UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 20. Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiente

Transcrição

1 Assuno: Derivada direcional UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 20 Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiene Derivada Direcional Sejam z = fx, y) uma função e x 0, y 0 ) um pono inerior de D f. A derivada parcial de f, em relação a x, no pono x 0, y 0 ) é denida por A diferença x x fx 0 +, y 0 ) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0 fx 0 +, y 0 ) fx 0, y 0 ) é a variação de f enre os ponos x 0, y 0 ) e x 0 +, y 0 ). Tais ponos esão sobre a rea horizonal que passa por x 0, y 0 ). A disância enre esses ponos é. Diremos enão que o quociene fx 0 +, y 0 ) fx 0, y 0 ) é a axa de variação de f enre os ponos x 0, y 0 ) e x 0 +, y 0 ) e que a derivada parcial x x 0, y 0 ) é a axa de variação de f no pono x 0, y 0 ). Observamos que a derivada parcial x x 0, y 0 ) leva em cona somene os valores de f ao londo da ciada rea horizonal e nas proximidades do pono x 0, y 0 ). De maneira análoga a derivada parcial de f, em relação a y, no pono x 0, y 0 ) é denida por y x fx 0, y 0 + ) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0

2 A diferença fx 0, y 0 + ) fx 0, y 0 ) é a variação da função f enre os ponos x 0, y 0 ) e x 0, y 0 + ). Esses ponos esão sobre a rea verical que passa por x 0, y 0 ) e a disância enre eles é. O quociene fx 0, y 0 + ) fx 0, y 0 ) é a axa de variação de f enre esses ponos. A derivada parcial y x 0, y 0 ) é a axa de variação de f no pono x 0, y 0 ). A derivada parcial de f, em relação a y, no pono x 0, y 0 ) leva em cona os valores de f somene ao londo da mecionada rea verical e no enorno do pono x 0, y 0 ). Queremos agora dar um conceio de derivada da função f no pono x 0, y 0 ), semelhane as da derivadas parciais, que leva em cona os valores de f sobre uma rea que passa por x 0, y 0 ), mas que al rea não seja necessariamene horizomnal ou verical. Esse conceio será o de derivada direcional, Seja u = a, b) um veor uniário, iso é, u = 1. direção do veor u são da forma. Os ponos da rea que passa por x 0, y 0 ) e em a x, y) = x 0, y 0 ) + a, b) = x 0 + a, y 0 + b), R Como u é un iário, a disância enre os ponos x 0, y 0 ) e x 0 + a, y 0 + b) é. Com efeio, x 0 + a, y 0 + b) x 0, y 0 ) = a, b) = a, b) = u = A diferença fx 0 + a, y 0 + b) fx 0, y 0 ) é a variação da função f enre os ponos x 0, y 0 ) e x 0 + a, y 0 + b). O quociene fx 0 + a, y 0 + b) fx 0, y 0 ) 2

3 é chamado de axa de variação de f enre esses ponos x 0, y 0 ) e x 0 + a, y 0 + b). O limie, quando exise, é a axa de variação de f em x 0, y 0 ). u x fx 0 + a, y 0 + b) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0 u. Esse limie é principalmene conhecido por derivada direcional de f no pono x 0, y 0 ) e na direção do veor É imporane ressalar que só calculamos derivadas direcionais na direção de veores uniários. Convencionamos que a derivada direcional de f em x 0, y 0 ) e na direção do veor v não necessariamene uniário é, na verdade, a derivada direcional de f em x 0, y 0 ) e na direção do versor do veor v. Lembramos queo versor de u de um dado veor v é o veor que em a mesma norma e o mesmo senindo de v, mas que é uniário, ou seja, u = v v Exemplo 1 Calcule a derivada direcional da função fx, y) = xy no pono 1, 2) e na direção do veor ) 1 u = 2,. 2 O veor u é uniário, pois u = ) 2 ) = = 1 Temos que

4 1, 2) u 0 f , ) f1, 2) ) = 2 ) ) ) 4 Adiane veremos oura maneira de calcularmos a derivada direcional de uma função diferenciável. Observemos agora que as derivadas parciais são os casos pariculares de derivada direcional. consideremos os veores i = 1, 0) e j = 0, 1). Temos De fao, i x fx 0 + 1, y 0 + 0) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0 fx 0 +, y 0 ) fx 0, y 0 ) 0 = x x 0, y 0 ) j x fx 0 + 0, y 0 + 1) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0 0 fx 0, y 0 + ) fx 0, y 0 ) = y x 0, y 0 ) Assim, a derivada parcial de f, em relação a x, pono x 0, y 0 ) é a derivada direcional de f em x 0, y 0 ) e na direção do veor i. A derivada parcial de f, em relação a y, pono x 0, y 0 ) é a derivada direcional de f em x 0, y 0 ) e na direção do veor j. Vamos agora dar uma inerpreação geomérica para a derivada direcional. Consideremos a função g) = fx 0 + a, y 0 + b) Temos que 4

5 g 0) 0 g) g0) 0 fx 0 + a, y 0 + b) fx 0, y 0 ) = u x 0, y 0 ) A derivada direcional pode enão ser visa como uma derivada ordinária. Consideremos agora a curva Temos γ) = x 0 + a, y 0 + b, g)) Logo, γ ) = a, b, g )) Os veores a, b, 0) e Porano γ 0) = a, b, g 0)) = a, b, ) u x 0, y 0 ) = a, b, 0) + 0, 0, ) u x 0, y 0 ) 0, 0, ) u x 0, y 0 ) são orogonais. Assim, eremos a gura an α = u x 0, y 0 ) = a, b, 0) u x 0, y 0 ) = 1 u x 0, y 0 ) Vimos que a derivada direcional de f em x 0, y 0 ) e na direção do veor uniário u = a, b) é igual a g 0), em que g) = x 0 + a, y 0 + b) Essa função g pode ser visa como a composa da função fx, y) com a curva diferenciável α) = x 0 + a, y 0 + b) g) = fα)) É claro enão que, dependendo da função f envolvida, a derivada g 0) = u x 0, y 0 ) pode não exisir. Mas, de acordo com a regra da cadeia, se f for diferenciável em x 0, y 0 ), enão g 0) exise e g 0) = fα0)).α 0) 5

6 Porano, u x 0, y 0 ) = fx 0, y 0 ). u pois α 0) = a, b) = u. Vamos regisrar esse fao na forma de eorema. Teorema 1 Sejam fx, y) uma função denida em um conjuno abero A, x 0, y 0 ) A e u = a, b) um veor uniário. Se fx, y) é diferenciável em x 0, y 0 ), enão fx, y) em derivada direcional em x 0, y 0 ) e na direção do veor u e, além disso, u x 0, y 0 ) = fx 0, y 0 ). u Exemplo 2 Use a fórmula do eorema anerior para calcular a derivada direcional de fx, y) = xy no pono ) 1, 2) ena direção do veor 1 u = 2,. 2 Temos que: Logo fx, y) = ) x, y), x, y) = y, x) x y f1, 2) = 2, 1) Porano u 1, 2) = f1, 2). 1 u = 2, 1). 2, ) = Exemplo Calcule a derivada direcional da função fx, y) = xy 2 no pono, 2) ena direção do veor u = 4, ). Como v não é uniário, precisamos anes deerminar o seu versor. 6

7 v u = 4, ) 4, ) 4, ) 4, ) 4 = = = = = v , ) 5 Sabemos que fx, y) = y 2, 2xy) Logo f, 2) = 2) 2, 2.. 2)) = 4, 12) Porano 4 u, 2) = f, 2). u = 4, 12). 5, ) = = 20 5 = 4 Exemplo 4 Calcule a derivada direcional da função fx, y) = x 2 + y 2 no pono 1, 1) ena direção do veor u = 1, 1). Perceba que o veor v não é uniário, logo devemos calcular seu versor. Assim, eremos o veor uniário dado por Sabemos que u = v v = 1, 1) 1, 1) = = 1 ) 1, 1) fx, y) = 2x, 2y) Logo f1, 1) = 2, 2) Porano u 1, 1) = f1, 1). u = 2, 2). 1 ) 1, = = O fao da derivada direcional ser nula, no exemplo anerior, pode ser viso como consequência de um fao geral, a saber, se u em a direção da rea angene a curva de nível de f no pono x 0, y 0 ), enão u x 0, y 0 ) = 0, pois nese caso fx 0, y 0 ) u. 7

8 Esse resulado esá de acordo com o fao de que a função f é consane sobre uma curva de nível e a derivada direcional é a axa de variação da função em x 0, y 0 ) e na direção do veor u. Se u apona na direção em que f é consane, essa axa de variação deve ser nula. No exemplo anerior, o pono 1, 1) perence à curva x 2 + y 2 = 2, que é a curva de nível da função fx, y) = x 2 + y 2 referene ao nível 1, e o veor v = 1, 1) é angene a essa curva de nível. Assim, Consideremos agora a seguine quesão. 1, 1) = 0 u Seja fx, y) uma função denida em um conjuno abero A e diferenciável em x 0, y 0 ) A. Denre odos os veores uniários u. qual aquele que produzirá o maior valor para a derivada direcional u x 0, y 0 ) e qual é esse valor máximo? E ambém qual o veor uniário u que produzirá o menor valor para a derivada direcional u x 0, y 0 ) e qual é esse valor mínimo? Para responder a essas pergunas, consideremos o ângulo enre os veores fx 0, y 0 ) e u. Porano, 0 θ π. Temos que u x 0, y 0 ) = fx 0, y 0 ). u = fx 0, y 0 ). u cos θ = fx 0, y 0 ) cos θ Concluímos que u x 0, y 0 ) é máximo quando θ = 0, iso é, quando u em a direção e senido do veor gradiene fx 0, y 0 ) e esse valor máximo é fx 0, y 0 ). Já o valor mínimo da derivada direcional de f em x 0, y 0 ) se dá quando θ = π, iso é, quando u em a direção de fx 0, y 0 ), mas senido conrário a esse gradiene e al valor mínimo é igual a fx 0, y 0 ). Exemplo 5 A função T x, y) = x y 2 mede a emperaura no pono x, y). 1. Esando-se no pono 1, 2), qual a direção e senido de maior crescimeno da emperaura? Qual a axa de crescimeno da emperaura nessa direção? 2. Esando-se no pono 1, 2), qual a direção e senido de maior decrescimeno da emperaura? Qual a axa de decrescimeno da emperaura nessa direção?. Esando-se no pono 1, 2), qual a direção que deve ser seguida para que aaxa de variação da emperaura seja nula? 1) Temos que Enão T x, y) = x 2, 2y) 8

9 T 1, 2) =, 4) Assim, no pono 1, 2), o veor v =, 4) indica a direção e senido de maior crescimeno da emperaura. A axa de crescimeno da emperaura nesa direção e senido é 5, pois T 1, 2) = ) 2 + 4) 2 = = 25 = 5 2) A direção e senido de maior decrescimeno da emperaura é indicada pelo veor T 1, 2) =, 4), e axa de decrescimeno da emperaura nesa direção e senido é 5 ) A axa de variação da emperaura é nula na direção do veor w = 4, ) pois w T 1, 2) 9