Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Observando o triângulo

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1 Capítulo 7 Trigonometria 7. Introdução à trigonometria A Trigonometria, que é uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida), tem por objetivo estabelecer relações entre os elementos básicos (lados e ângulos) de um triângulo. 7.. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Observando o triângulo retângulo ABC, (Â = 900 ), temos: ˆ BC = hipotenusa = a; ˆ AC = cateto = b; ˆ AB = cateto = c; ˆ ˆB + Ĉ = ˆ 90 0 ; ˆ AC = cateto oposto ao ângulo ˆB; ˆ AB = cateto adjacente ao ângulo ˆB; ˆ AC = cateto adjacente ao ângulo Ĉ; ˆ AB = cateto oposto ao ângulo Ĉ; Considerando o que vimos no triângulo retângulo da figura anterior, temos: ˆ sen ˆB = AC BC sen ˆB = cateto oposto a ˆB hipotenusa sen ˆB = b a. 45

2 46 ˆ cos ˆB = AB BC cos ˆB = cateto adjacente a ˆB hipotenusa cos ˆB = c a. ˆ tg ˆB = AC BA tg ˆB cateto oposto a ˆB = cateto adjacente a ˆB tg ˆB = b c. Teorema ( Teorema de Pitágoras) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos: a 2 = b 2 + c Ângulos Notáveis: 0 o, 45 o e 60 o Alguns ângulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. É o caso daqueles que medem 0 o, 45 o e 60 o. Vamos considerar que num triângulo equilátero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo ângulo interno coincidem. Observe o triângulo equilátero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AMC, podemos calcular a altura h: h 2 + ( l 2 )2 = l 2 h 2 = l 2 l2 4 h 2 = l2 4. h = l 2

3 Cálculo do seno, cosseno e tangente de 0 o e 60 o Observe o triângulo AMC: Temos: l 2 sen 0 o = l = 2 cos 0 o = l 2 = l 2 l tg 0 o 2 = l = 2 sen 60 o = l 2 = l 2 cos 60 o = tg 60 o = l 2 l = 2 l 2 2 = 7..4 Cálculo do seno, cosseno e tangente de 45 o x. Vamos considerar um triângulo retângulo e isósceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC: x 2 = l 2 + l 2 x 2 = 2l 2 x = 2l 2 x = l 2. Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45 o : sen 45 o = l l = 2 2 = 2 2 cos 45 o = l l = tg 45 o = l l =. Organizando os resultados, construímos a tabela:

4 48 α sen α cos α tg α FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo 47. Uma pessoa com, 80m de altura está distante 80m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 6 0 em relação à horizontal. Sabendo-se que tg 6 0 = 0, 28, determine a altura do prédio. 2. Um avião levanta vôo num ponto B, e sobe fazendo um ângulo constante de 5 0 com a horizontal. Sabendo-se que sen 5 0 = 0, 26 e que tg 5 0 = 0,27, determine a que altura estará e qual a distância percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de partida B.. Calcular a medida z na figura: 7.2 Exercícios. Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabendo que a altura relativa à hipotenusa é h = 4 e um ângulo agudo é ˆB = Calcule os lados de um triângulo retângulo, sendo que a altura relativa à hipotenusa mede 4 e forma um ângulo de 5 0 com o cateto b Dados: sen 75 0 = e cos 75 0 = Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 m, formando um ângulo de 70 0 com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. Qual é a altura máxima que a escada atinge?

5 49 4. Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de Afastando-se do edifício mais 0 m, passa a ver o edifício sob ângulo de Qual é a altura do prédio? 5. Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-céu, conhecendo os ângulos (α e β) sob os quais são observados de um ponto O do solo, à distância d do prédio. 6. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 0 o. Sabendo que a luneta do teodolito está a,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edifício? 7. Arcos, ângulos e o círculo trigonométrico 7.. Arcos e ângulos Se dois pontos encontram-se sobre uma circunferência esta fica dividida em duas partes denominadas, arcos de circunferência, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a um ponto, e outro a própria circunferência. A medida do comprimento de uma circunferência (2π = 60) é dado por c = 2πr. Para os diversos arcos que podem ser formados numa circunferência, também é possivel calcular seu comprimento, visto que eles são proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo: Exemplo 48 A orientação de uma circunferência pode ser no sentido horário (-) ou anti-horário (+). Sendo possível, portanto, obter equivalância de um arco de sentidos opostos. Exemplo = = = = 5.

6 Estudo do Círculo Trigonométrico Definição 6 Dado um arco AM, de medida α, chama-se de cos α e sin α, a abcissa e a ordenada do ponto M, respectivamente. A circunferência trigonométrica é dividida em 4 quadrantes de 90º cada, seguindo sentido antihorário.esses quadrantes são formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa (cosseno), com o eixo das coordenas (seno). Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a função. Por exemplo, a função seno apresenta o º e o 2º quadrantes positivos, já o cosseno, tem o 2º e o º quadrante positivo, os outros são negativos. O círculo trigonométrico é simétrico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro quadrante. No caso do arco 0º, contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro, obtendo-se assim um arco de 0º. Isso por que, se andassemos no sentido horário da circunferência trigonométrica, pode-se verificiar que 0º=-0º. Logo, tem-se que o arco simétrico primeiro quadranteé 0º. No caso da medida do arco ser maior que 60º, isto é, ele possui mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 60º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira

7 5 volta, realizando o seguinte cálculo: - Dividir a medida do arco em graus por 60º (volta completa), 2- O resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Exemplo 50 (a) Faça a redução do arco 480º e diga onde o mesmo se localiza = Logo, tem-se que o resto da divisão é 60º, o que indica que a determinação principal do arco,pertence ao º quadrante. Observação 2 No caso de se desejar as infinitas soluções de uma equação ou inequação trigonométrica, deve-se observar com atenção o intervalo dado para solução, bem como a divergência de sinais em cada quadrante! Veja o exemplo que segue... Exemplo 5 Dado a figura e as afirmações abaixo, identifique quais são verdadeiras e falsas. (A) sin(80 α) = sin α (D) sin(80 + α) = sinα (B) sin(80 α) = sin α (E) sin(60 α) = sinα (C) sin(80 + α) = sin α (F) cos(60 α) = sin α

8 52 (G) cos(80 α) = cos α (J) cos(80 + α) = cos α (H) cos(80 α) = cos α (M) cos(60 α) = cos α (I) cos(80 + α) = cos α (N) cos(60 α) = cos α Observação (Arco Côngruo): Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 60º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 60º precisa ter resto igual a zero. Menor determinação α: é o menor arco não negativo dentre todos os congruos, assim, podemos afirmar 0 x < Expressão Geral A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necessário criar uma expressão para representar todos esses infinitos arcos. A expressão geral se apresenta da seguinte forma: ou AM = 60k + α, k Z, AM = 2kπ + α, k Z. Portanto fica estabelecida uma correspondencia biunívoca entre os números reais e os pontos da circunferência trigonométrica. FAZENDO VOCÊ APRENDE! - Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 x < 60) que possui a mesma extremidade do arco de: (a) 7850 (b) 85 (c) 50 (d) Verifique o sinal de cada um desses produtos: (a) y= cos 0. sin 0 (b) y= sin 200. cos 90 (c) y= sin 00. cos 0 (d) y= cos π 4. sin π 4 (e) y= sin 2π. cos 2π (f) y= sin 7π 6. cos 7π 6 - Como poderiamos escrever a expressão geral para os arcos formados na questão, anterior? (qual intervalo de k?)

9 5 4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e α, têm extremidades simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras: (a) cos( α) = cos α (c) sin( α) = sinα (b) cos(α) = cos α (d) sin( α) = sin α 5- Se F: R R é uma função definida por F(x) = sinx + cos x, o valor de f(π) + f( π 2 ) f( π 2 ) é? 6- Determine o valor da expressão: 7- Simplifique a expressão: sin0 + cos 2 00 sin200 + cos 70 + sin A= cos(π + x) + cos( x) + cos(π x) sin( x) + sen(π x) + cos(x) 7..4 Circulo Trigonométrico Como estudado nas seções anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonométrico, com suas simetrias e equivalências:

10 Identidades Trigonométricas Para iniciar o conteúdo, de identidades trigonométricas, vamos primeiramente entender o significado das novas relações que irão surgir: (a) COTANGENTE: Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s,). A abscissa s deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Observação 4 Possui os mesmos sinais da tangente no círculo trigonométrico.

11 55 (b) SECANTE: Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x,y ). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a. Observação 5 Possui os mesmos sinais do cosseno no círculo trigonométrico. (c) COSSECANTE: A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM corres pondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações. Observação 6 Possui os mesmos sinais do seno no círculo trigonométrico Identidades Trigonométricas Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonométricas. Os exercicios seguintes serão baseadas nas mesmas. Na seguência, pode-se verificar a demostração de algumas identidades. () sin 2 x + cos 2 x = (vide demostração) (2) sec = cos x () csc = sin x

12 56 (4) cot = tanx = cos x sin x (5) sec 2 x = + tan 2 x (vide demostração) (6) csc 2 x = + cot 2 x (vide demostração da 5) (7) cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2sin 2 x = 2cos 2 (vide demostração da 8) (8) sin 2x = 2 sin x. cos x (vide demostração) (9) tan2x = 2tan x tan 2 (vide demostração da 8) x (0) sin 2 x = + ( cos2x) 2 () cos 2 x = + ( + cos 2x) 2 (2) sin(a ± b) = sina.cos b cos a.sin b () cos(a ± b) = cos a.cos b sin a.sin b (4) tan(a + b)= (5) tan(a b)= tana + tanb tana.tanb tana tanb + tana.tanb Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (6) COSSENOS (7) e a LEI DA ÁREA de um triângulo (8)? (6)

13 57 (7) (8) Demonstrações Demonstração: () sin 2 x + cos 2 x =. Aplicando o teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2, 2 = cos 2 x + sin 2 x, cos 2 x + sin 2 x =.

14 58 Demonstração: (5) sec 2 x = + tan 2 x. Dividindo ambos os membros da relação fundamental trigonométrica (cos 2 x + sin 2 x = ) por cos 2 x, temos: sin 2 cos 2 + cos2 cos 2 = cos 2 tan 2 x + = sec 2. Podemos obter a relação trigonométrica (6), adotando os mesmos passos anteriores, entretanto, ao invés de dividir a relação fudamental trigonométrica por cos 2 x, divide-se por sin 2 x. Demonstração: (8) sin 2x = 2 sinx.cos x Através da relação (2), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes: sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo da seguinte forma: sin(a + a) = sina. cos a ± cos a.sin a sin2a = 2 sina.cos a. O mesmo procedimento pode ser adotado para obter a relação (7) e (9), bastando mudar, a relação inicial para cada função. Ou seja, para obter a relaçao (7) cos2x = cos 2 x sin 2 x, utiliza-se a relação (), que faz a soma do cosseno de dois arcos. Para obter a relação (9) tan2x = 2tan x tan 2, utiliza-se a relação [4], que faz a soma da tangente x de dois arcos. Demonstração: (6) Lei dos Senos

15 59 Demonstração: (7) Lei dos Cossenos Demonstração: (8)Lei das Áreas

16 60 FAZENDO VOCÊ APRENDE! - Encontre o valor da expressão: (a) y = cos05 sin 05 sec tan 855 (b) y = tan5 csc200 sin560 cos Determine cos α, sabendo que sinα = e que α corresponde a uma arco do 2º quadrante.

17 Capítulo 8 Números Complexos 8. Números Complexos 8.. Introdução Dentre os conjuntos numéricos já conhecidos, temos inicialmente o conjunto dos números naturais: N = {0,,2,,..., n,...} Quano a subtração é possível, obtem-se o conjunto dos números inteiros: Z = {..., n,..., 2,, 0,,2,...,n,...} Para que também a divisão seja possível, estende-se este último e obtivem-se o conjunto dos números racionais, que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros: Q = {x = a,a Z,b Z e b 0} b 8..2 Em Q, a única divisão impossível é a divisão por 0 Em Q, a equação x 2 = 2 não pode ser resolvida, ou seja, as soluções x = 2 e x = 2 não podem ser representadas por uma fração a b, com b 0 e a e b pertencentes a Z. 2 e 2 são exemplos dos números chamados de irracionais I. Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais (R): R = Q I Portanto, podemos identificar N como uma parte de Z, Z como uma parte de Q e Q como uma parte de R e escrever: N Z Q R Sabmos que, se x R, então x 2 0. Assim, a equação x 2 + = 0 não tem solução em R, pois x 2 + = 0 x 2 = x = ± e não existe um número real x que, elevado ao quadrado, resulte. Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos 6

18 62 C. 8.. O Conjunto dos números complexos C O conjunto C é um conjunto cujos elementos - os números complexos - devem ser tais que possam ser somados e multiplicados, e também possibilitem a extração da raiz quadrada de um número negativo. Logicamente, os números reais precisam ser elementos desse conjunto C, e as operações de adição e multiplicação feita sobre os números reais no conjunto C devem ser as mesmas já conhecidas. Note que, se isso não fosse observado, o conjunto R não seria um subconjuntos de C. Uma boa maneira de definir esse conjunto é a proposta por Gauss em 8 e reforçada por Hamilton em 87, segundo a qual o conjunto dos números complexos é um conjunto de pares ordenados de números reais, em que estão definidas: (Igualdade) (a,b) = (c, d) a = c e b = d (Adição) (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) (Multiplicação) (a,b)(c, d) = (ac bd,ad + bc) Observação 7 Os números reais pertencem a C e correspondem aos pares que têm o segundo elemento igual a zero. Assim: (a) o par (5, 0) corresponde ao número real 5; (b) o par ( 7, 0) corresponde ao número real 7 (c) o par (,0) corresponde ao número real (d) o par (0, 0) corresponde ao número real 0. Já os pares que têm o segundo elemento diferente de zero correspondem aos complexos que não são reais. Assim: o par (0, 0) corresponde a um número complexo que não é real; o mesmo ocorre com os pares (2, ),(, 2 ) e outros. As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem as seguintes propriedades (para quaisquer z, v e w pertencentes a C): () (Adição)

19 6 (Comutativa) z + v = v + z (Associativa) (z + v) + w = z + (v + w) (Elementos neutro) Existe z 0 C, z 0 = (0,0) tal que z + z 0 = z 0 + z = z. (Inverso aditivo ou oposto) Para z C, existe z C tal que z + z = z + z = z 0 = (0, 0). (2) (Multiplicação) (Comutativa) zv = vz. (Associativa) (zv)w = z(vw). (Elemento neutro) Existe z C, z = (,0) tal que zz = z z = z. (Inverso multiplicativo) Para z (0,0) existe z C tal que zz = z z = z = (, 0). (A multiplicação é distributiva em relação a adição) z(v + w) = zv + zw Como os números complexos z, v e w são pares de números reais, fazemos a demonstração de cada propriedade usando as propriedades da adição e da multiplicação de números reais. Por exemplo, a comutativa da adição. Para Z = (a,b) e W = (c,d) vem: z + w = (a + c,b + d) = (c + a,d + b) = w + z pois para a,b, c e d reais, temos e a + c = c + a, b + d = d + b. Exemplo 52 Vamos determinar x e y reais para que se verifique a igualdade (x,6) = (, 2y). Pela definição de igualdade { de números complexos, temos: x = (x,6) = (,2y) 6 = 2y y = 2 Logo x = e y =. Exemplo 5 Calculemos x e y reais para que se verifique a igualdade (x, 4) + (y, x + y) = (2, ). Aplicando a definição de adição e depois de igualdade de números complexos, temos: { x + y = 2 x + y 4 =. Resolvendo esse sistema, encontramos x = 2 e y = 2.

20 64 FAZENDO VOCÊ APRENDE! )Determine x e y reais para que se verifiquem as igualdades: (a) (x,2) = (,5y). (b) (2, ) = (x, 2y ). (c) (x 2,y + ) = (, 0). (d) (x,y) = (0, 0) Foma Algébrica dos Números Complexos Resolvendo a equação x 2 + 4x + 5 = 0, temos: O resultado é impossível em R. x = 4 ± = 4 ± R é Subconjunto de C Identificamos o número complexo (a,0) com o número real a: (a,0) = a. Ao fazer essa identificação, constatamos que R é subconjunto de C, ou seja : R C. As definições de adição e multiplicação e suas propriedades comportam-se para os números complexos da forma (a,0) como se fossem números reais a. Assim, por exemplo, temos: (a) (, 0) identifica-se com o número real ; (b) (, 0) com ; (c) ( 2, 0) com 2 ; (d) (0, 0) com A Unidade Imaginária Criamos um nome e um símbolo para o número complexo (0, ). Ele será chamado de unidade imaginária e indicado por i, ou seja, o símbolo i identifica-se com o número complexo (0, ). Observamos que: Portanto: i 2 = i.i = (0, )(0, ) = (, 0) =. i 2 =. que é a característica fundamental da unidade imaginária.

21 A Forma Algébrica Todo número complexo z = (a,b) pode ser escrito de maneira única: z = a + bi (a R,b R e i 2 = ). Essa é a forma algébrica ou forma binominal de escrever um número complexo. Observamos que um número complexo escrito nessa forma tem duas partes: z = a + bi, onde a é a parte real de z e b é a parte imaginária de z. Devemos observar também que, se b = 0, temos z = a (número real); e se a = 0 e b 0, temos z = bi, que é um número imaginário puro. Exemplo 54 (a) Em z = 2 + i, temos Re(z) = 2 e Im(z) =. (b) Em z =,temos Re(z) = e Im(z) = 0. Portanto, z é real. (c) Em z = 2i, temos Re(z) = 0 e Im(z) = 2. Portanto, z é um número imaginário puro. Observação 8 Usando a forma algébrica, as operações de adição, subtração e multiplicação são mais intuitivas do que com a representação por pares ordenados. Na multiplicação, por exemplo, basta aplicar a mesma propriedade distributiva usada na multiplicação de binômios, porém observando que i 2 é um número real e vale. Não há necessidade alguma de decorar fórmulas. Exemplo 55 () (2 + i) + ( + 4i) = (2 ) + ( + 4)i = + 7i. (2) (+2i)(2 i) =.2+( i)+(2i)2+(2i)( i) = 2+i+4i 6i 2 = 2+i 6( ) = 2+i+6 = 8+i. () ( + i) ( + 2i) = ( + i) + ( 2i) = ( ) + ( 2)i = 2 i. (4) Vamos colocar na forma algébrica o número complexo (, 2). Se z = a + bi e, nesse caso, a = e b = 2, então z = + 2i. (5) Dados os números complexos Z = (, ) e Z 2 = ( 2,), vamos calcular: (a) Z + Z 2 = ( + i) + ( 2 + i) = ( 2) + ( + )i = + 4i. (b) Z Z 2 = (+i)( 2+i) = ( 2)+.i+i( 2)+i.i == 2+i 6i+i 2 = 2+5i+( ) = 5 5i. (c) = ( + i) 2 = i + (i) 2 = + 6i + 9i 2 = + 6i + ( ) == 8 + 6i. (d) Z + = ( + i) + ( 2 + i) 2 = ( + i) + [4 4i + i 2 ] == ( + i) + [4 4i + ( )] = ( + i) + ( 4i) = + i + 4i = 4 i. (6) Vamos calcular o valor de i 2, i,i 4,i 5,i 6,i 7, i 8. (a) i = i (b) i 2 = (c) i = i 2 i = ( )i = i (d) i 4 = (i 2 ) 2 = (e) i 5 = i 4 i = i = i (f) i 6 = i 4 i 2 = ( ) = (g) i 7 = i 4 i = ( i) = i (h) i 8 = i 4 i 4 =. = Observe que as potências de i começam a se repetir depois de i 4. De modo geral, temos: () i 4n = (i 4 ) n = (2) i (4n+) = (i 4 ) n i = i () i (4n+2) = (i 4 ) n i 2 = (4) i (4n+) = (i 4 ) n i = i

22 66 (7) Vamos calcular o valor de: (a) i 49 (b) i 00 (c) i 5 i 6 (d) i 49 = i 48.i = (i 4 ) 2.i = i Ou de outra maneira: i 49 = i 48.i = (i 2 ) 24 i = 24 i = i = i Portanto, i 49 = i. (e) i 00 = i 250 = 50 = Ou, de outra meneira: i 00 = i 4.25.i 0 = i 0 = Portanto, i 00 = (f) i 5 i 6. Temos que: i 5 = i 4.i = (i 2 ) 7 i = ( 7 )i = i = i. E i 6 = (i 2 ) 8 = 8 = Então, temos: i 5 i 6 = ( i) = i. Portanto, i 5 i 6 = i. (8) Resolver a equação x 2 + 4x + 5 = 0. FAZENDO VOCÊ APRENDE! ) Coloque na forma algébrica ou binominal os seguintes números complexos: (a) (, ) (b) (, 5) (c) (0, 2) (d) (, ) 2) Dados os números complexos z = (, 2), z 2 = (, ) e z = (2, 2), calcule: (a) z + z 2 (b) (z + z 2 )z )Determine o número z em cada caso: (a) z + 4i = z 6i 20 (b) zi = z + i 4)Resolva o sistema de incógnitas z e z 2 : { z z 2 = i 5z 2z 2 = + i 5)Determine o valor de x, real, para que o número complexo: (a) (x 2 x) + i seja um número imaginário puro. (b) (x 2 ) + i seja um número imaginário puro. (c) x + (x 2 4)i seja um número real. (d) x + xi seja o número real 0. 6) Efetue as operações indicadas escrevendo o resultado na forma algébrica z = a + bi.

23 67 (a) ( + i) + ( 2 + 5i) (b) ( + i) + ( 2i) (c) ( 2 + i) + ( 2i) + ( 5i) 7) Efetue as operações indicadas escrevendo o resultado na forma algébrica z = a + bi. (a) ( 2 + 2i)( i) (c) (7 + 2i) [(5 + 4i) + ]i (b) ( + i)( + i) ( + i) 8) Efetue: (a) i 9 (c) i 60 (e) ( i) 6 (g) 6i 5 + 5i 0 (i) (b) i 4 (d) i 05 (f) i25 +i 8 i 22 (h) ( + 2i) 5 9) Mostre que os números complexos z = +i e z 2 = i são as soluções da equação z 2 2z+2 = Representação geométrica dos números complexos Já vimos que a cada número complexo z = a + bi está associado o par de números reais (a, b). Por outro lado, sabemos que a cada par de números reais (a,b) está associado um único ponto do plano. Logo, podemos associar a cada número complexo z = a + bi o ponto P do plano de coordenadas a e b, isto é, P(a,b). O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Dizemos que o ponto P(a, b) é o afixo do número complexo a + bi. Por exemplo, vamos representar geometricamente os números complexos z = 2i, z 2 = 5, z = 2i, z 4 = 2 + i e z 5 = 2 + i. (a) z = 2i (, 2) (b) z 2 = 5 (5, 0) (c) z = 2i (0, 2) (d) z 4 = 2 + i (2, ) (e) z 5 = 2 + i ( 2, ) Observação 9 () Os números complexos reais pertencem ao eixo Ox, mantendo a correspondência segundo a qual para cada número real existe um ponto da reta. (2) Os números imaginários puros pertencem ao eixo Oy. () Os demais números complexos (a + bi,com a 0 e b 0) pertencem aos vários quadrantes, de acordo com os sinais de a e b.

24 68 (4) Para cada número complexo existe um único ponto do plano e vice-versa. (5) Podemos associar a cada complexo z=a+bi um único vetor com extremidade no ponto O, origem do sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a,b). (6) A associação dos números complexos z=a+bi aos vetores permite o uso dos números complexos em diversos campos nos quais as grandezas são vetoriais. Um exemplo disso é o estudo da eletricidade em nível superior; o aluno que optar por um curso superior na área de exatas descobrirá que corrente elétrica, voltagem, impedância, etc, são todos números complexos. Exemplo 56 Vamos efetuar algébrica e geométricamente a adição dos números complexos z = + 2i e z 2 = 4 + i. Algebricamente, temos: z + z 2 = ( + 2i) + (4 + i) = 5 + i = z Geometricamente, observa-se que z corresponde ao ponto (5, ), ou seja, ao número complexo z = 5+i. FAZENDO VOCÊ APRENDE! () Num mesmo plano complexo, localize os pontos correspondentes aos seguintes números complexos: z = + i; z 2 = + 4i; z = 2i;z 4 = 4i; z 5 = 2 i; z 6 = ; z 7 = 4. (2) Dados os pontos correspondentes aos números complexos z, z 2,ez, descubra os pontos correspondentes aos números complexos z, z 2 e z. () Localize os pontos do plano correspondentes aos números complexos z = a + bi nos seguintes casos: (a) b = 2 (b) a = e b > 0 (c) a = 0 e b > 0 (d) a e b (e) a > 0 (f) a > 2 e b 8..9 Conjugado de um número complexo A propriedade do inverso multiplicativo pode ser escrita da seguinte maneira: se z 0, existe um único número complexo z tal que z. z =. Vejamos a seguinte questão: () Como podemos determinar o número z na forma algébrica? (2) Para isso precisamos definir o que vem a ser o conjugado de um número complexo. () O conjugado de um número complexo z = (a, b) = a+bi é o número complexo z = (a, b) = a bi. Assim: () Se z = 2 + i então z = 2 i (2) Se z = 4i então z = + 4i () Se z = 2 então z = 2 () Se z = 5i então z = 5i Exemplo 57 Vamos determinar o número complexo z tal que 2z = z + i.

25 Interpretação Geométrica do Conjugado Geometricamente, o conjugado de z é representado pelo simétrico de z em relação ao eixo Ox. 8.. Propriedades do conjugado Demonstram-se as seguintes propriedades do conjugado de um número complexo: () Se z = a + bi, então: zz = a 2 + b 2, (que é real, positivo ou nulo) (2) Para o número complexo Z, temos: z = z z é número real. () Se z e z 2 são números complexos, então: z + z 2 = z + z 2 (o conjugado da soma dos conjugados) (4) Se z e z 2 são números complexos, então: z z 2 = z z 2 (o conjugado de um produto indicado é igual ao produto dos conjugados) Exemplo 58 () Vamos resolver a questão proposta na abertura deste tópico. Dado z 0, determine z na forma a + bi de tal modo que z. z =. Basta multiplicar numerador e denominador por, ou seja, pelo conjugado de Z, que é diferente de 0, pois z 0. Assim: z = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2 == a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i. Logo, z = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i. (2) Vamos encontrar, dado z = + 2i. z Primeira maneira: z = + 2i = 2i 2i == ( + 2i)( 2i) 2 (2i) 2 = 2i + 4 = 2i = i. Logo, z = i. Segunda maneira: z = z a 2 + b 2 = 2i + 4 = i Divisão de Números Complexos Definição 7 O quociente z z 2 entre dois números complexos, com z 2 0, é dado por z z 2 = z z 2 z 2 z 2 Exemplo 59 Vamos efetuar z z 2 sabendo que z = + 2i e z 2 = 2 + 5i. Temos: Logo, z = + 2i ( + 2i)(2 5i) 2 5i + 4i 0i2 = = z i (2 + 5i)(2 5i) = 2 i = i z = 2 z i. FAZENDO VOCÊ APRENDE! () Determine z para:

26 70 (a) z = + 5i (b) z = 2i (c) z = 0 (d) z = 4 + 2i (e) z = i (f) z = 2 2i (2) Calcule zz nos casos: (a) z = 4i (b) z = 7i (c) z = i () Encontre z tal que z + 2zi = 2. (4) Efetue as divisões indicadas: (a) 2 + i + 2i (b) + 2i (c) + i i (d) i + i (5) Escreva na forma z = a + bi os números complexos: (a) z = i 2 + i 2 + i i (b) z = ( 4i)(4 i) 2i (6) Determine os números complexos z tal que z + z = 4 e zz = em que z é o conjugado de z. 8.. Módulo de um Número Complexo Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de coordenadas O ao afixo de z. Aplicando o teorema de pitágoras no triângulo OAP, temos: z 2 = a 2 + b 2 z = a 2 + b 2 Observemos que essa igualdade vale também para os pontos situados nos eixos. Então podemos dizer que,dado um número complexo z = a+bi, chama-se de módulo de z e indica-se por por z o número real positivo ou nulo dado por: z = a 2 + b 2 Exemplo 60 Vamos determinar o módulo dos seguintes números complexos: (a) z = 2 + i (b) z = i (c) z = 2i (d) z = 2 (a) z = 2 + i = = (b) z = i = 9 =

27 7 (c) z = 2i = ( ) 2 + ( 2) 2 = + 4 = 5 (d) z = 2 = 2 FAZENDO VOCÊ APRENDE! () Determine o módulo de cada um dos seguintes números complexos: (a) z = + i (b) z = 2i (c) z = 2i (d) z = + 4i (2) Calcule o módulo de cada número complexo. (a) ( i)(2 + 2i) (b) (2 + i)2 i (c) + 4i 2 + i (d) ( + i)(2 + i) i () Determine uma equação do segundo grau que, em C, tenha como raízes 5 + 2i e 5 2i.

28 Capítulo 9 Respostas dos Exercícios 9. Respostas dos Exercícios do Capítulo SEÇÃO.. (a) A = {,, 5, 7, 9,,...} (b) B = {0, 2, 4,6, 8, 0,2...} (c) C = {,, 5, 7,9, } (d) D = {,, 5,7, 9, } 2. (a) A = {0} (b) B = {, 2,,4, 5, 6,7, 8, 9,0, } (c) C = {, 4, 5,6, 7, 8,9} (d) D = {,4, 5, 6,7, 8, 9} (e) E = {2,,4, 5, 6,7, 8, 9,0} (f) F = {2,,4, 5, 6,7, 8, 9,0}. (a) A = {n N n 5} (b) B = {n N n é par e n 8} (c) C = {n N 2 n 0} (d) D = {n N 2 n 0} (e) E = {n N n 5} (f) F = {n N n } ou N 4. (a) A = {0,2, 4, 6,8, 0, 2...} (b) B = {2,4, 6, 8} (c) C= {2,4,6,8} (d) D = {0,2, 4, 6,8, 0} 5. (a) (b) 72

29 7 (c) (d) (e) (f) 6) 7) 8) 9) 7 0) SEÇÃO.2. (a) R (b) {0,2, 4, 6,8, 0, 2,4, 6...} (c) {0, 6,2, 8,24, 0, 6,42...} (d) {0, 0,20, 0, 40,50, 60...} (e) {0,2, 24, 6,48, 60...} (f) {0, 50,00, 50, 200,250...} 2. (V)= a,c, d,e (F)= b. {0, 2, 24, 6, 48} 4. {26, 9} 5. {o} 6. números pares 7. {6} 8. {0, 6,2, 8, 24,0...} 9. 0,20,40, {0, 0, 60, 90...} SEÇÃO.. (a) 42 (b) 48 (c) 60 (d) 80 (e) : dias minutos 5. dia 6.{2008, 2028, 2048}

30 74 SEÇÃO.4. (a) {,2,, 4,6, 2} (b) {,, 5, 60,5, 0} (c) {4, 2} (d) {5, 0,5} (e) {, 2,,6} 2. e ele mesmo.. (a) {,2, 5, 0} (b) {, 2,, 4, 6,8, 2, 24} (c) {, 2} (d) {, 2,, 4, 5,6, 8, 0,2, 24} 4. duas maneiras 5. maneiras 6. 5 maneiras 7. 4 maneiras 8.,8;2,9;,6. SEÇÃO.5. (a) 9 (b) 5 (c) 2 (d) O menor é o m.d.c 4. Sempre 5. (a) 9 (b) a = 6, b = Em 5,6,8 peças; Comprimento= 6 m 9.2 Respostas dos Exercícios do Capítulo 2 SEÇÃO 2.. (a) 7 6 (b) 8 (c) 7 24 (d) 4 2. (a) 9 72 (b) 72 (c) (d) 7 2. (a) 20 (b) 20 (c) 9 45 (d) 6 75 (e) (f) (b) 77 0 (c) 7 8 (d) (a) 2 (b) 24 (c) 6 84 (d) 0 8 (e) (f) (a) (b) (c) () O agrupamento diferente gera resultados diferentes. (Operação que independe da ordem). (2) A operação não é associativa 7. (b) 2 8 (c) (d) 5 6 (e) 5 (f) 5 4 (g) L 2. 4 caixas SEÇÃO 2.2.

31 75 (a) 5 8 (e) 2 0 (b) 4 (f) 2 (c) 8 5 (g) 45 (d) 5 6 (h) 57 5 (i) 8 2. (a) 5u (b) 4u (c) 4 u (d) 5 u (e) u (f) 6u 8. (a) 5 4 (b) 7 5 (c) 5 (d) 5 4 (e) 9 (f) 5 8 (g) 2 6 (h) 4 4. (a) 6 (b) 28 (c) 6 (d) 7 5. duas questões 6. 4m ladrilhos 8. (a) 64m 2 (b) 40m ônibus 0. Adulto : 70 Kg, Criança: 40 Kg. (a).080 reais (b).000 reais Km SEÇÃO 2.. (a) 0, (b) 0, 08 (c) 0, 05 (d) 0, =: a),(b),(c),(d),(e) : (b) e (f).. (a) 0, (b) 0, 0 (c) 0, 007 (d) 0, 2 (e) 0, 04 (f) 2, 5 (g) 57, 802 (h) 6, (a) (e) (b) (f) (c) (g) (d) (h) 9, (a) (e) (b) (f) (c) (g) (d) (h) SEÇÃO 2.4. V= a, c, e F= b, d, f 2. (a) 500dcm 2 (b).400cm 2 (c) 0,055km 2 (d) 75mm 2 (e) 6,47m 2. (a) 6, 7 (b) , 5 (c) 90, 5 (d) 4.75 (e) (a) 0min 45seg (b) 42min 7seg (c) 5h. 0min 49seg 5. (a) h 6min 52seg (b) 5h 8min (c) 8h 46min

32 76 7. : dl 9. (a) 00min 0seg (b) h min seg (c) 2h 0min (d) h 7min 0s 9. Respostas dos Exercícios do Capitulo SEÇÃO. ) (a) 6 0 (b) 7 (c) 7 0 (d) 0 9 2) (a) 2 (b) 2 5 (c) 2 (d) 8 2 ) (a) 8 (b) 4 5 (c) 7 4 (d) 6 7 (e) 0 0 (f) 7 4 4) (a) 9a 2 (b) (c) x y (d) 28x 7 y 7 5) (a) ( 2 )2 (c) ( 7 5 ) 5 (e) ( 2 4 ) (g) ( 5 4 ) 6 (h) (0,0) (b) ( 8 ) (d) ( 7 9 ) (f) ( 2 )6 (i) (0,0) 0 6) (a) (b) (c) 0, 5 (d) (e) 2 (f) (g) (h) 2 7) a)2 b) ( 2 ) 2 SEÇÃO.. )

33 77 (a) 4 (b) 2 (c) 256 (d) 4 (e) 656 (f) 900 (g) 27 (h) (, 2 )2 (i) 4 (5) (j) 4 π (l) 0 7 2) (a) (b) 5 (c) 2, 5 (d) 0, 0 (e) (f) 00 (g) (h) (i) (j) (l) ) (a) 7 2 (c) 2 5 (e) ( 2) (b) 2 4 (d) 4 (f) ( 2 ) 5 4) (a) (b) (c) (d) 4 a b 5 m2 n (e) 4 m 5) (a) 2 5 (c) 4 (e) (b) 5 2 (d) 2 7 (f) 5 2 SEÇÃO.2 ) (a) 4 (b) 26 5 (c) ) (a) x (b) (c) 7 7 4b2 (d) 4xy 2 (f) 5 (g) a 6 x 8 (h) (i) (l) 2 2a 5 b 2 (m) x2 y y 2 a 2 a (n) x + (e) 5a 2 x (j) 2 (o) x + 5 )

34 78 (a) 2 5 (b) 0 (c) (d) 4b a 4a a (e) 0 20 (f) 5b 2 (5b) (g) 4 (h) 27a 9 b2 (i) (j) 4 x y 4) (a) (b) (c) a b 2b a b ab 5 a4 b 4 c c (d) (e) 2a + (f) Respostas dos Exercícios do Capítulo 4 SEÇÃO 4. ) (a) 9 8 (b) 7 8 (c) (d) (e) 94, 57 (f) 4 7 (g),59 (h) 7 2 2) (a) 7 40 (b) 7 2 (c) 25 8 (d) 25 9 (e) 2 (f) 2 ) (a) 90 (b) 6 (c) (d) 0 (e) 0 (f) 4 7 SEÇÃO 4.2 ) (a) 8 (c) 9 8 (e) x = 4 (g) x = (b) 8 (d) 70 (f) x = 04 (h) 58 7

35 79 2) (a) 2x + x = 50 (b) x + x = 5 (c) n n 2 = 40 (d) x + (x + ) = (e) x x 2 = 25 (f) 2n 4 = 20 (g) 2n = 20 ) 5 4) 24 5) 0 6) 9 7) 54 alunos 8) Homens= 04, Mulheres= 52, Menores= 76 9) 2 anos 0) Pai= 6; Filho= 6 ) x = 2,x 2 = 24 2) Carros= 90; Motos= 0 SEÇÃO 4. ) (a) x = ; y = 4 (b) x = 2; y = 6 2) (a) 64 (b) 4 ) 6 e 58 4) 24 carros e 4 motos 5) ) 6 rosas e 2 margaridas 7) 20 atores e 40 cantores 8) x=9 e y=2 9) 40 galinhas e 60 coelhos 9.5 Respostas dos Exercícios do Capítulo 5 SEÇÃO 5. ) (a) x R/x = x (c) (x,y) R/x y = y x (b) x R/x + x = 2x (d) x R/x + ( x) = 0 2) (a) x + 6 (b) 75 ) (a) f(x) = 4 +, 4x (b) 8 reais 4) (a) x x = x 2 (b) (x,y) R/x + y = y + x 2 5)

36 80 (a) 90 (b) n + n 2 6) (a) x 5 y 5 (c) x 2 x 2 y 2 (b) x.x.x (d) y.y.y 7) (a) 7 (b) (c) 2 (d), SEÇÃO 5.. ) (a) 7x 2 (b) 0 (d) 2 x (e) x 2 (y + ) (g) x 2 y 2 (h) 9 20 y2 (c) 4xy 5 z (f) 4x 2 + y (i) 4x y 2) (a) 2y 5 (b) 40y (c) x y (d) 6x yz 4 (e) 40x 5 y 6 (f) 6 5 x5 y 5 (g) 6a 4 b 6 (h) x 8 y 6 z 24 (i) xy (j) 7ax (l) 5 a4 y 5 (m) 5a y 4 (n) 2 a b 4 (o) 9x 2 y 4 (p) 6 x8 y 2 (q) x 6 (r) y ) (a) xy (b) 2xy (c) x 2 (d) A T = x 2 + xy + 2xy 4) (a) 5x 5 y (b) 4y (c) 2x y 8 (d) 4xy 5) (a) 5044 (b) 460 (c) 52 (d) 9 6)

37 8 (a) 0x (b) 5 e 20 (c) 8, 2cm SEÇÃO 5.2 () R: a, b, c, e, g, h, i, k, l (2) a = b = c = 0; a = b = e c = 2 SEÇÃO 5.2. () (2) () SEÇÃO () (2) () (4) (5) (6) (7) SEÇÃO 5. () (2) () (4) (5) 9.6 Respostas dos Exercícios do Capítulo 6 Exemplo 7: () 4 () 5 (5) 0 (7) (2) 4 (4) 2 (6) + 4 (8) 2

38 82 (9) 2 e (0) Exemplo 9: () x > 7 (2) x > () x < 4 (4) x < Exemplo 40 (5) 4 (6) 5 2 (7) (8) 2 Exemplo 42 () a = 8 (2) a = 656 Exemplo 4 () log bc 2log d (2) log a log bc 2 () 5, 50 (4) 2 (5) m + Exemplo 44 () 2a a + b (2) 2 () lg 2 Exemplo 45 () =, 58 (2) =, 84 () = 0, (4) 0, 8 (5) 0 (6) 4 Exemplo 46 () (2) 7 () 5 e 2 (4) 2 (5) Respostas dos Exercícios do Capítulo 7 Exemplo 47 () h = 24, 2m (2) h = 0, 54 Km; d = 2 km () z = 40 cm SEÇÃO 7.2 () a = 6 ; b = 8 ; c = 8

39 8 (2) a = 6; b = 4 2( ); c = 4 2( + ) () 25, 49m (4) 0 m (5) h = d(tg β tg α) (6) 7m SEÇÃO 7. ) (a) 290º (b) 5º (c) 50º (d) 0º 2) Negativo: A,C, E Positivo: B, D, F. ) 60K + 290, com 0 k 2 60K + 5, com 0 k 5 60K + 50, com k = 0 60K + 0, com com 0 k 4) VERDADEIRAS: A e D. FALSAS: B e C. 5) 2 6) 7) SEÇÃO 7.4 () (2) 9.8 Respostas dos Exercícios do Capítulo 8 SEÇÃO 8.. (a) + i (b) + 5 (c) 2i (d) i 2. (a) (0, 5) (b) (0, 0)

40 84. (a) 5i (b) i 0 4. z = 5i ; z 2 = 2 4i 5. (a) x = 0 e x = (b) x = + (c) x = + 2 (d) x = 0 6. (a) 5 + 6i (b) 7. (a) 5 5i 6 7 i (c) 2 4i (b) 2 + 2i (c) 7 + 2i 8. (a) i (b) (c) i (d) i (e) (f) i (g) 5 + 4i (h) 5 + 0i 9. Tem-se delta negativo. Resolver Baskhara. SEÇÃO (z ) + i (z 2 ) + 4i

41 85 (z ) 2i (z 4 ) 4i (z 5 ) 2 i (z 6 )

42 86 (z 7 ) 4 2. i; 4i; 2i.. (a) b = 2 (b) a = e b > 0 (c) a = 0 e b > 0

43 87 (d) a e b (e) a > 0 (f) a > 2 e b SEÇÃO (a) 5i (b) 2i (c) 0 (d) 4 2i (e) + i (f) 2 2i 2. (a) 25 (b) 49 (c) 2. 2i 4. (a) 5. (a) 8 i 5 4 2i 5 (b) 2i (b) 50 75i (c) i (d) i

44 88 SEÇÃO 8... (a) 2 (b) (c) 5 (d) 5 2. (a) 4 5 (b) 2 + 5i (c) i + 2 (d) + 2i. x 2 + 0x + 29 = 0

45 Referências BONGIOVANI, Vicenzo; LEITE, Olímpico Vissoto; LAUREANO, José Luiz Tavares. Matemática e Vida. Vol.,2,,4, o grau. São Paulo: Ática, 990. DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol.. São Paulo: Ática, DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau; IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. a 0. São Paulo: Atual, JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa. Vol.,2,,4, o grau. São Paulo: Scipione, 994. NETO, Scipione Di Pierrô. Matemática. Vol.,2,,4, o grau. São Pauo: Scipione, 995.