Função Inversa. Função Inversa. Exemplos: f(x) = y. Notemos que f: A B é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B. f é sobrejetora Im( f ) = B

Transcrição

1 UNIVERSIDDE DO ESTDO DE MTO GROSSO CMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FCULDDE DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLÓGICS CURSO DE ENGENHRI CIVIL DISCIPLIN: FUNDMENTOS DE MTEMÁTIC Funçã Inversa. Funçã sbrejetra Ntems que : é sbrejetra se, e smente se, Im() =. : é sbrejetra Im( ) = Em lugar de dizerms é uma unçã sbrejetra de em pderems dizer é uma sbrejeçã de em. Pr.: Rgéri Dias Dalla Riva Funçã Inversa. Funçã sbrejetra.funçã sbrejetra.funçã injetra.funçã bijetra.funçã inversa Exempls: ) unçã de = {-,,, } em = {,, } deinida pela lei (x) = x é sbrejetra, pis, para td element y, existe element x tal que y = x.. Funçã sbrejetra. Funçã sbrejetra Uma unçã de em é sbrejetra se, e smente se, para td y pertencente a existe um element x pertencentea tal que : Em símbls (x) = y é sbrejetra y, y, x, x / ( x) = y Observems que para td element de cnverge pel mens uma lecha. -

2 . Funçã sbrejetra. Funçã injetra ) unçã de = em = y R / y deinida pr (x) = x + é sbrejetra pis, para td y, existe x, tal que y = x +, bastand para iss tmar R { } x = y u x = y Exempls: ) unçã de = {,,, } em = {,,, 7, 9} deinida pela lei (x) = x + é injetra, pis, dis elements distints de têm cm imagens dis elements distints de. 7. Funçã injetra. Funçã injetra Uma unçã de em é injetra se, e smente se, quaisquer que sejam x e x de, se x x entã (x ) (x ). : Em símbls ( ) ( ) é injetra x, x, x, x x x ( x ) ( x ) Observems que nã existem duas u mais lechas cnvergind para um mesm element de Funçã injetra. Funçã injetra Ntems que a deiniçã prpsta é equivalente a uma unçã de em é injetra se, e smente se, quaisquer que sejam x e x de, se (x ) = (x ) entã x = x. : ( ) ( ) é injetra x, x, x, x x = x ( x ) = ( x ) ) unçã de =N em =N deinida pr (x) = x é injetra, pis, quaisquer que sejam x e x de N, se x x entã x x. * ) unçã de =R em =R deinida pr (x) = x - é injetra, pis, quaisquer que sejam x e x * de R, se x x entã x - x -. Em lugar de dizerms é uma unçã injetra de em pderems dizer é uma injeçã de em. 9

3 . Funçã bijetra. Funçã bijetra Uma unçã de em é bijetra se, e smente se, é sbrejetra e injetra. Em símbls : é bijetra é sbrejetra e injetra pis é sbrejetra e injetra, ist é, para td element y, existe um únic element x, tal que y = x +. Observems que para cada element de cnverge uma só lecha. ) unçã de = R em = R deinida pr (x) = x + é bijetra, pis: I) qualquer que seja y R, existe x Rtal que y = y x +, basta tmarms x =. Lg, é sbrejetra;. Funçã bijetra. Funçã bijetra deiniçã anterir é equivalente a: uma unçã de em é bijetra se, e smente se, para qualquer element y pertencente a existe um únic element x pertencente a tal que (x) = y. : é bijetra y, y, x, x / ( x) = y Em lugar de dizerms é uma unçã bijetra de em pderems dizer é uma bijeçã de em. II) quaisquer que sejam x e x de R, se x x, entã x + x +, ist é, é injetra. Observaçã: Observems que existem unções que nã sã sbrejetras nem injetras. ssim, pr exempl, a unçã der emr deinida pr x : * I) dad y R, nã existe x R tal que y = x, prtant nã é sbrejetra; II) existem x e x em R, x e x psts (e prtant x x ) tais que x = x, ist é, nã é injetra. 7. Funçã bijetra. Recnheciment através d Exempls: ) unçã de = {,,, } em = {,,, } deinida pr (x) = x + é bijetra Pela representaçã cartesiana de uma unçã pdems veriicar se é injetra u sbrejetra u bijetra. Para iss, basta analisarms númer de pnts de intersecçã das retas paralelas a eix ds x, cnduzidas pr cada pnt (, y) em que y (cntradmíni de ).

4 . Recnheciment através d. Recnheciment através d ) Se cada uma dessas retas crtar em um só pnt u nã crtar, entã a unçã é injetra. Exempls ) Se cada uma das retas crtar em um u mais pnts, entã a unçã é sbrejetra. Exempls 9. Recnheciment através d : R R ( x) = x. Recnheciment através d : R R ( x) = x Recnheciment através d : R R + ( x) = x. Recnheciment através d : R R ( x) = x

5 . Recnheciment através d. Recnheciment através d ) Se cada uma das retas crtar em um só pnt, entã a unçã é bijetra. Exempls Resum Dada a unçã de em, cnsideram-se as retas hrizntaispr (, y) cm y : ) se nenhuma reta crta mais de uma vez, entã é injetra; ) se tda reta crta, entã é sbrejetra; ) se tda reta crta em um só pnt, entã é bijetra.. Recnheciment através d : R R ( x) = x Funçã inversa Exempl preliminar Dads s cnjunts = {,,, } e = {,,, 7}, cnsiderems a unçã de em deinida pr (x) = x Recnheciment através d : R R ( x) = x x Funçã inversa Ntems que a unçã é bijetra rmada pels pares rdenads = {(, ), (, ), (, ), (, 7)} em que D() = e Im() =

6 Funçã inversa. Deiniçã relaçã - = {(y, x)/(x, y) }, inversa de, é também uma unçã, pis é uma bijeçã de em, ist é, para td y existe um únic x tal que (y, x) -. Se é uma unçã bijetra de em, a relaçã inversa de é uma unçã de em que denminams unçã inversa de e indicams pr Funçã inversa. Deiniçã Observems que a unçã é deinida pela sentença y = x, e - y + é deinidapela sentença x =, ist é: ) leva cada element x até y tal que y = x ) - leva cada element y até x tal que y + x = a ) Pela bservaçãanterir, tems: (x, y) (y, x) - gra, se cnsiderarms a unçã inversa de -, terems: (y, x) - (x, y) ( - ) - ist é, a inversa de - é a própria unçã : ( - ) - = Pdems assim airmar que e - sã inversas entre si, u melhr, uma é inversa da utra. Funçã inversa. Deiniçã unçã - é rmada pels pares rdenads - = {(, ), (, ), (, ), (7, )} em que D( - ) = e Im( - ) =. a ) O dmíni da unçã - é, que é a imagem da unçã. imagem da unçã - é, que é dmíni da unçã. - D( - ) = = Im() e Im( - ) = = D()

7 . Determinaçã da unçã inversa. Determinaçã da unçã inversa Vims n exempl preliminar que, se a unçã é deinida pela sentença aberta y = x, entã a unçã inversa - é deinida pela sentença y + x = cnstruirms cartesian da unçã, clcams x em abscissas e y em rdenadas, ist é: {(, ) / } = x y x y = x e a representarms n mesm plan cartesian de -, cm cnjunt y + = ( y, x) x / x = devems ter y em abscissa e x em rdenada. 7. Determinaçã da unçã inversa. Determinaçã da unçã inversa Observems, pr exempl, que x = e y = y + satisazem a cndiçã y = x e x =. Iss nã quer dizer que par rdenad (, ) pertença a e -. De at: (, ) e (, ) -. im de que pssams cnvencinar que: ) dada uma sentença aberta que deine uma unçã, x representa sempre primeir term ds pares rdenads e ) dis s de unções distintas pssam ser cnstruíds n mesm plan cartesian cm x em abscissas e y em rdenadas. justiica-se a seguinte regra prática.. Determinaçã da unçã inversa. Regra prática s sentenças abertas y + y = x e x = nã especiicam qual (x? u y?) é primeir term d par rdenad. 9 Dada a unçã bijetra de em, deinida pela sentença y = (x), para bterms a sentença aberta que deine -, prcedems d seguinte md: ) na sentença y = (x) azems uma mudança de variável, ist é, trcams x pr y e y pr x, btend x = (y); ) transrmams algebricamente a expressã x = (y), expressand y em unçã de x para btermsy = - (x). 7

8 . Regra prática. Regra prática Exempls ) Qual é a unçã inversa da unçã (x) bijetra em R deinida pr (x) = x +? unçã dada é: ( x) = y = x. plicand a regra prática: I) permutand as variáveis: x = y II) expressandy em unçã de x: x = y y = x Respsta:É a unçã - emr deinida pr ( x) = x. Regra prática. Prpriedades ds s de e - unçã dada é ( x) = y = x +. plicand a regra prática: I) permutand as variáveis: x = y + II) expressandy em unçã de x: x x = y + y = x y = Respsta:É a unçã - emr deinida pr x ( x) = Os s cartesians de e - sã simétrics em relaçã à bissetriz ds quadrantes e d plan cartesian. Exempls: Vams cnstruir n mesm diagrama s s de duas unções inversas entre si: ) ( x) x e ( x) = = = = x + ) ( x) x e ( x) x x = x e x = x ) ( ) ( ) 7. Regra prática. Prpriedades ds s de e - Exempls x + ) y = x y = ) Qual é a unçã inversa da unçã (x) bijetra em R deinida pr (x) = x? x y x y

9 . Prpriedades ds s de e -. Prpriedades ds s de e Prpriedades ds s de e -. Prpriedades ds s de e - ) y = x y = x ) y = x y = x x y 9 x y x 9 y x y Prpriedades ds s de e -. Prpriedades ds s de e

10 . Prpriedades ds s de e