Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 04 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Transcrição

1 1. Funções Sobrejetoras Dizemos que uma unção : é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem or igual ao contradomínio, isto é, se Im() =. Em outras palavras, dado um elemento z qualquer no contradomínio, sempre existe x pertencente ao domínio de tal que (x) = z. Se : or sobrejetora. Quando ela é representada por um gráico de lechas, todos os elementos do conjunto de chegada () rcebem lechas (não pode sobrar elementos no conjunto sem receber lechas). Por exemplo Neste caso, é sobrejetora Neste caso, não é sobrejetora unção : com = R e = y R y 1}, deinida por x = x 2 1 é sobrejetora, pois observando o gráico da unção, vemos que para qualquer valor Real maior do que 1 (pertencente a ), sempre existirá um valor x em R, tal que (x) = y

2 2. Funções Injetoras unção é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Então se x 1 D(), x 2 D() e x 1 x 2, será injetora se, e somente se, (x 1 ) (x 1 ). Se : or sobrejetora. Quando ela é representada por um gráico de lechas, todos os elementos do conjunto de chegada () recebem apenas uma lecha (haver nenhum elemento no conjunto que receba duas lechas). Por exemplo Neste caso, é injetora Neste caso, não é injetora unção : R R, deinida por x = x 2 1 não é injetora, pois observando o gráico da unção, notamos que há valores distintos no domínio x 1 = 2 e x 2 = 2, que são levados no mesmo valor pela unção, pois 2 = 2 = 3.

3 unção : N N deinida por x = 4. x é injetora pois quais quer que sejam x 1 e x 2 distintos em N, teremos sempre x 1 x Funções ijetoras Uma unção é dita bijetora se, e somente se, ela or injetora e sobrejetora simultaneamente. Ou seja, a unção : será bijetora, se e somente se, para qualquer elemento y de existe um único elemento x em tal que x = y. Se : or sobrejetora. Quando ela é representada por um gráico de lechas, todos os elementos do conjunto de chegada recebem lechas, e além disso, só recebem uma lecha, conorme abaixo: Exemplos, a. unção :, onde = 0,1,2,3 e = {1,2,3,4} deinida por x = x + 1 é bijetora. Isto porque para qualquer elemento y de existe um único elemento x em tal que x = x + 1. Note que, para cada elemento de converge apenas uma lexa. b. unção : R R, deinida por x = 2. x + 1 é bijetora, pois : i. Para qualquer y R, podemos encontrar x tal que x = y asta azermos y = 2. x + 1 e obtemos x = y 1 2.

4 Portanto é sobrejetora. ii. Se tomamos x 1 e x 2 distintos em R, teremos sempre x 1 x 2. Portanto é injetora. 4. Função Inversa Se : é uma unção, então ela leva um elemento x de em um (ou mais) elementos de. Com é relação, admite uma relação inversa que az a operação inversa de, isto é leva os elementos y em tais que (x) = y e os leva de volta ao elemento x em. Se esta relação inversa or uma unção, então será chamada de unção inversa de, e será denotada por 1. Por exemplo, Sejam os conjuntos = {1,2,3,4} e = {1,3,5,7} e seja : deinida por x = 2. x 1 Então os elementos da relação podem ser enumerados por = { 1,1, 2,3, 3,5, 4,7 } relação inversa de será caracterizada pelo conjunto { 1,1, 3,2, 5,3, 7,4 } Notamos que esta relação inversa é uma unção de em. Então esta relação será a unção inversa de e podemos escrever 1 = { 1,1, 3,2, 5,3, 7,4 } Neste caso podemos exibir uma expressão algébrica que deina 1. expressão algébrica de mostra-nos os elementos y da imagem em unção de x. Para exibir a inversa temos que trabalhar a expressão algébrica de orma a mostrar os elementos x do domínio da em unção de y. Temos 1 y = x y = 2. x 1 x = y+1 2 = 1 y Então 1 y = y+1 2 Note que, nem toda unção admite uma unção inversa. Considere, por exemplo a unção :, com = { 1,0,1} e = {0,1}, deinida por x = x 2 Então os elementos da relação podem ser enumerados por = { 1,1, 0,0, 1,1 } E a relação inversa de será caracterizada pelo conjunto { 1, 1, 0,0, 1,1 }, e esta relação inversa não é uma unção. Proposição: Para que uma unção : admita inversa é necessário e suiciente que ela seja bijetora.

5 a. Propriedades da Função Inversa Se uma unção : admite inversa, valem as seguintes propriedades: i. 1 1 = ii. D 1 = Im() iii. Im 1 = D() iv. Os gráicos cartesianos de e 1 são simétricos em relação a reta bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. Por exemplo (x) Reta bissetriz Quadrante 1-1 (x) Quadrante 3 5. Funções Compostas Sejam os conjuntos, e C, e duas unções :, e g: C. Então podemos contruir a unção composta de e g, que indicamos por g, o unção deinida de em C, onde seu valor num ponto x é calculando aplivando-se a unção g no ponto (x), ou seja: Por exemplo, g (x) = g( x ) a. Sejam as unções x = x + 1 e g x = x 2, e queremos calcular o valor de g (1), g (0), g ( 1), g(1), g(2) plicando a deinição temos g 1 = g 1 = g 2 = 2 2 = 4 g 0 = g 0 = g 1 = 1 2 = 1

6 g 1 = g 1 = g 0 = 0 2 = 0 g 1 = g 1 = 1 = = 2 g 1 = g 2 = 4 = = 5 Podemos também ornecer uma expressão para a unção g (x), simplesmente substituindo a expressão de (x) no lugar do argumento de g(x): g x = g x = g x + 1 = x nalogamente, a expressão de g x será dada por: g x = g x = x 2 = x b. Sejam = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, = {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 } e C = {c 1, c 2, c 3 }, sejam as unções = { a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 4, a 4, b 3 } e g = { b 1, c 1, b 2, c 1, b 3, c 2, b 4, c 2, b 5, c 3 } Então, aplicando a unção composta g x : C, nos pontos do domínio, temos: g a 1 = g a 1 = g b 1 = c 1 g a 2 = g a 2 = g b 2 = c 1 g a 3 = g a 3 = g b 4 = c 2 g a 4 = g a 4 = g b 3 = c 2 Então g = { a 1, c 1, a 2, c 1, a 3, c 2, a 4, c 2 } No diagrama de lechas podemos representar, g e g da seguinte orma: g a 1 c 1 a 2 C a 3 c 2 a 4 c 3 b 1 b 2 b 3 g b 4 b 5

7 c. Sendo : R R tal que x = 3x e g: R R tal que g x = x 2, a unção composta g ica deinida por g x = g x = g 3x = 3x 2 = 9. x 2