( ) Logaritmos. Logaritmos. a é a base do logaritmo, b é o logaritmando, x é o logaritmo. Exemplos
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Lgritms. Cneit de lgritm Definiçã Send e númers reis e psitivs, m, hm-se lgritm de n se epente que se deve dr à se de md que ptêni tid sej igul. Em símls: se, R, 0 < e > 0, entã: lg Prf.: Rgéri Dis Dll Riv Lgritms. Cneit de lgritm.cneit de lgritm.antilgritm.cnsequênis d definiçã.sistems de lgritms.prprieddes ds lgritms 6.Mudnç de se Em lg, dizems: é se d lgritm, é lgritmnd, é lgritm.. Cneit de lgritm. Cneit de lgritm Lemrems que n estud de equções e inequções epneniis, feit nterirmente, só trtms ds ss em que pdíms reduzir s ptênis à mesm se. Se quiserms reslver equçã, sems que ssume um vlr entre e, pis < <, ms m s nheiments dquirids té qui nã sems qul é esse vlr nem press pr determiná-l. A fim de que pssms reslver este e utrs prlems, vms iniir gr estud de lgritms. Eempls ) lg 8, pis 8 ) lg, pis 9 9 ) lg, pis ) lg 0, pis 0 ) lg 8, pis ( ) 8 0, 6 ) lg, pis 0, 6
2 . Cneit de lgritm. Antilgritm Cm s restrições impsts (, R, 0 < e > 0), dds e eiste um úni lg. A perçã, pel qul se determin lgritm de ( R e > 0) num dd se ( R e 0 < ), é hmd lgritmçã e resultd dess perçã é lgritm. Eempl : Clule pel definiçã s seguintes lgritms: ) lg 8 8 ) lg ) lg 0, 0. Antilgritm. Antilgritm Sejm e númers reis psitivs m ; se lgritm de n se é, entã é ntilgritmde n se. Em símls, se, R, 0 < e > 0, entã: lg ntilg Eeríi : Clule pel definiçã s seguintes lgritms: 8 8 ) lg ) lg8 8 ) lg0, (0,) 8. Antilgritm. Cnsequênis d definiçã Eempls ) ntilg 9, pis lg9 8 8 ) ntilg, pis lg ) ntilg ( ), pis lg Derrem d definiçã de lgritms s seguintes prprieddespr 0 <, > 0. ) O lgritm d unidde em qulquer se é igul 0. lg 0 ) O lgritm d se em qulquer se é igul. lg 9
3 . Cnsequênis d definiçã. Sistems de lgritms ) A ptêni de se e epente lg é igul. lg ) Dis lgritms em um mesm se sã iguis se, e smente se, s lgritmnds sã iguis. lg lg ) sistem de lgritms deimis é sistem de se 0, tmém hmd sistem de lgritms vulgres u de Briggs (Henry Briggs, mtemáti inglês (6-60), quem primeir destu vntgem ds lgritms de se 0, tend pulid primeir táu (tel) ds lgritmsde 000 em 6). Indirems lgritm deiml pel ntçã lg 0 u simplesmentelg. 6. Cnsequênis d definiçã. Sistems de lgritms Eeríi : Clule vlr de: ( lg ) lg lg ) 8 + lg ) lg ) sistem de lgritms neperins é sistem de se e (e,88 númer irrinl), tmém hmd de sistem de lgritms nturis. O nme neperin vem de Jhn Npier, mtemáti esês (0-6), utr d primeir trlh pulid sre teri ds lgritms. O nme nturl se deve ft de que n estud ds fenômens nturis gerlmente pree um lei epnenil de se e. Indirems lgritm neperin pels ntções lg e u ln. Em lgums pulições tmém enntrmss ntçõeslg u L.. Sistems de lgritms. Prprieddes ds lgritms Chmms de sistem de lgritms de se njunt de tds s lgritms ds númers reis psitivs em um se (0 < ). Pr eempl, njunt frmd pr tds s lgritms de se ds númers reis e psitivs é sistem de lgritmsn se. Entre infinidde de vlres que pde ssumir se e, prtnt, entre infinidde de sistems de lgritms, eistem dis sistems de lgritms prtiulrmente imprtntes, que sã: ) Lgritm d prdut Em qulquer se (0 < ), lgritm d prdut de dis ftres reis psitivs é igul à sm ds lgritms ds ftres. Em símls: Se 0 <, > 0 e > 0, entã lg lg + lg 8
4 . Prprieddes ds lgritms. Prprieddes ds lgritms Demnstrçã Fzend lg, lg y e lg (.) z, prvemsque z + y. lg lg lg y z y z + y y z + y z z ) Lgritm d quiente Em qulquer se (0 < ), lgritm d quiente de dis númers reis psitivs é igul à diferenç entre lgritm d dividend e lgritm d divisr. Em símls: Se 0 <, > 0 e > 0, entã lg lg lg 9. Prprieddes ds lgritms. Prprieddes ds lgritms Oservçã Est prpriedde pde ser estendid pr s d lgritm d prdut de n (n ) ftres reis e psitivs, ist é: Se 0 < e,,,, n R ( ) lg lg + lg + lg + lg n n Demnstrçã Fzend lg, lg y e lg (/) z, prvemsque z - y. lg y z z y lg y z y y z lg z 0. Prprieddes ds lgritms. Prprieddes ds lgritms Eempls ) lg lg + lg ) lg lg + lg + lg Eempls ) lg lg lg ) lg lg( ) lg lg + lg lg ) lg lg lg lg lg + lg lg lg lg [ ]
5 . Prprieddes ds lgritms. Prprieddes ds lgritms Clgritm Chm-se lgritm de um númer ( Re > 0), num se ( R e 0 < ), pst d lgritm de n se. Em símls: Se 0 < e > 0, entã lg lg Demnstrçã Fzend lg e lg y, prvems que y.. lg y y ( ) y y lg y 8. Prprieddes ds lgritms. Prprieddes ds lgritms Eempls ) lg lg ) lg lg ) lg lg lg lg + lg Eempls ) lg lg ) lg lg lg ) lg lg lg 6 9. Prprieddes ds lgritms.. Oservções ) Lgritm d ptêni Em qulquer se (0 < ), lgritm de um ptêni de se rel psitiv e epente rel é igul prdut d epente pel lgritm d se d ptêni Em símls Se 0 <, > 0 e R, entã lg lg As prprieddes ) lg lg + lg ) lg lg lg ) lg lg válids m s devids restrições pr, e, ns permitem ter lgritm de um prdut, de um quiente u de um ptêni, nheend smente s lgritms ds terms d prdut, ds terms d quiente u d se de ptêni. 0
6 .. Oservções.. Oservções Ntems impssiilidde de ter lgritm de um sm u de um diferenç pr mei de regrs nálgs às dds. Assim, pr enntrrms lg ( + ) e lg ( - ) devems, respetivmente, lulr iniilmente ( + ) e ( ). Eeríi : Desenvlv, plind s prprieddes ds lgritms (, e sã reis psitivs): ) lg lg ( ) lg lg + lg + lg lg + lg + lg lg ) lg lg lg lg + lg lg lg + lg lg.. Oservções.. Oservções As epressões que envlvem smente s perções de multipliçã, divisã e pteniçã sã hmds epressões lgrítmis, ist é, epressões que pdem ser lulds utiliznd lgritms, m s restrições já nheids. Assim, pr eempl, epressã A * * em que,, R +,, R e n N, pde ser luld plind lgritms. Eeríi : Desenvlv, plind s prprieddes ds lgritms (, e sã reis psitivs): ) lg lg lg lg lg lg + lg lg lg lg lg lg.. Oservções.. Oservções Vej eempl i: A lg A lg lg A lg lg lg A lg + lg lg n lg A lg + lg lg lg A lg + lg lg n Eeríi : Qul é epressã uj desenvlviment lgrítmi é: + lg lg lg (, e sã reis psitivs) + lg lg lg lg + lg (lg + lg ) + lg (lg lg ) lg lg ( ) A epressã é lg 6 6
7 6. Mudnç de se 6. Mudnç de se Há siões em que lgritms em ses diferentes preism ser nvertids pr um úni se nveniente m, pr eempl, n pliçã ds prprieddes pertóris. Vejms press que permite nverter lgritm de um númer psitiv, em um ert se, pr utr em se nveniente. Eempls ) lg nvertid pr se fi: lg lg lg ) lg nvertid pr se 0 fi: lg0 lg lg 0 ) lg00 nvertid pr se 0 fi: lg l 0 g lg 0 lg00 0 lg Mudnç de se 6. Mudnç de se Se, e sã númers reis psitivs e e diferentes de, entã tem-se: lg lg lg Eeríi : Send que lg e, 0 lg0 lule lg Ntnd que e 0, tems: 8 0 lg0 lg0 lg0 0 lg0 lg0 lg0 lg lg0 0 lg0 lg0 6. Mudnç de se Demnstrçã Cnsiderems lg, lg y e lg z e ntemsque z 0, pis. Prvemsque y/z. lg y z y y lg y ( ) z y z z lg z 9
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