Matemática tica Discreta Módulo Extra (4)

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1 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Enenharia da Computação Matemática tica Discreta Módulo Extra (4) Pro. Jore Cavalcanti - 1

2 Introdução Proramas = Dados + Aloritmos Proramas = Tipos de Dados + Funções Proramas = (Objetos + Operações) + Funções Proramas = Objetos + ( Operações + Funções) Cateorias = Objetos + Morismos Adaptado de Haeuler, E. H., Notas de Aula, PUC-Rio 2

3 Introdução Teoria das Cateorias estuda objetos e morismos (setas) entre eles. Ela é uma eneralização da teoria dos conjuntos e das unções: Objetos = Conjuntos estruturados; Morismos = unções. Fornece uma erramenta para a descrição abstrata de problemas de matemática. Fornece uma estrutura para o estudo de semântica de linuaens de proramação. 3

4 Revisão Composição de Funções Sejam : A B e : B C, então a unção o : A C, é uma unção deinida por ( o )(a) = [(a)] onde a A. A unção o é chamada de composição de e. Ex. 1: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9} e C={10,11,12,13}. Sejam : A B e : B C, deinidas por: = {(1,6), (2,6), (3,9), (4,7), (5,7)} = {(6,10), (7,11), (8,12), (9,13)} Então = {(1,10), (2,10), (4,11), (5,11)} ( o )(2) = [(2)] = [6] = 10 A B C 4

5 Revisão Composição de Funções Ex. 2: Sejam, : dada por (x) = x 2 +1 e (x)=2x-3. Quanto vale ( o )(4)? ( o )(4) = [(4)] = (4 2 +1) = (17) = 2(17)-3 = 31. De modo eral: ( o )(x) = [(x)] = (x 2 +1) = 2(x 2 +1) -3 = 2x = 2x 2-1 Por que o e não o? A notação o siniica que primeiro calculamos e em seuida (em o (a), está mais próximo de (a)). O domínio de o é o mesmo domínio de. A existência da unção o, não asseura a deinição de o. Veja (6) no Ex. 1. Quando ambas são deinidas, eralmente o o. 5

6 Revisão Composição de Funções Ex. 3: Sejam A={1,2,3,4,5}, : A A e : A A, deinidas por: = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)} ={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} Então o e o são: o = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5)} o = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)} o o Exercício: Sejam, : dada por (x) = x 2 +1 e (x)=2x-3. Mostre que: a) ( o )(4) ( o )(4) b) ( o )(x) ( o )(x) 6

7 Revisão Composição de Funções Associatividade Sejam os conjuntos A, B, C e D e sejam : A B, : B C e h: D C, então: h o ( o ) = (h o ) o [h o ( o ) (a)] = h [( o ) (a)] = h[[(a)]] [(h o ) o ](a) = (h o ) [(a)] = h[[(a)]] Loo: h o ( o ) = (h o ) o 7

8 Revisão Função Identidade Seja um conjunto A. A unção identidade em A (Id A ) é a unção cujo domínio é A e para todo a A, Id A = a, ou (a) = a. Id A = [(a,a) a A] Sejam os conjuntos A e B, : A B, então: o Id A = Id B o = ( o Id A ) (a)= (Id A (a)) = (a) = (Id B o ) (b)= Id B ( (b)) = Id B (b) = Ex.: Seja A={1,2,3}, B={4,5,6}, : A B dada por :{(1,4), (2,5), (3,6)}. Veriique que o Id A = Id B o = Id A = {(1,1), (2,2), (3,3)} Id b = {(4,4), (5,5), (6,6)} o Id A = [Id A ] = {(1,4), (2,5), (3,6)} = Id B o = Id B [] = {(1,4), (2,5), (3,6)} = 8

9 Deinição Uma cateoria C contém: 1. Uma coleção Ob C de objetos, denotados por a; b;... ;A;B;...; 2. Uma coleção Mor C de morismos (setas), denotadas por ; ;...; 3. As operações dom e cod atribuindo para cada seta dois objetos, respectivamente domínio (oriem) e codomínio (destino) de. 4. Uma operação id associando a cada objeto a um morismo id a (a identidade de a) tal que dom(id a ) = cod(id a ) = a; 5. Uma operação o (composição) associando a cada par de setas e, uma seta o. : A B, : B C o : A C A B C o 9

10 Deinição A Identidade e a Composição devem satisazer: 1 - Lei da identidade Para qualquer unção : A B tem-se que: o id a = id b o = 2 - Lei da associatividade Para quaisquer setas, e h, tal que dom() = cod() e dom() = cod(h), ( o ) o h = o ( o h). 10

11 Notação : a b denota um morismo com oriem a e destino b; Dados dois objetos a e b, o conjunto de todos os morismos, tal que : a b é denotado por C[a,b]. Assim, C[a,b] siniica que dom() = a e cod() = b. Um morismo em que coincidem oriem e destino é chamado de endomorismo; Uma cateoria C é pequena se ObC e MorC são conjuntos. Caso contrário a cateoria é dita rande. 11

12 Exemplos de cateorias: 12

13 A Cateoria Set Para comprovar que Set é uma cateoria basta, veriicar a associatividade de unções e a identidade: Set = [Ob set, Mor set, dom, cod, id set, o) 13

14 Outras Cateorias pequenas: Cateoria Vazia É a menor cateoria, que não possui objetos nem morismos: [,,,,,,] Cateoria 1 É ormada somente com 1 objeto e 1 morismo (a identidade desse objeto). A Cateoria Cateoria com 02 objetos e 02 morismos (identidades). A B Cateoria 2 É uma cateoria com 02 objetos e 03 morismos. A B 14

15 Diaramas Usados para representar cateorias e suas propriedades. : a b a b Ex.: Sejam os morismos : a b, : a c e h: c b, então seu diarama é: a b h Em um diarama, objetos podem icar isolados. Em um diarama, objetos e setas podem ser repetidos. c 15

16 Diaramas Representando identidade: a b a b ou Id a Quando a composição de todos os caminhos entre 2 objetos em um diarama são iuais, dizemos que o diarama comuta ou é comutativo. Sejam : a b, : b c h = o h: a c a a b h c 16

17 Diaramas Lei da identidade Sejam : b a, : a c, id a o = e o id a = ; b a Id a Lei da associatividade a c Sejam : c d, : b c, h: a b, ( o ) o h = o ( o h). c b a h d c b a c h b d ou a ( o ) o h o ( o h) d 17

18 Morismos (setas) Os seuintes morismos podem ser veriicados: Monomorismo Epimorismo Isomorismo Podem ser vistos como eneralizações dos seuintes tipos de unções: Injetora Sobrejetora Bijetora 18

19 Monomorismo Uma unção : A B é dita injetora, se e somente se, para quaisquer a, b A, tem-se que: Se (a) = (b), então a=b Considere que existem, h: X A, x X, x X, o (x) = o h(x) x X, ((x)) = (h(x)) x X, (x) = h(x) = h Então : A B é um monomorismo (injetora), se e somente se: o = o h o = o h X A B h então = h 19

20 Epimorismo Uma unção : A B é dita sobrejetora, se e somente se: ( b B)( a A)((a)=b) Considere que existem, h: B X, b B, a A tal que (a)=b e ((a))=h((a)) b B, (b) = h(b) = h Então : A B é um Epimorismo (sobrejetora), se e somente se: o = h o o = h o A B h X então = h 20

21 Isomorismo Uma unção : A B é dita bijetora, se or simultaneamente injetora e sobrejetora. Intuitivamente, essa deinição é de que toda unção bijetora, ao ser invertida, ainda é uma unção. Então um morismo : A B é um Isomorismo (bijetora) se e somente se possui um morismo inverso, ou seja exista um : B A, tal que: a) é um morismo inverso à esquerda de : o = Id A b) é um morismo inverso à direita de : o = Id B a b o = Id A e o = Id B 21

22 Exercícios 1. Analise os diaramas abaixo e assinale as cateorias válidas (a identidade está implícita). a) A B C b) A B h C c) A B ) ) A C B C 22