Teoria Ingênua dos Conjuntos (naive set theory)

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1 Teoria Ingênua dos Conjuntos (naive set theory) MAT II Pouya Mehdipour 5 de outubro de 2018 Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

2 Referências ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática, Nobel, ROSEN, K. H, Matematica discreta e sua aplicações, sexta edição, AMGH Editora, Ltd, 2010 ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel, DOMINGUES, H.H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4a Edição. Atual Editora, SÉRATES, J., Raciocínio Lógico, vol 1, Olímpica Ltda, Brasília, Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

3 Historicamente G. CANTOR ( ) B. RUSSELL ( ) J. VENN ( ) R. DESCARTES ( ) N. SLOANE (BORN 1939) D. HILBERT ( ) Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

4 Conjuntos A teoria dos conjuntos é um ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que informalmente são conjuntos de objetos. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os objetos matemáticos. Definição: Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos, chamados elementos ou membros do conjunto. Nós escrevemos um a A para denotar que "a pertence ao conjunto A. notação a / A denota que "a não pertence ao conjunto A. (G.Peano ) É comum que os conjuntos sejam indicados usando letras maiúsculas. Letras minúsculas são geralmente usado para denotar elementos de conjuntos. Em matemática usualmente usamos uma notação em que todos os membros do conjunto estão listados entre chaves. Nos exemplos veremos maneiras de definir conjuntos. Exemplo: (Forma Listada/Analítica/Tabular/Por enumeração/por extensão.) O conjunto A de inteiros positivos menores que 100, denotado por A = {1, 2,, 99}. Exemplo: (Forma Construtiva/Sintética/Por propriedad commun/por compreensão) O conjunto B de todos os inteiros positivos ímpares menores que 10, denotado por B = {x Z + x é impar e x < 10} Ou {x x Z + x é impar e x < 10}. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

5 Conjuntos Exemplo: Obs: Existem Z, Q, R, Z, Q,R, Z +,... Exemplo: Liste os membros desses conjuntos: 1){x R x 2 = 1}, 2){x Z x é quadrado, x < 100}; 3){x N x é primo, x < 20}. Exemplo: Use a notação construtiva : 1){0, 3, 6, 9, 12, 15}; 2){ 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3}; 3){ 5, 25, 125,...}. Obs: um conjunto pode ter finitos elementos ( A = n, "cardinalidade finita") ou infinitos elementos ou não seja enumerável (não pode listar os seus elementos). Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

6 Conjuntos Exemplo: Obs: Os conjuntos de cima em R chama-se intervalos limitados. Existem intervalos infinitos em R também. Família de Conjuntos Um conjunto cujos elementos também são conjuntos, diz-se uma família de conjuntos ou coleção de conjuntos. Exemplo: O conjunto G = {{2}, {3, 4}, {5, 1}}, é um família de conjuntos cuja elementos são {2}, {3, 4} e {5, 1}. Exemplo: O conjunto F = {0, {2}, {3, 4}, N, 5, 3}. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

7 Conjuntos Vazio, Conjunto Vazio Existe um conjunto especial que não possui elementos. Esse conjunto é chamado de conjunto vazio ou conjunto nulo, e é denotado por. O conjunto vazio também pode ser denotado por {}. Exemplo: {x R x 2 < 0.} =. Pergunta: Qual é diferença entre {} e { }? Conjunto Unitário Um conjunto com um elemento é chamado de conjunto Unitário. Conjunto Universo Um Conjunto Universo U é uma classe que contem (como elementos) todas as entidades que se deseja considerar em uma certa situação. Exemplo: R, Z, Q +. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

8 Igualidade / Subconjunto Subconjuntos O conjunto A é um subconjunto de B se e somente se cada elemento de A também for um elemento de B. Usamos a notação A B. Portanto, A B se e somente se x(x A x B). Exemplo: A = {n 2n é par} e B = {n n é par.} Conjuntos Iguais Dois conjuntos são iguais se e somente se eles tiverem os mesmos elementos. Portanto, se A e B são conjuntos, então A e B são iguais se e somente se A B e B A ou seja, x(x A x B). Nós escrevemos A = B. Obs: Para mostrar que A não é um subconjunto de B precisamos apenas encontrar um elemento x A com x / B. (Escrevemos A B.) Exemplo: {n 2n é par} = Z = {n 2n + 2 é par.} Exercício: Quais conjuntos são iguais: 1){, { }} e { }, 2) {1, 4, 3} e {1, 1, 3, 4, 3, 4, 4}. Exercício: Definam em linguagem matemática o A B, para A e B dois conjuntos quaisquer. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

9 Subconjuntos Trivíais/ Estrito Teorema 1 Para todo conjunto S, i) S, ii)s S. Subconjunto Estrito Para dois conjuntos A, B pode acontecer que um deles por exemplo A é subconjunto de Outro (B) mas A B. Nesse caso escrevemos A B, ou seja, x(x A x B) x(x B x / A). Exemplo: Seja A = {, {a}, {b}, {a, b}} e B = {x xé subconjunto de {a, b}}. Exemplo: Seja A = {, {a}, {a, b}} e B = {x xé subconjunto de {a, b}}. Exercícios: 1 ao 11 da lista-intermat/ 5 ao 11 do Livro Rosen seção 2.1 / 2 ao 9 do Livro Alencar Filho, Capítulo 2. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

10 Diagrama de Venn Os conjuntos podem ser representados graficamente usando diagramas de Venn, nomeados em homenagem ao matemático inglês John Venn, que introduziu seu uso em Nos diagramas de Venn, o conjunto universal U, que contém todos os objetos em consideração, é representado por um retângulo. Dentro deste retângulo, círculos ou outras figuras geométricas são usadas para representar conjuntos. Às vezes, pontos são usados para representar o elementos particulares do conjunto. Representem Seguintes conjuntos, usando diagrama de Venn: Exemplo: A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, f, g}. Exemplo: A = {n : n Z} e C = {x x Q}. Exemplo: B = {n : n é ímpar} e C = {n : n é par}. Exercicio 1: Para A e B quaisquer, representem usando diagrama de Venn: 1)B A,2) B A, 3)A B e B C. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

11 Conjunto das Partes Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S é o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto S e é indicado por P (S). Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {0, 1, 2}. Determinamos P (S) e P (Q). Exemplo: Qual conjunto das partes do? Qual conjunto das partes do { }? Teorema 2 Conjunto das partes de um conjunto S com n elementos tem 2 n elementos. (Prova: Usar a fórmula de cálculo de combinações) Exercicio 2,3: Demonstrem, Lema 1: Para dois conjuntos finitos A e B, se A = B, então A = B.(são equipotentes/ equicardinais, i.e. com mesmo número dos elementos.) Lema 2: Para dois conjuntos quaisquer A e B, se A B, então A < B. Lema 3: Para dois conjuntos quaisquer A e B, se A B, então P (A) P (B). Exercixio 4: Demonstrem se é verdade a seguinte proposição: Proposição 1: Se dois conjunto A e B tem mesma conjunto das partes, então A = B. Exercícios: 11 ao 14 da lista-intermat/ 10 ao 22 do Livro Rosen seção 2.1 Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

12 Operações com Conjuntos União de conjuntos Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A união dos conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A ou B ou em ambos: A B = {x x A x B.} Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {b, c, e}. Determinamos S Q. Exemplo: Seja A = e B = { } Determinamos A B. Interseção de Conjuntos Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A união dos conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém os elementos que estão em ambos A e B: A B = {x x A x B.} Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e, f} e Q = {b, c, a, e}. Determinamos S Q. Exemplo: Seja A = e B = { } Determinamos A B. Def: Conjuntos A e B diz-se disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio. Proposição 2: Se A e B finitos e disjuntos, entao A B = A + B e A B = 0. Exercicio 5: Determinem se 1) A = {x x é primo par} e B = {x x é primo impar} e, 2)A = {x x R x é racional} e B = {x x R x é irracional} são disjuntos. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

13 Operações com Conjuntos Diferençã entre Conjuntos Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A diferença entre conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A mas não estão em B: A B = {x x A x / B.} Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {b, c, e}. Determinamos S Q. Exemplo: Seja A = e B = {, {}} Determinamos A B. Complemento de um Conjunto Seja A um qualquer e U conjunto universo. O complemento de Conjunto A indicado por Ā (ou Ac, ou C U (A), ou A ), é o complimento de A em relação de U. Em outros palavras, C U (A) = U A. Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e, f} e Q = {b, c, a, e}. Determinamos C S(Q). Exemplo: Seja A = {x x Z e x < 10} e B = {x x Z e x é primo <10 } Determinamos C A(B) e C B(A). Exercicio 6: Seja C = {x x Z, x é divisor de 5} e B = {x x Z x é multiplo de 5}, determinem C B(C). Exercicio 7: Determinem a A B com A = {x x é primo} e B = {x x é impar}. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

14 Operações com Conjuntos/ Exercicios Exercicio 8: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U), Demonstrem Teorema 3: Se A B, então C U (B) C U (A). Exercicio 9: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U), Demonstrem Lema 4: C U (U) =. Exercicio: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U), Demonstrem Lema 5: C U ( ) = U. Exercicio 10: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U), Demonstrem Lema 6: C U (C U (A)) = A. Exercicio 11-12: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U), Demonstrem Teorema 4: A B = A B c. Lema 7: A = A, e (A ) c = A U =. Exercicio 13: Demonstrem, Lema 8: A B = A + B A B. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

15 Operações com Conjuntos Identidade de Conjuntos Exercicio 12: Demonstrem os Leis de Demorgan para conjuntos. Exercicios: 1 a 20 do Rosen, seção 2.2- lista intermat: 13 a 23. Tabela Pertinência Definir identidades também pode ser provado usando tabelas de pertencia. Para indicar que um elemento está em um conjunto, um 1 é usado e para indica que um elemento não está em um conjunto, um 0 é usado. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

16 Tabela Pertinência Obs: "1"significa que elemento pertence e "0"significa que elemento não pertence. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

17 Operação com Conjuntos Diferença Simetrica entre Conjuntos A diferença simetrica entre conjuntos, é A B = (A B) (B A). Teorema 5: Dado A, B conjuntos quaisquer, A B = (A B) (A B). Exercicio 14: Demonstrem que Proposição 3: Dado conjuntos A e B, A B e A são disjuntos. Exercicio 15: Demonstrem pelo tabela de pertinência: 1) propriedades de Distributiva e Associativa para conjuntos, 2) A B = B A, 3) A (B C) = (A B) C. Exercicio 16: Determinem 1)A, 2)A U,3) A A,4)A A. Exercicio 17: Demonstrem A (B C) = (A B) (A C). Exercicio 18: Demonstrem A (B C) = Ā ( B C). Exercicio 19: Demonstrem, 1)A B, então A B = B e A B = A; 2)A B A e A B B, 3)A A B e B A B. Exercicio 20: Demonstrem A C e B C, entao A B C. Exercicio 21: Demonstrem Propriedades de absorção. Exercicio 22: Usando Ex 16, demonstrem A (B C) = (A B) (A C). Exercicio 23: Resolve Ex 16 para união e use-o para demonstrar que A (B C) = (A B C) (A c B C). Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

18 Representação Computacional de Conjuntos Suponha que o conjunto universal U é finito. Primeiro, especifique um ordenamento arbitrário dos elementos de U, por exemplo, {a 1, a 2,, a n}. Represente um subconjunto A de U com a cadeia de bits de comprimento n, onde o ith bit nesta cadeia é 1 se a i pertence a A e é 0 se a i não pertence a A. Exemplo: Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e a ordenação dos elementos de U tem os elementos em ordem crescente; isto é, um i = i. Que bit strings representam o subconjunto de todos os inteiros ímpares em U, o subconjunto de todos os inteiros pares em U e o subconjunto de inteiros não excedendo 5 em U? Exemplo: As seqüências de bits para os conjuntos {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} são e , respectivamente. Use cadeias de bits para encontrar a união e a interseção desses conjuntos. Exercicio 24: Seja U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Encontrem o conjunto especificado por cada uma dessas cadeias de bits. 1) A= , 2) B= , 3) C= Exercicio 25: Qual é a seqüência de bits correspondente à diferença de conjuntos A B e C B? Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

19 Uniões e Interseções Generalizadas Defenição A união de uma coleção de conjuntos é o conjunto que contém os elementos que são membros de pelo menos um conjunto na coleção. Denotada por A 1 A 2 A n = n A i. A interseção de uma coleção de conjuntos é o conjunto que contém os elementos que são membros de todos os conjuntos na coleção. Denotada por A 1 A 2 A n = i=1 n A i. Obs: Podemos estender a notações que introduzimos para outras famílias de conjuntos, por exemplo A 1 A 2 = i=1 Ai ou A1 A2 = i=1 Ai. Em geral tem, i I Ai = {x i i, x Ai}, i I Ai = {x i i, x Ai}. Exemplo: Seja A i = {i, i + 1, i + 2, },então n i=1 Ai =? e n Exemplo: Seja B i = {1, 2, 3,, i}, então i=1 Bi =? e i=1 i=1 i=1 Ai =? Bi =? Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

20 Tuplas ordenadas, produto Cartesiano Defenição A n-tupla ordenada (a 1, a 2,..., a n) é a coleção ordenada que tem a 1 como seu primeiro elemento, a 2 como seu segundo elemento,... e a n como seu enésimo elemento. Duas n-tuplas ordenadas são iguais se, e somente se, cada par correspondente de suas elementos é igual. Em outras palavras, Defenição (a 1, a 2,..., a n) = (b 1, b 2,..., b n) a i = b i, i {1, 2,...n}. Seja A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B, denotado por A B, é o conjunto de todas as pares ordenados (a, b), onde a A e b B. Portanto, A B = {(a, b) a A b B.} Pode estender o produto cartesiano dos conjuntos para, n A i = A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n) a i A i para i = 1, 2, 3,..., n}. i=1 Obs: Usamos a notação A 2 para denotar A A, o produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo. Assim, A n = {(a 1, a 2,..., a n) a i A para i = 1, 2, 3,..., n}. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

21 Produto Cartesiano/Representação Gráfica/Propriedades Diagrama Cartesiano Seja A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {x R 2 x 5} e D = {x R 1 x 3}, então os diagramas cartesianos dos A B e C D são, Obs: (x, y) / A B [(x / A x B) (x A x / B) (x / A x / B)]. Obs: existem representações por tabela de dupla entrada e por diagrama de Venn (Sagital) também. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22

22 Produto Cartesiano/Propriedades Teorema 6 A B = A =, B =. Em geral A B B A : Seja A = [1, 2] e B = [2, 4]. Teorema 7 A B = B A A =, B = A = B. Exercício 26: Determinam o x e y de modo que sejam iguais o pares ordenadas: 1)(x + y, 2) e (4, x y), 2)(x 2, 2y + 1) e (y + 2, x 1). Exercício 27: Dados A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, e C = {3, a, 5}, Determinem: 1)A B C 2)A (B C), 3)B (A C), 4)C (B A). Exercício 28: Construa o Diagrama Cartesiano de A B para 1) A = ( 1, 2), B = [2, 3], 2)A = { 2, 1, 1, 3}, B = {1/2, 1/4, 3/2, 2}, 3)A = (, 2], B = [ 2, 5], 4)A = [ 3, 2), B = [1, ). Exercício 29-30: Demonstrem a distributividade de produto cartesiano em relação a reunião e interseção. Exercício 31-32: Demonstrem a distributividade de produto cartesiano em relação a diferença e diferença simétrica. Exercícios: 27 e 28 da Lista- 26 à 40 seção 2.1 e 25 ao 31 seção 2.2 do Rosen. Pouya Mehdipour 5 de outubro de / 22