Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que.

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1 FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L HÔPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o ite. Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores initos quando a, digamos α e β, e β, então pela álgebra dos ites sabemos que = α β. Mas o que acontece quando ambas as unções tendem para zero? Neste caso, não podemos garantir à partida qual o valor do ite. De acto, nem podemos garantir que este ite eista, como se pode comprovar nos eemplos seguintes: 2 = = 2 = 2 = 2 sin 2 não eiste ) = 2 2 sin 2 ) = = = Todos estes casos são eemplos de indeterminações do tipo ). Veremos que a regra de L Hôpital, que demonstraremos a seguir, é um instrumento muito útil para tratar indeterminações do tipo ) ou ). Para outras ormas indeterminadas,,, e, eistem técnicas que podem ser aplicadas de modo a transormá-las em indeterminações do tipo ) ou ), de modo que a regra de L Hôpital pode igualmente ser usada. Eistem várias demonstrações da regra de L Hôpital, e mesmo dierentes versões desta regra. A demonstração mais usual da regra é devida a Cauchy e az uso do chamado Teorema do Valor Médio de Cauchy, também conhecido por Teorema do Valor Médio Generalizado. Neste teto, no entanto, optámos por apresentar uma demonstração alternativa que evita o uso deste teorema. Teorema Regra de L Hôpital). Sejam, g : [a, b) R unções dierenciáveis em a, b) e tais que = = = ou = = ± Se g ) para todo o a, b), então + = ) + g ), desde que este último ite eista ou seja igual a ± ). O mesmo resultado é válido quando: se consideram ites à esquerda e e g dierenciáveis no intervalo d, a);

2 2 RICARDO MAMEDE se consideram ites e e g são dierenciáveis nos intervalos d, a) e a, b); se consideram os ites ou e e g são dierenciáveis no intervalo b, ) ou, b). Demonstração. Comecemos por mostrar que todas estas versões podem ser reduzidas ao caso com, ou, +, através de mudanças de variável adequadas e outras manipulações. ) Quando +, a mudança de variável u = / permite escrever + = /u) u + g/u) L = H /u) )/u 2 u + g /u) )/u = ) 2 + g ). 2) Quando, eectuamos a mudança de variável u = / e procedemos como em ). 3) Quando, consideramos os ites e + separadamente e tratamos este último ite usando a substituição u =. 4) O caso a reduz-se ao anterior através da substituição u = a. 5) Se ou substituímos por ou g por g. 6) Finalmente, quando / =, substituímos por ou g por g para reduzir este caso ao ite / =. De seguida aplicamos a regra de L Hôpital a /. Temos então dois casos a tratar: a),, e b),, +. Caso a). Podemos deinir se necessário) ) = g) = e considerar g ) > caso contrário utilizamos a unção ). Suponhamos que )/g ) = l, com l <. Então, dado ɛ > temos l ɛ ) g ) l + ɛ, para suicientemente próimos de, à esquerda. Como estamos a supor g ) >, obtemos l ɛ)g ) ) l + ɛ)g ). De seguida, integrando os membros desta epressão no intervalo, ) temos l ɛ) l + ɛ). Notemos que uma vez que e g ) >, temos < no intervalo, ). Assim, podemos escrever l ɛ l + ɛ, ou seja, = l. Caso b). A demonstração que eectuámos pode ser adaptada para tratar o caso b). Suponhamos )/g ) = l, com l <, e g ) >. Então, dado ɛ > podemos escrever, tal como no caso anterior, l ɛ)g ) ) l + ɛ)g ),

3 3 para suicientemente próimos de, à esquerda. Consideremos a segunda desigualdade. Considerando y <, integrando ambos os membros desta desigualdade sobre o intervalo y, ), obtemos y) l + ɛ)[ gy)]. Notemos que uma vez que g ) > e, podemos concluir que >. Assim, podemos escrever y) l + ɛ)gy) l + ɛ). Fiemos y. Então, para suicientemente próimo de, à esquerda, o segundo membro desta desigualdade é inerior a ɛ, pelo que l 2ɛ. De modo análogo obtemos 2ɛ l, para suicientemente próimo de, à esquerda, donde se conclui que / = l. Notemos que pode acontecer que, nas condições deste teorema, também as unções ) e g ) tendam para zero ou ininito). Neste caso, o ite de )/g ) não pode ser calculado directamente, mas podemos voltar a usar a regra de L Hôpital para calcular este ite analisando o quociente )/g ). Mais geralmente, se as unções,,..., k, g, g,..., g k tendem para zero quando tende para a + ou a, ou a, ou ±, e k )/g k ) l, então também / l. sin Eemplo. Calculemos o ite. Estamos perante uma indeterminação do tipo. As unções = sin) e = estão nas condições do teorema anterior, pois ambas as unções são dierenciáveis numa vizinhança de zero e g ) =, para todo o. Como ) = g ) cos) =, pela regra de L Hôpital concluímos que sin = Eemplo 2. Consideremos agora o seguinte ite:. Trata-se de uma ) 2 indeterminação e as unções = e = ) 2 satisazem as ) condições da regra de L Hôpital. No entanto, o ite g ) = ) ainda é uma indeterminação. As unções ) e g ) também satisazem as condições da regra ) e g ) = 5 2 = 5. Concluímos assim que = ) 2 2 ) = 5 2. Eemplo 3. Calculemos o ite 2 +e. Trata-se de uma indeterminação ; as unções = 2 e = + e são dierenciáveis em R e g ) = e para

4 4 RICARDO MAMEDE todo o R. Como ) 2 = g ) é novamente uma indeterminação, e consideramos o ) = g ) 2 =. Podemos então concluir que e 2 + e = ) g ) = ) g ) =. Antes de apresentarmos mais eemplos, convém chamar a atenção para a importância de se veriicarem as hipóteses da regra antes de a utilizar. Em primeiro lugar a regra não unciona se o ite / não or uma indeterminação do tipo ) ou ), como se pode veriicar no eemplo seguinte. + Eemplo 4. O ite não eiste, mas se tentarmos aplicar a regra de L Hôpital obtemos uma resposta errada: + = =. A razão reside no acto do ite inicial não ser uma indeterminação do tipo ) ou ). Outro ponto a ter em conta ao usarmos a regra de L Hôpital, é o acto de só podermos assegurar a igualdade + = ) + g ) quando o segundo ite eiste. condição suiciente para a eistência de + Apesar da eistência do ite + ) g ) ser uma se as unções estiverem nas condições do teorema ), esta não é uma condição necessária. Ou seja, se o ite + ) g ) não eistir não podemos tirar qualquer conclusão acerca da eistência do ite +, como se pode comprovar nos próimos eemplos. Eemplo 5. Indeterminações do tipo ) Se = 2 sin/) e = sin), então o ite ) não eiste, enquanto g ) que =. Por outro lado, se = sin/) e = sin), nenhum dos ites ) e g ) eiste. Eemplo 6. Indeterminações do tipo ) Se = 2 + sin ) e = 2 +, então o ite ) não eiste, enquanto g ) que =. Por outro lado, se = 2 + sin ) e = 2 +, nenhum dos ites ) g ) e eiste. Eiste ainda um terceiro actor a ter em conta: a eistência de zeros de g ) numa vizinhança a, b) do ponto a. Se a unção g ) se anula em qualquer intervalo aberto da orma a, b), então )/g ) não se encontra deinido em a, b) e podemos airmar que o ite ) + não eiste. Eiste, contudo, a possibilidade de e g possuírem g ) um actor comum: ) = s)ψ) e g ) = s)ω), tal que o ite ψ)/ω) eiste. É natural cancelar o actor s), mas pode acontecer que ψ) + eista mas ω)

5 5 não eista, como se pode veriicar no eemplo seguinte onde consideramos o caso a = ). + Eemplo 7. Sejam = 2 +cos) sin)) e = esin). Temos = e =. Tentemos aplicar a regra de L Hôpital ao quociente /. Temos de considerar )/g ), onde e ) = cos 2 ) g ) = cos 2 )e sin) + cos)e sin). Segue que g ) = sempre que cos) =, isto é, a unção g tem zeros em todos os intervalos da orma b, ), e portanto, não podemos aplicar a regra de L Hôpital. Calculemos, todavia, o ite de )/g ). Após cancelarmos um dos actores cos), obtemos ) g ) = cos cos)e sin) + e sin), e podemos veriicar que ) g ) =, pois os termos cos), cos)esin) e e sin), são itados e. No entanto, = e sin) não se pode aproimar de zero quando uma vez que e sin) é uma unção itada. Vamos de seguida descrever métodos para, mediante manipulações algébricas, transormar qualquer uma das restantes ormas indeterminadas,,, e numa indeterminação do tipo ou, sobre as quais podemos usar a regra de L Hôpital. Com as notações óbvias, temos: ) ) = = ) ) ) = = ) ) ) = e ln[)] = e ln ) ) ) = e ln[)] = e ln ) ) ) = e ln[)] = e ln )

6 6 RICARDO MAMEDE Eemplo 8. Calculemos ln. Trata-se de uma indeterminação. Seguindo + a tabela anterior, azemos ln ln = + + / ) ln ) / = + = ) + / = =. 2 + Eemplo 9. Consideremos agora o ite + ). Estamos perante uma indeterminação do tipo. Assim, sin) temos: + sin) ) = sin) + sin) Eemplo. O ite + ) é um eemplo de uma indeterminação. Comecemos por escrever /) sin) ) cos) = = + sin)) + sin) + cos) cos) ) = = + sin) + cos)) + /) sin) 2 cos) sin) =. + = ) e ln+ ). O epoente representa uma indeterminação. Temos: ln + ) ln + = ) /) ln + = )) = ) + Portanto, + = e ) = e. Eemplo. Consideremos agora o ite +. Trata-se de uma indeterminação. Seguindo a inormação da tabela anterior, podemos escrever: = e ln. + + No eemplo 8 vimos que + ln) =, donde se conclui que = e =. + Eemplo 2. Consideremos por im um eemplo de uma indeterminação. Calculemos o ite e + 7). Temos e + 7) = e lne +7). =.

7 7 Calculemos o ite do epoente, o qual se trata de uma indeterminação / : Deste modo, lne + 7) = lne + 7)) = e e + 7 / ) e ) e = = e + 7) e =. e + 7) = e = e. Reerências [] T.M. Apostol, Calculus, Vol. : One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 2, John Wiley & Sons Inc., 967. [2] R.P. Boas, Countereamples to L Hopital s Rule, Amer. Math. Monthly 93, , 986. [3] R.P. Boas, Indeterminate Forms Revisited, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 3 Jun., 99), pp