MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como a multiplicação de um número complexo por i corresponde a uma rotação de rad da imagem geométrica desse número complexo, temos que: B é a imagem geométrica de iz C é a imagem geométrica de i i z i z D é a imagem geométrica de i i i z i 3 z A D i i B C i Exame 17, Ép. especial. Temos que: os argumentos dos complexos z e 5z são iguais Arg 5z Arg z 5 os argumentos de complexos simétricos, 5z e 5z, diferem de Arg 5z Arg 5z 5 5 a multiplicação por i de um complexo corresponde a somar ao seu argumento Arg 5iz Arg 5z Resposta: Opção A Exame 17, a Fase Página 1 de 15

2 3. Escrevendo o número complexo 3 na forma trigonométrica, vem 3 3 cis Desta forma, temos que: Logo, como θ z 3 cis θ 3 cis cis θ 3 1 cis + θ 3 cis θ ], 3 [, então < θ < 3, pelo que: Ou seja, arg z quadrante. < θ < 3 < θ < ], [, logo a imagem geométrica do número complexo z é um ponto do primeiro Resposta: Opção A Exame 16, 1 a Fase. A operação multiplicar por i corresponde a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos, pelo que a imagem geométrica de i está no primeiro quadrante a igual distância da origem do que a imagem geométrica de z 1 i A operação multiplicar por corresponde a fazer duplicar a distância à origem, mantendo o argumento do número complexo, pelo que i z 1 z i Finalmente, a imagem geométrica de um número complexo, e do seu simétrico correspondem a rotações de centro em O e amplitude radianos, pelo que i z z i z 3 Exame 1, Ép. especial 5. As operações multiplicar por i e transformar no conjugado correspondem geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos e encontrar o ponto simétrico relativamente ao eixo real, respetivamente. i z 1 z z 1 z Assim, se considerarmos as operações inversas, pela ordem inversa, a partir da imagem geométrica de z, como indicado na figura, obtemos como resposta a imagem geométrica de z. z Ou, dizendo de outra forma, se z, temos que z z 1 e i i z 1 z, pelo que z. z 3 z 6. Se z + bi, então z bi Exame 13, Ép. especial Assim temos Re z > e como b <, Im z >, pelo que sabemos que representação geométrica de z pertence ao primeiro quadrante, logo Arg z não pode ser α Por outro lado z + b, como b >, temos que z >, logo z não pode ser 3 Exame 13, a Fase Página de 15

3 7. cos α + i cos α cos α + i sen α cos α + i sen α cos α + i sen α Porque cos α sen α cos α + i sen α cos α + i sen α Porque sen α sen α cis α cis α cis α α Fazendo a divisão na forma trigonométrica cis α Como queriamos mostrar 8. Temos que: z e sabemos que Arg z α, pelo que podemos escrever que z 1 cis α Assim, temos que Exame 13, a Fase i z z do enunciado i 1 cis α 1 cis α calculado z e escrevendo z na f.t. i 1 cis α α fazendo a divisão na f.t. cis 1 cis 3α escrevendo i na f.t. 1 cis + 3α 1 cis 3α fazendo o produto na f.t. Resposta: Opção A Exame 13, 1 a Fase 9. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como 8n n+, temos que i 8n i 1 como 8n 1 8n + 3 n 1+3 temos que i 8n 1 i 3 i como 8n 8n + n 1+ temos que i 8n i 1 Temos que i 8n i 8n 1 + i 8n i i 3 + i 1 i + 1 i 1 Logo a imagem geométrica de i 8n i 8n 1 + i 8n pertence ao terceiro quadrante. Exame 13, 1 a Fase Página 3 de 15

4 1. Como z cis θ, então z cis θ. Como 3 < θ <, então 3 < θ <, ou seja θ ] 3, [ Logo z pertence ao o quadrante e z 1, ou seja z é da forma a + bi, com < a < 1 e 1 < b <. z 1 Assim z a + bi, em que a < e b <, pelo que z pertence ao 3 o quadrante. z z Teste Intermédio 1 o ano Sabemos que i 6 i 1 e que i 7 i 3 i. Logo i6 + i 7 i 1 + i i 1 i + i i + i i i i 5i + i 5i i Teste Intermédio 1 o ano Se z e são inversos um do outro, temos que 1 z Por um lado 1 z i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 i Por outro lado. como , sabemos que i 11 i 3 i e assim k 1 + pi 11 k 1 + p i k 1 pi Como 1 z temos que 1 1 i k 1 pi Logo 1 k 1 1 p k 1 p 3 k 1 p Assim temos que k + p Exame 1, Ép. especial 13. Como z 3 + ki temos: z 1 z + i3 + ki 6 + ki + 3i + ki 6 1 k + ik k + k + 3i Para que z 1 z seja um imaginário puro Re z 1 z Logo 6 k 6 k Exame 1, a Fase Página de 15

5 1. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como n 6 n 8 + n + temos que i n 6 i 1 Devemos escrever cis cis 6 na f.a. para podermos somar as parcelas do numerador: 3 1 i cos + i sen cos i sen Assim temos que: 3 i n 6 + cis i i i cis cis cis cis cis cis 5 1 cis 5 1 cis cis 1 Exame 1, a Fase 15. As operações dividir por i e dividir por 3 correspondem geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos e dividir a distância ao centro por 3, respetivamente. z Assim, podemos fazer as operações por qualquer ordem e, por isso, temos duas alternativas: i z 3 z 3 Resposta: Opção A e e z 3 z 1, ou então z 3 i z 1 z 3 z z 1 Exame 1, 1 a Fase Página 5 de 15

6 16. Como o ponto M é a imagem geométrica do número complexo z 1 que vamos designar por z 1 ρ 1 cis θ, em que < θ < porque M é um ponto do primeiro quadrante e Rez 1 > Imz 1. Podemos excluir o ponto da opção D, o ponto S porque é a imagem geométrica de um número complexo z da forma z ρ 3 cis, e assim, z 1 z ρ 1 ρ 3 cis + θ; e como < θ < então a imagem geométrica de z 1 z seria um ponto do 3 o quadrante e não o ponto N Podemos excluir o ponto da opção B, o ponto Q porque é a imagem geométrica de um número complexo z da forma z ρ cis, e assim, z 1 z ρ 1 ρ 3 cis + θ ; ou seja a imagem geométrica de z 1 z seria um ponto sobre a reta perpendicular a à reta OM pelo ponto O e não o ponto N Podemos excluir o ponto da opção A, o ponto P porque é a imagem geométrica de um número complexo z da forma z ρ 5 cis α, e assim, z 1 z ρ 1 ρ 5 cis θ + α; e como α <, então a imagem geométrica de z 1 z seria um ponto do quadrante definido pela reta OM e pela perpendicular pelo ponto O e não o ponto N Logo o ponto R é o único, de entre as opções apresentadas, que pode ser a imagem geométrica do número complexo z N R Q P M S θ Exame 11, Prova especial 17. Para que z 1 seja igual ao conjugado de z, tem que se verificar a condição Rez 1 Rez Imz 1 Imz Logo: Rez 1 Rez Imz 1 Im 3k + 3p p 5k 3k + 6 3p p 5k k + p k + 5k k + p + 5k k k + p k 1 + p 1 k 3 p 1 k Exame 11, Ép. especial 18. Pela observação da figura podemos adicionar geometricamente os afixos de z e de z e temos que z + z z 3 A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude, pelo que z 3 i z 5. Logo z + z i z 3 i z 5. z z 5 z 3 z 1 z z 6 Exame 11, a Fase Página 6 de 15

7 19. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i n i k, onde k é o resto da divisão inteira de n por. Assim, como n n +, temos que i n i 1 como n + 1 n +1 temos que i n+1 i 1 i como n + n + temos que i n+ i 1 Assim temos que: z 3 z z 1 i n + i n+1 + i n+ 1 + i 1 i, pelo que, de acordo com a z figura, temos que i n + i n+1 + i n+ z Exame 11, 1 a Fase. Designando por, z 1 e z os números complexos cujas imagens geométricas são os pontos B, A e C, respetivamente, temos que z 1, porque os pontos A e B estão à mesma distância da origem; logo arg arg z 9, como arg z 3, temos que arg Assim temos que 5 cis 5 18 Teste Intermédio 1 o ano A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos. Q Assim temos que i z, sendo o número complexo que tem por imagem geométrica o ponto Q. R P Logo i z, ou seja o número complexo que tem por imagem geométrica o ponto T. S T Exame 1, Ép. especial Página 7 de 15

8 . z é um imaginário puro, se arg z + k, k Z Assim temos que: 8 θ + k, k Z θ 8 k, k Z θ 8 8 k, k Z θ 3 8 k, k Z Atribuindo valores a k, temos: Se k, θ 3 8 Se k 1, θ Exame 1, 1 a Fase 3. Como i 6 i + i 1 i 7 i +3 i 3 i 1 + i3 + i 3 + i + 6i + i i 1 + 7i Temos que: 1 + i3 + i i 6 + i 7 3i 1 + 7i 1 i 3i + 6i 3i + 6i i 3i i i + 6i 3i i i 3 3 i. Como i cis, podemos fazer a multiplicação na forma trigonométrica: z i. cis θ cis cis θ cis + θ Teste Intermédio 1 o ano Assim o conjugado de z é: z cis + θ cis θ Resposta: Opção A Exame 9, Ép. especial 5. Temos que i 3 i 1+3 i 3 i Calculando z1 temos: z1 3 i 3 3i + i 9 1i + i 9 1i 5 1i 3 Como 8 cis 8i, calculando z na forma algébrica, temos: z z 1 + z1 + i cis 3 i + 5 1i + i 8i 8 16i 8i 1 i i 1 i i i i i i i i i Exame 9, Ép. especial Página 8 de 15

9 6. Se arg z 3 então arg z 3 Escrevendo i na f.t. temos i cis Assim, sendo ρ z e por isso também ρ z e fazendo a divisão na f.t. temos que: i z ρ cis Logo arg cis 3 ρ cis 3 ρ cis ρ cis ρ cis 5 6 i 5 z 6 Exame 9, 1 a Fase 7. Como i 18 i + i 1, temos que: z 1 i 1 i i1 + i i + i18 i 1 1 i1 + i 1 i i i i i Escrevendo z 1 na f.t. temos z 1 ρ cis θ, onde: ρ z tg θ 1 ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1 1 o quadrante, logo θ Logo z 1 cis Exame 9, 1 a Fase 8. A imagem geométrica do número complexo ρ cis α é um número complexo tal que: z apenas os pontos B e C verificam esta condição arg argz apenas os pontos A e B verificam esta condição Assim o ponto B é a imagem geométrica de ρ cis α A B C α P D Teste Intermédio 1 o ano Como i 35 i 8 +3 i 3 i, e + i + i + i + i + i + i 1 + i 3 + i temos que: + i i i 3 + i i 1 + i i 6i 1 + i i i1 i 1 + i 1 + i1 i 8i i + i 1 i 1i 1i i Teste Intermédio 1 o ano Página 9 de 15

10 3. Como cis i, temos que: z 1 1 i.1 + i 1 i Na f.t.: z 1 cis Fazendo a divisão na f.t.: z 1 z 8 cis cis 8 cis 1 cis 31. Os números complexos z e z, têm argumentos que diferem de radianos, logo, temos que: Exame 8, Ép. especial arg z + arg z Como i 18 i + i i 1 1 1, temos que: z 1 i i 1 i i i i i i i Exame 8, a Fase i i1 + i i i 1 i 1 i1 + i 1 i Exame 8, a Fase 33. O número complexo 3i tem a sua representação geométrica sobre a parte positiva do eixo imaginário, pelo que define um ângulo de radianos com o semieixo real positivo, logo argz 1 Exame 8, 1 a fase 3. Sabemos que i 1, i 1 i, i 1 e i 3 i, e que é válida a igualdade i p i k, onde k é o resto da divisão inteira de p por. Assim, como i n i, temos que i n i i 3 i p+3, para p N. Logo i n+1 i p+3+1 i p+ i p+1 i p+1+ i 1 Resposta: Opção A 35. Como arg z 1 α, temos que z 1 ρ cis α Como z iz 1, temos que z iz 1 Como i cis 3, fazendo a multiplicação na f.t. temos que: z iz 1 cis 3 3 ρ cis α ρ cis + α ] Assim, como α, [, temos que arg z 3 + α Exame 7, a fase Exame 7, a fase Página 1 de 15

11 36. Designando por, z 1 e z os números complexos cujas imagens geométricas são os pontos C, A e B, respetivamente, temos que z 1, porque os pontos A e C estão à mesma distância da origem; logo Como rad rad rad, então: 1 arg arg z Assim temos que 5 cis 3 5 Exame 6, Ép. especial 37. Como cis i temos que: z 1 i + cis i + i i 1 5 Escrevendo z 1 na f.t. temos z cis Fazendo a divisão na f.t. vem: z 1 z 5 cis 1 5 cis 7 5 cis 5 cis Exame 6, a fase 38. Seja z a + bi com a R \ {} e b R \ {}, cuja imagem geométrica é o ponto A. Assim z a bi, cuja imagem geométrica é o ponto A, simétrico do ponto A relativamente ao eixo real. Logo z a bi a + bi, cuja imagem geométrica é o ponto B, simétrico do ponto A relativamente ao eixo imaginário. Exame 5, Ép. especial Página 11 de 15

12 39. Escrevendo 1 na f.t. temos 1 ρ cis θ, onde: ρ tg θ ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1o quadrante, logo θ Assim 1 cis Calcular o produto 1 na f.t., e escrevendo o resultado na f.a. vem: 1 cis cis cis cis cos + i sen i 1 + 3i Podemos ainda escrever 3 na f.a.: 3 3 cis 3i cis 1 cis 3 Assim temos que: i 3 3i 1 + 3i 3i 1 + 3i i 3i i i + 3i 3i i i i Exame 5, a fase. + i + i1 + i + i + i + i i i 1 i 1 i1 + i 1 i i + 3i i 1 + 3i i 1 + i i Escrevendo na f.t. temos ρ cis θ, onde: ρ tg θ Assim 1 1 ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1 1 o quadrante, logo θ cis 1. Exame 5, 1 a fase 1.1. Como 3i 3i 16 1i 1i + 9i 16 i 9 7 i i + i i + 7 i i i + 7 i i i i i + 7i i 7i + i i + i 7i 5i Se arg α então ρ cis α, sendo ρ Assim 5 cis α Como i cis, fazendo o produto na f.t., temos: i cis 5 cis α 5 cis α Exame, a fase Página 1 de 15

13 . Como i 3 i 5+3 i 3 i temos que: z 1 + i i + i 6 + i 1 + i z 1 i 1 i 1 + i 1 1i 1 1i i Escrevendo i na f.t. temos i ρ cis θ, onde: 6 1i + i + i 6 1i 1 i 1 i ρ i + + tg θ 1 ; como sen θ < e cos θ <, θ é um ângulo do 3o quadrante, logo θ + 5 Assim z 1 + i 3 z cis 5 3. Para que z seja um número real arg z arg z Exame, 1 a fase Assim θ 5 θ 5 θ 5 θ + 5 θ 5 θ 6 5 Resposta: Opção A Exame 3, Prova para militares. Como Re > 1 então Re 1 > e Im Im 1, pelo que é razoável admitir que 1 z 1 z z 1 1 Como Re z 3 Re z 1 Im z 3 Im z 1, temos que z 3 z 1 1 Assim temos que z 3 z z 3 z Exame 3, a fase 5. Escrevendo z 1 na f.t. temos z 1 ρ cis θ, onde: ρ z tg θ 1 ; como sen θ < e cos θ >, θ é um ângulo do o quadrante, logo θ Assim z 1 cis 7 Fazendo a divisão na f.t. e escrevendo o quociente na f.a., temos: z cis 7 1 z 7 cis 5 cis 5 cis cis i Exame 3, 1 a fase - 1 a chamada Página 13 de 15

14 6. Como < Re z < 1 < Im z < 1 e Re z Re z Im z Im z Temos que, também, < Re z < 1 < Im z < 1 Logo a imagem geométrica de z também pertence ao interior do retângulo i i 1 + i i i i i + i i 1 i 1 Escrevendo na f.t. temos ρ cis θ, onde: ρ i Exame, a fase tg θ ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do 1o quadrante, logo θ Assim cis, e por isso: arg 3 arg z 1, pelo que z 1 z, pelo que z Exame, 1 a fase - a chamada 8. Como i 3 i 5+3 i 3 i, temos que: z 1 + i 3 + i 1 + i + i + i 5 i 5 + i i + i 1 + 5i 1 + 5i 1 + 5i + i i Se + i, então i 1 i + i i i i i 1 i i Escrevendo cis 3 na f.a., temos que: 3 cis cos 3 + i sen 3 Logo 1 cis 3 + i i Exame 1, Ép. especial Exame 1, a fase Página 1 de 15

15 5. Se a imagem geométrica de está no primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então arg, e é da forma ρ cis Assim temos que ρ cis Logo ρ cis ρ cis ρ ρ cis 1 cis + cis cis Logo a representação geométrica de está sobre a parte positiva do eixo imaginário, como a imagem geométrica de z z Exame 1, 1 a fase - 1 a chamada 51. Se arg z 5, então z tem a imagem geométrica no 1o quadrante. b z Se z a + bi, com a > b >, então z a bi, com a > b >, logo arg z + 5 z a + 5 b 5 a 5. Sabemos que z A se z < 1. Como 1 + 3i , sendo θ arg 1 + 3i podemos escrever 1 + 3i cis θ, Assim temos que : 1 + 3i cis cis θ cis 6 6 Logo, como 1 + 3i cis 1, e 1 6 cis θ 1 6 cis θ i < 1, podemos afirmar que cis 6 Exame, 1 a fase - a chamada pertence ao conjunto A. Exame, 1 a fase - 1 a chamada 53. A operação multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude radianos pelo que a imagem geométrica de i, está sobre a circunferência de centro na origem que contem. z i A operação multiplicar por corresponde a duplicar a distância à origem, mantendo o ângulo que com o sei-eixo real positivo. i Assim temos que i z Exame, Prova modelo Página 15 de 15