Derivadas parciais de ordem superior

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Victorio Pinhal Lobo
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 21 Assunto: Derivadas parciais de ordem superior e máximos e mínimos Palavras-chaves: derivadaderivada parcial ordem de derivação ordem

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 21 Assunto: Derivadas parciais de ordem superior e máximos e mínimos Palavras-chaves: derivadaderivada parcial ordem de derivação ordem superior máximos e mínimos Derivadas parciais de ordem superior Seja uma unção de n variáveis reais a valores reais. As derivadas parciais de são também chamadas de derivadas parciais de primeira ordem de. Assim como essas derivadas parciais são unções de n variáveis reais a valores em R e então podemos calcular as derivadas parciais dessas unções essas derivadas são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de. Podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parcias de segunda ordem de para obtermos as derivadas parciais de terceira ordem de e assim prosseguimos. É claro que há casos em que alguma derivada parcial de alguma ordem pode não existir. aquelas unções para as quais todas as derivadas parciais de todas as ordens existem. Mas existem As derivadas parciais de uma unção que tenha por exemplo de duas variáreis (z = (x )) são denotadas e calculadas como segue. Derivadas parciais de 1 ordem: Derivadas de 2 ordem: 2 = ( ) = ( ) = ( ) 2 = ( ) Derivadas parciais de 3 ordem: 3 = 2 2 = 2 = 2 =

2 2 = = 2 = 2 3 = 2 Dessa orma prosseguimos. Há outras notações para as derivadas parciais de ordem superior. A seguir temos um exemplo. = x 2 2 = xx = = x 3 3 = xxx = xx 2 = xx Nesta notação temos que As derivadas parciais e x = ( x ) xx = ( x ) x xx = ( x ) x 2 são chamadas de derivadas parciais mistas. Exemplo 1 Calcule as derivadas parciais de até terceira ordem da unção (x ) = x x x Resolução: Derivadas parciais de 1 ordem: (x ) = 5x x (x ) = 3x x Derivadas parciais de 2 ordem: 2 (x ) = 20x x 4 (x ) = 15x x 2 3 (x ) = 15x x (x ) = 6x5 + 12x 3 2 2

3 Observamos que 2 = 2. Derivadas parciais de 3 ordem: 3 (x ) = 60x (x ) = 60x x 3 (x ) = 60x x 3 2 (x ) = 30x4 + 36x (x ) = 60x x 3 (x ) = 30x4 + 36x (x ) = 30x4 + 36x (x ) = 6x5 + 24x 3 Há outros casos de igualdades entre essas derivadas parciais de 3 ordem. Exemplo 2 Seja (x ) = x 3 x se (x ) (0 0) 0 se (x ) = (0 0) Calcule 2 (0 0) e 2 (0 0) Resolução: Primeiramente calculemos (x ). Consideremos primeiro o caso em que (x ) (0 0). Assim teremos No ponto (0 0) temos ( x 3 ) (x ) = x = 3x2 (x ) x 3.2x (x ) 2 = 3x4 + 3x 2 3 2x 4 (x ) 2 = x4 + 3x 2 3 (x ) 2 (x 0) (0 0) 0 (0 0) x 0 x 0 x 0 x = 0 3

4 Portanto (x ) = x 4 + 3x 2 3 (x ) 2 se (x ) (0 0) 0 se (x ) = (0 0) Logo (0 0) 0 0 Calculemos agora (x ) para (x ) (0 0). Para (00) temos (0 ) (0 0) = 0 (x ) = ( x 3 ) x = x3 (x ) x 3.2 (x ) 2 = x5 + x 3 2 2x 3 2 (x ) 2 = x5 x 3 (x ) 2 Assim (0 ) (0 0) (0 0) = 0 (x ) = x 5 x 3 (x ) 2 se (x ) (0 0) 0 se (x ) = (0 0) Logo (0 0) x 0 (x 0) (0 0) x 0 x 5 x 0 x x = 1 Portanto (0 0) = 0 e (0 0) = 1 Logo (0 0) 2 (0 0) 4

5 Podemos nos perguntar então que condição uma unção deve satisazer para que tenhamos (x ) = 2 (x ) Para responder a essa pergunta precisamos do seguinte conceito. Uma unção z = (x ) denida em um conjunto aberto A é de classe C n em A se existem todas as derivadas parciais de ordem n em A e se tais derivadas parciais são contínuas. Teorema 1 (Teorema de Schwarz) Seja z = (x ) uma unção denida em um conjunto aberto A. Se (x ) or de classe C 2 em A então. para todo (x ) em A. (x ) = 2 (x ) Esse teorema é também conhecido por teorema de clairaut ou por teorema de clairaut - Schwarz. Se as derivadas parciais de primeira ordem de são também unções de classe C 2 em um aberto A podemos aplicar o teorema de Schwarz a elas para obtermos igualdades entre as derivadas parciais de terceira ordem. Por exemplo pois 2 = Exemplo 3 Seja z = (x + )e x. Mostre que 2 = 3 ( ) = ( ) = 3 Resolução: x 2 z + 2 z 2 = 0 Temos que 5

6 z = 1.e x x + (x + )e ( x ) [ 2 = 1 (x + ) x ] 2 e x [ 2 x 2 ] x = e x 2 = (2 x 2 x)e x 2 Logo Temos também que 2 z 2 = x [(2 x)e + ( 2 x 2 x)e x ] 2 ( 2 x 2 x)e x 2 4 = (23 x 2 )e x x( 2 x 2 x)e x 2( 2 x 2 x)e x 4 = 2 3 x 2 x 2 + x 3 + x x 2 +2x 2 e x = x3 + 3x 2 4 e x 4 2 z = 1 [ 2 ( 2x )e x + ( 2 x 2 x)e x 1 ] = 1 [ 2 2x + 2 x 2 x = 1 [ 2x 2 2 = 3x x2 3 e x + 2 x 2 x ] e x ] e x Assim teremos x 2 z + 2 z 3x x2 2 = x 3 e x x 3 + 3x e x = 3x2 + x 3 3 e x + x 3 + 3x 2 3 e x = 0 Máximos e mínimos Sejam (x ) uma unção a valores reais A um subconjunto do domínio de (x ) e (x 0 0 ) A. Dizemos que (x 0 0 ) é um ponto de máximo de (x ) em A se 6

7 (x ) (x 0 0 ) ( (x ) A) Neste caso (x 0 0 ) é chamado de valor máximo de em A. Diremos que (x 0 0 ) D é um ponto de máximo global(ou absoluto) de se (x ) (x 0 0 ) ( (x ) D ) Neste caso (x 0 0 ) é dito o valor máximo de. O ponto (x 0 0 ) D é chamado de ponto máximo local de (x ) se existir uma bola aberta B tal que (x ) (x 0 0 ) ( (x ) B D ) A se Se A é um subconjunto de D e (x 0 0 ) A diremos que (x 0 0 ) é um ponto de mínimo de (x ) em (x ) (x ) ( (x 0 0 ) A) Neste caso dizemos que (x 0 0 ) é o valor mínimo de (x ) em A. Um ponto (x 0 0 ) D é dito ponto de mínimo global (ou absoluto) de (x ) se (x ) (x 0 0 ) ( (x ) D ) Neste caso diremos que (x 0 0 ) é o valor de mínimo de (x ). Um ponto (x 0 0 ) é chamado de ponto mínimo local de (x ) se existir uma bola aberta B tal que (x 0 0 ) (x ) ( (x ) B D ) Os pontos de máximo e os de mínimo de (x ) são chamados de extremantes de. Exemplo 4 1. O ponto (0 0) é ponto de máximo global de Essa unção não tem ponto de mínimo global 1 x O valor máximo de (x ) é O ponto (0 0) é ponto de mínimo global de (x ) = x e o valor de mínimo de (x ) é O ponto (1 1) é ponto de máximo de (x ) = x em A = {(x ) R 2 ; 0 x 1 e 0 1}. O valor máximo de (x ) em A é 2. O ponto (0 0) é o ponto de mínimo de (x ) em A e o valor mínimo de (x ) em A é 0 4. Todos os pontos da circunerência de centro na origem e raio 1 são ponto de máximo de (x ) = x em A = {(x ) R 2 ; x }. O valor máximo de (x ) em A é 1 7

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