 2 b 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( b)=b! x f (x) =x 2 b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0eb < 0! Aula 9 Matemática Básica 25 Aula 9 Matemática Básica 26 O que é a imagem de uma função? Determinar a imagem de uma função pode ser difícil! Qual é a imagem da função f abaixo? x f (x) =x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Imagem de f = ( ) ( ) 3 ( ) 2, x f (x) =x 2 Moral: Imagem de f =[0, + )! = [ , + ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Aula 9 Matemática Básica 27 Aula 9 Matemática Básica 28

8 Domínio e imagem naturais de uma função Folha 8 Convenção Domínio e Imagem Naturais (Efetivos) de Uma Função Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. : f (x) = 1 x. O domínio natural de f é D = R {0}. Aula 9 Matemática Básica 29 Aula 9 Matemática Básica 30 Domínio e imagem naturais de uma função Domínio natural de uma função Convenção Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. Atenção: aqui, o termo domínio natural não significa que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais! Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > x 4? Resposta: o domínio natural de f é x > 2. D = {x R x > 2} =]2, + [ = (2, + ) Aula 9 Matemática Básica 31 Aula 9 Matemática Básica 32

9 Exercício Exercício Folha 9 Qual é o domínio natural de f (x) = 1 x 3 x? Qual é o domínio natural de f (x) = x 6 x 1? x 3 x 0 x(x 2 1) 0 x(x 1)(x+1) 0 x 0ex 1ex x 6 x 1 > 0 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Resposta: o domínio natural de f é Sinal de x D = {x R x 0ex 1ex 1} = R { 1, 0, 1}. Sinal de x Sinal de (x 5)/(x 1) 1 D = {x R 1 < x < 5} =(1, 5). 5 Aula 9 Matemática Básica 33 Aula 9 Matemática Básica 34 O que é o gráfico de uma função real? Gráfico de Uma Função Real Aula 9 Matemática Básica 35 Aula 9 Matemática Básica 36

10 O que é o gráfico de uma função real? O que é o gráfico de uma função real? Folha 10 O gráfico de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos (x, ) R 2 tais que x D e = f (x): Gráfico de f = {(x, ) R 2 x D e = f (x)}. (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 37 Aula 9 Matemática Básica 38 Como construir o gráfico de uma função real? Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente! para se construir gráficos de funções! Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadas para se construir gráficos de funções! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto! Aula 9 Matemática Básica 39 Aula 9 Matemática Básica 40

11 Folha 11 Aula 9 Matemática Básica 41 Aula 9 Matemática Básica 42 Gráficos de funções gerais Toda função f : D C possui um gráfico: gráfico de f = {(x, ) D C = f (x)}. Por exemplo, o gráfico da função f: [0, 6 π] R 2 t (x, ) =f(t) =(cos(t), sen(t)) gráfico de f = {(t, x, ) R 3 t [0, 6 π] e (x, ) =(cos(t), sen(t))}. é t Funções monótonas 0 x Aula 9 Matemática Básica 43 Aula 9 Matemática Básica 44

12 Função crescente Funções decrescente Folha 12 Dizemos que uma função f : D C é crescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ). Dizemos que uma função f : D C é decrescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ). f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 x x 1 x 2 x Aula 9 Matemática Básica 45 Aula 9 Matemática Básica 46 Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). f (x 2 ) f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 1 ) x 1 x 2 x x 1 x 2 x Aula 9 Matemática Básica 47 Aula 9 Matemática Básica 48

13 Funções monótonas não-crescentes Funções monótonas não-crescentes Folha 13 Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 x x 1 x 2 x Aula 9 Matemática Básica 49 Aula 9 Matemática Básica 50 Observações Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente, decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescente neste conjunto. Observações Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descrita na figura abaixo não é monótona no conjunto S =[ 1, 4]. Contudo, ela é monótona em [ 1, 0], em[0, 1], em[1, 3] eem[3, 4]. Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótona não-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em um conjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto. 40 Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentes simplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas nãocrescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, que negar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto S não implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescente neste conjunto. Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela é crescente ou ela é decrescente neste conjunto x Aula 9 Matemática Básica 51 Aula 9 Matemática Básica 52

14 Mostre que a função = f (x) =x 2 é crescente no intervalo S =[0, + ). Demonstração. Sejam x 1, x 2 S =[0, + ), com x 1 < x 2. Com estas condições, vale que x 2 > 0e x 2 x 1 > 0. Como x 1 0ex 2 > 0, segue-se que x 2 + x 1 > 0. Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temos que (x 2 x 1 )(x 2 + x 1 ) > 0. Sendo assim, e, consequentemente, x 2 2 x 2 1 > 0 x 2 2 > x 2 1, isto é, f (x 2 ) > f (x 1 ). Mostramos então que x 1, x 2 S, x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ). Logo, f é uma função crescente em S. Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! Em quais intervalos a função f abaixo é crescente? x f (x) = 2x x f é crescente nos intervalos (, 1 ] 1 (ln(2)) 2 ln(2) =(, ] e [ 1+ 1 (ln(2)) 2 ln(2), + ) =[ ,+ ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Folha 14 Aula 9 Matemática Básica 53 Aula 9 Matemática Básica 54 Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! x f (x) = 2x x Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas x 1 Aula 9 Matemática Básica 55 Aula 9 Matemática Básica 56

15 Funções injetivas Funções injetivas Folha 15 Dizemos que f : D C é injetiva se elementos diferentes de D são transformados por f em elementos diferentes em C, isto é, se x 1, x 2 D, com x 1 x 2, tem-se f (x 1 ) f (x 2 ). Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D C é injetiva se x 1, x 2 D, com f (x 1 )=f(x 2 ), tem-se x 1 = x 2. (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 57 Aula 9 Matemática Básica 58 Funções injetivas Funções injetivas (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 59 Aula 9 Matemática Básica 60

16 Exercício Folha 16 Mostre que a função definida por = f (x) =2 x + 1 é injetiva. Demonstração. Sejam x 1, x 2 R tais que f (x 1 )=f(x 2 ). Temos que f (x 1 )=f(x 2 ) 2 x = 2 x x 1 = 2 x 2 x 1 = x 2. Mostre que a função f :[0, + ) R definida por = f (x) =x 2 é injetiva. Demonstração. Sejam x 1, x 2 R tais que f (x 1 )=f(x 2 ). Temos que f (x 1 )=f(x 2 ) x1 2 = x 2 2 x1 2 x 2 2 = 0 (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 )=0. Assim, x 1 x 2 = 0oux 1 + x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2 ou x 1 = x 2. No caso em que x 1 = x 2, como x 1 0ex 2 0, concluímos que obrigatoriamente x 1 = 0ex 2 = 0. Em particular, x 1 = x 2. Outra demonstração. sejam x 1, x 2 [0, + ), com x 1 x 2. Então x 1 < x 2 ou x 2 < x 1. Como f é crescente em [0, + ), segue-se que f (x 1 ) < f (x 2 ) ou f (x 2 ) < f (x 1 ). Nos dois casos, f (x 1 ) f (x 2 ). Aula 9 Matemática Básica 61 Aula 9 Matemática Básica 62 Funções sobrejetivas Funções sobrejetivas Dizemos que f : D C é sobrejetiva se sua imagem é igual ao seu contradomínio, isto é, se para todo C, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento x D tal que f (x) =. (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 63 Aula 9 Matemática Básica 64

17 Funções sobrejetivas Folha 17 Mostre que a função definida por = f (x) =2 x + 1 é sobrejetiva. Demonstração. Seja R. Observe que f (x) = 2 x + 1 = 2 x = 1 x = 1 2. Assim, x =( 1)/2 R é tal que f (x) =. Isto mostra que f é sobrejetiva. (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 65 Aula 9 Matemática Básica 66 Atenção! Funções bijetivas Mostrar que a função f :[0, + ) [0, + ) definida por = f (x) =x 2 é sobrejetiva é bem mais complicado! Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade, que será visto em Cálculo I -A-. Dizemos que f : D C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva. Aula 9 Matemática Básica 67 Aula 9 Matemática Básica 68

18 Funções bijetivas x f (x) =2 x + 1 é bijetiva. Funções bijetivas x f (x) =x 2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva. Folha 18 0 x 0 x Aula 9 Matemática Básica 69 Aula 9 Matemática Básica 70 Funções bijetivas f : R [0, + ) x f (x) =x 2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva). Funções bijetivas f : [0, + ) [0, + ) x f (x) =x 2 é bijetiva. 0 x 0 x Aula 9 Matemática Básica 71 Aula 9 Matemática Básica 72

19 Composição de funções Folha 19 Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: Composição de funções (f g)(x) =f (g(x)). Aula 9 Matemática Básica 73 Aula 9 Matemática Básica 74 Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: (f g)(x) =f (g(x)). Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que C g D f. A composição de f e g é a função f g : D g C f definida por: (f g)(x) =f (g(x)). (entrada) (saída) (entrada) (saída) Aula 9 Matemática Básica 75 Aula 9 Matemática Básica 76

20 Folha 20 f (x) =x 2 + 3, g(x) = x. f (x) =x 2 + 3, g(x) = x. (f g)(x) =f (g(x)) = f ( x)=( x) = x + 3. (g f )(x) =g(f (x)) = g(x 2 + 3) = x Aula 9 Matemática Básica 77 Aula 9 Matemática Básica 78 Identificando composições f (x) =x 2 + 3, g(x) = x. h(x) =(x 2 + 1) 10 =(f g)(x) (f g)(x) =x + 3, (g f )(x) = x onde Moral: (em geral) f g g f. A operação de composição de funções não é comutativa! f (x) =x 10 e g(x) =x Aula 9 Matemática Básica 79 Aula 9 Matemática Básica 80

21 Identificando composições Identificando composições Folha 21 h(x) =tg(x 5 )=(f g)(x) h(x) = 4 3 x =(f g)(x) onde onde f (x) = tg(x) e g(x) =x 5. f (x) = x e g(x) =4 3 x. Aula 9 Matemática Básica 81 Aula 9 Matemática Básica 82 Identificando composições Identificando composições h(x) =8 + x =(f g)(x) h(x) =1/(x + 1) =(f g)(x) onde onde f (x) =8 + x e g(x) = x. f (x) =1/x e g(x) =x + 1. Aula 9 Matemática Básica 83 Aula 9 Matemática Básica 84

22 Funções inversíveis Folha 22 Dizemos que uma função f : D C é inversível se existe função g : C D tal que Funções inversíveis e (g f )(x) =g(f (x)) = x, para todo x D (f g)(x) =f (g(x)) = x, para todo x C. Neste caso, dizemos que g éainversa de f e escreveremos: g = f 1. Aula 9 Matemática Básica 85 Aula 9 Matemática Básica 86 Aula 9 Matemática Básica 87 Aula 9 Matemática Básica 88

23 A função f : D = R C = R x = f (x) =2 x + 1 é inversível, pois g : C = R D = R x = g(x) =(x 1)/2 Cuidado Cuidado! f 1 (x) e (f (x)) 1 denotam objetos diferentes! Folha 23 é tal que (g f )(x) =g(f (x)) = g(2 x + 1) =((2x + 1) 1)/2 = x, x D = R e (f g)(x) =f (g(x)) = f ((x 1)/2) =2((x 1)/2)+1 = x, x C = R. Podemos então escrever que f 1 (x) =g(x) =(x 1)/2. f 1 (x) é a função inversa de f calculada em x. (f (x)) 1 é igual a 1/f (x). No exemplo anterior, f 1 (x) =(x 1)/2, enquanto que (f (x)) 1 =(2x + 1) 1 = 1/(2 x + 1). Aula 9 Matemática Básica 89 Aula 9 Matemática Básica 90 Proposição Proposição f : D C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva, isto é, se, e somente se, 1. f é injetiva: se x 1 D, x 2 D e x 1 x 2, então f (x 1 ) f (x 2 ) e, ao mesmo tempo, 2. f é sobrejetiva: para todo C, existe pelo menos um x D tal que f (x) =. Demonstração: ( ) Se f : D C é inversível, então existe uma função g : C D tal que x D, (g f )(x) =g(f (x)) = x e x C, (f g)(x) =f (g(x)) = x. Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x 1, x 2 D tais que x 1 x 2 e f (x 1 ) = f (x 2 ). Mas, se f (x 1 ) = f (x 2 ), então g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )), isto é, x 1 = x 2, uma contradição. Assim f : D C é injetiva. Seja C. Sex = g(), então f (x) =f (g()) =. Isso mostra que f : D C é sobrejetiva. Como f : D C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D C é bijetiva. Aula 9 Matemática Básica 91 Aula 9 Matemática Básica 92

24 Demonstração: ( ) Como f : D C é sobrejetiva, para todo C, existe x D tal que f (x) =. Mais ainda: como f é injetiva, esse x é único. Considere então a função g : C D definida por g() = x = o único elemento de D tal que f (x) =. Observe que g(f (x)) = g() =x, x D e f (g()) = f (x) =, C. Sendo assim, f é inversível e sua inversa é f 1 = g. Observações Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácil seja com a definição, seja com a proposição anterior. Folha 24 A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar se uma função é inversível (localmente). Aula 9 Matemática Básica 93 Aula 9 Matemática Básica 94 O gráfico da função inversa O gráfico da função inversa Seja f uma função real inversível. Se f (1) =2, então f 1 (2) =1. Assim, o ponto (1, 2) pertence ao gráfico de f e (2, 1) pertence ao gráfico de f 1. Se f (2) =3, então f 1 (3) =2. Assim, o ponto (2, 3) pertence ao gráfico de f e (3, 2) pertence ao gráfico de f 1. Se f (x) =, então f 1 () =x. Assim, o ponto (x, ) pertence ao gráfico de f e (, x) pertence ao gráfico de f 1. (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Matemática Básica 95 Aula 9 Matemática Básica 96

25 O gráfico da função inversa Folha 25 Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa? Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e, os gráficos de f e f 1 são simétricos com relação a reta = x. Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e, o gráfico da inversa f 1 é obtido fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta = x. Aula 9 Matemática Básica 97