Capítulo 3 Derivada. 3.1 Reta Tangente e Taxa de Variação

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1 Inrodução ao Cálculo Capíulo Derivada.1 Rea Tangene e Taxa de Variação Exemplo nr. 1 - Uma parícula caminha sobre uma rajeória qualquer obedecendo à função horária: s() 5 + (s em meros, em segundos) a) Qual a velocidade média da parícula no inervalo de empo [, 4 ]? b) Qual a velocidade média da parícula no inervalo de empo [, ]? c) Qual a velocidade média da parícula no inervalo de empo [ ;,1 ]? d) Qual a velocidade média da parícula no inervalo de empo [, ( + ) ], com? e) Qual a velocidade da parícula no insane s? 65

2 Inrodução ao Cálculo Resolução: a) Velocidade média de uma parícula num cero inervalo de empo é definida pelo quociene enre o espaço percorrido ( s final s inicial ) e o inervalo de empo gaso em percorrê-lo ( final inicial ): vm s(4) s() ( ) ( ) 4 6 m 4 s Logo : vm 6 b) Nese iem, emos: m 1s Logo : vm 1 m / s vm s() s() ( ) ( ) m / s 66

3 Inrodução ao Cálculo c) Nese iem, emos: vm s(,1) s() (.,1 5.,1 + ) ( ) 4,7 4,7m,1,1 s Logo : vm,7,1 d) Nese iem, emos: s( + ) s() [ ] , m / s [.( + ) 5.( + ) + ] ( ) Logo : vm 7 + ou seja, vm 7 + Observe que ese iem com genérico engloba os iens aneriores: Iem a) s Iem b) 1 s Iem c),1 s v m m/s v m m/s v m 7 +.,1 7, m/s 67

4 Inrodução ao Cálculo e) No iem anerior obivemos a velocidade média da parícula no inervalo de empo [, ( + )], com. Quando ende a zero, o segundo exremo de inervalo de empo ende a e o referido inervalo ende a [, ], que é um inervalo de ampliude nula, caracerizando o insane s. Logo, fisicamene, quando ende a zero, a velocidade média enderá para a velocidade insanânea da parícula para s e esa velocidade será denoada por v(). Porano, concluímos que: v() lim 7 + 7m / s Exemplo nr. - (FLEMMING, página 46, exemplo ) Uma cidade X é aingida por uma molésia epidêmica. Os seores de saúde calculam que o número de pessoas aingidas pela molésia depois de um empo (medido em dias a parir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamene, dado por: n( ) 64 a) Qual a razão da expansão da epidemia no empo 4? b) Qual a razão da expansão da epidemia no empo 8? c) Quanas pessoas são aingidas pela epidemia no 5 o dia? Resolução: A axa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função n() em relação a. 68

5 Inrodução ao Cálculo 69 a) Para 4 Resolução por limie: dia pessoas n n n n / lim 4,67 64) 48 1 ( lim (4) ) ( 4) 64( lim (4) 4) ( lim 4 4) ( (4) 4) ( lim Resolução pela regra de derivação: dia pessoas d dn n / 48 (4) ) (

6 Inrodução ao Cálculo b) Para 8 Resolução por limie: n( + 8) n(8) n( + 8) n(8) lim lim ( + 8) 8 ( + 8) 64( + 8) lim (8) 64.8 ( lim ) 14 lim 16 pessoas / dia Resolução pela regra de derivação: n( ) 64 dn 64 d 64 (8) pessoas / dia 7

7 Inrodução ao Cálculo c) Para calcularmos quanas pessoas foram aingidas pela epidemia no 5 o dia, basa calcular n(5) n(4): ( 5) n(5) n(4) 64(5) 64(4) n(5) n(4) 4,6 pessoas / dia (4) Exemplo nr. - Uma parícula se move segundo a função s Em que insane sua aceleração é nula? (empo em segundos) Resolução: Sabemos que a velocidade de uma parícula é dada pela derivada do espaço em função do empo: ds v d E que a aceleração é a derivada da velocidade em função do empo: dv a d Igualando a aceleração a zero emos os insanes em que a aceleração é nula ( ) ( não é possível) 71

8 Inrodução ao Cálculo Exemplo nr. 4 - (ANTON, página 175, exemplo ) O faor limiane na resisência aléica é o desempenho cardíaco, iso é, o volume de sangue que o coração pode bombardear por unidade de empo durane uma compeição aléica. A figura ao lado mosra um gráfico de ese de esforço de desempenho cardíaco V em liros (L) de sangue versus a quanidade de rabalho que esá sendo feia W em kilogramasmeros (kg.m) durane um minuo de levanameno de peso. Ese gráfico ilusra o conhecido fao médico de que o desempenho cardíaco aumena com a quanidade de rabalho mas, depois de aingir um valor de pico, começa a cair. a) Use a rea secane da figura a para esimar a axa média de desempenho cardíaco em relação ao rabalho a ser execuado quando ese aumena de para 1 kg.m. b) Use a rea angene da figura b para esimar a axa de variação insanânea do desempenho cardíaco em relação ao rabalho que esá sendo execuado no pono onde ele é de kg.m. 7

9 Inrodução ao Cálculo Resolução: a) Usando os ponos esimados (, 1) e (1, 19), a inclinação da rea secane da figura 1 é: 19 1 L msec,67 1 kg. m Dessa forma, a axa de variação média de desempenho cardíaco em relação ao rabalho que esá sendo execuado no inervalo dado é de aproximadamene,67 L / kg.m. Isso significa que, em média, o aumeno de 1 unidade no rabalho que esá sendo execuado produz um aumeno de,67 L, no desempenho cardíaco no inervalo dado. b) Usando a rea angene esimada na figura e os ponos esimados (,7) e (9,5) sobre esa rea obemos: m 5 7 L g, 9 kg. m Assim, a axa de variação insanânea do desempenho cardíaco, em relação ao rabalho é de aproximadamene, L / kg.m. 7

10 Inrodução ao Cálculo Exercícios: 1) Uma parícula move-se sobre uma rea de forma que, após segundos ela esá a s + cenímeros de sua posição inicial. a) Deermine a posição da parícula após s. b) Deermine a posição da parícula após s. c) Calcule a velocidade média da parícula no inervalo de empo [, ]. d) Calcule a velocidade insanânea em. ) Um projéil é disparado direamene para cima e, nos primeiros segundos, a alura aingida por ele em segundos é de h 4 meros. a) Qual a alura aingida em s? b) Qual a velocidade média do projéil nos primeiros s? c) Qual a velocidade insanânea após s? ) A figura abaixo mosra a curva posição x empo de uma plaaforma que se move para cima aé 6 meros e pára. 7 6 Disância ( m ) Tempo ( s ) a) Calcule a velocidade insanânea da plaaforma quando 15s. 74

11 Inrodução ao Cálculo b) Esboce a curva da velocidade x empo para o movimeno do plaaforma no inervalo. 4) Um objeo cai em direção ao solo de alura de 18 meros. Em segundos, a disância percorrida pelo objeo é de s m. a) Quanos meros o objeo percorre após segundos? b) Qual é a velocidade média do objeo nos primeiros segundos? c) Qual é a velocidade insanânea do objeo em s? d) Quanos segundos o objeo leva para aingir o solo? e) Qual é a velocidade média do objeo durane a queda? f) Qual é a velocidade insanânea do objeo quando ele ainge o solo? 5) A população de deerminado país (N) em milhões de habianes cresceu segundo o gráfico abaixo. Use uma rea angene esimada da figura no pono onde 195 para aproximar o valor da derivada. Descreva o seu resulado como uma axa de variação. 6 população (em milhões) empo (em anos) 75

12 Inrodução ao Cálculo 6) A população inicial de uma colônia de bacérias é 1.. Depois de horas a colônia erá a população P() que obedece a lei: P() 1..1,. a) Qual o número de bacérias depois de 1 horas? b) Enconre a lei que dá a variação da população P em relação ao empo. c) Deermine essa variação insanânea após 1 horas. 7) Sabemos que o volume de um cubo é função de seu lado. Deermine: a) A axa média de variação do cubo em relação ao lado quando ese cresce de para 5. b) A axa de variação do volume em relação ao lado quando ese mede 5. 8) Um anque esá sendo esvaziado segundo a função V().( ), onde o volume é dado em liros e o empo em minuos. A que axa a água escoará após 8 minuos? Qual a axa média de escoameno durane os primeiros 8 minuos? 9) Uma saladora de pára-quedas pula de um avião. Supondo que a disância que ela cai anes de abrir o pára-quedas é de s() 986.(,85 1) + 176, onde s esá em pés e em segundos, calcule a velocidade insanânea (em m/s) da pára-quedisa quando 15. (Obs.: 1 pé,48 m) 1) As posições de dois móveis num insane segundos são dadas por s m e s m. Em que insane as parículas erão a mesma velocidade? 11) O gráfico a seguir mosra a posição de um carro percorrendo uma rodovia. O moorisa pare em e reorna 15 horas mais arde. 76

13 Inrodução ao Cálculo 6 5 posição (em km) empo (em horas) a) Consrua o gráfico da velocidade do carro v ds/d para 15. b) Consrua o gráfico da velocidade do carro a dv/d para 15. c) Supondo que s 15, faça os gráficos da velocidade e aceleração, comparando-os com os resulados dos iens a e b. 1) Um objeo se move de modo que no insane a disância é dada por s 4. Qual a expressão da velocidade e da aceleração desse objeo? 1) Achar a velocidade e a aceleração no insane segundos onde s + +4 é a função que informa a posição (em meros) de um corpo no insane. 14) Um corpo se desloca sobre um plano inclinado aravés da equação s 5 (s em meros e em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após segundos da parida. 77

14 Inrodução ao Cálculo 15) Um corpo é abandonado do alo de uma orre de 4 meros de alura aravés da função y 6. Achar sua velocidade quando se enconra a 18 meros do solo onde y é medido em meros e em segundos. 16) Uma parícula se move segundo a equação s() + 5 1, sendo s medido em meros e em segundos. Em que insane a sua velocidade vale 9 m/s? 17) Dois corpos êm movimeno em uma mesma rea segundo as equações s e s Deermine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais. 18) Uma parícula descreve um movimeno circular segundo a equação θ 4 4 (θ em radianos). Deermine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos. 19) Cera imobiliária aluga salas comerciais por R$ 6, mensais. Ese aluguel sofre um reajuse mensal de %. Calcule a axa de variação do aluguel daqui a 1 meses. ) Um cubo de meal com aresa x foi aquecido e dilaou-se uniformemene. a) Deermine a axa de variação média do seu volume quando a aresa aumena de para,1 cm. b) Deermine a axa de variação do seu volume em relação à aresa para x cm. 1) Sabemos que a área A de um quadrado de lado l é: A l. Deerminar: a) a axa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando ese varia de a,5 meros; b) a axa de variação da área em relação ao lado quando ese mede 5 meros. 78

15 Inrodução ao Cálculo ) Numa cera fábrica,, o número de peças produzidas nas primeiras horas diárias de rabalho é dado pelo gráfico abaixo: Peças produzidas por hora de rabalho peças produzidas horas a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após horas de rabalho? E após 7 horas? b) Quanas peças são produzidas na oiava hora de rabalho? ) Uma caixa d água esá sendo esvaziada para limpeza. A quanidade de água na caixa, em liros, horas após o escoameno er começado é dada por: Deerminar: ( 8 ) v 5 a) A axa de variação média do volume de água no reservaório durane as 8 primeiras horas de escoameno. b) A axa de variação do volume de água no reservaório após 1 horas de escoameno. 79

16 Inrodução ao Cálculo c) A quanidade de água que sai do reservaório nas 7 primeiras horas de escoameno. d) Esboce o gráfico da função e resolva graficamene os iens a, b e c. 4) Uma chapa meálica quadrada de lado x esá se expandindo segundo a equação x +, onde a variável represena o empo. Deerminar a axa de variação da área desse quadrado no empo. 5) (FLEMMING, página 56, exercício 5) Numa granja experimenal, consaou-se que uma ave em desenvolvimeno pesa em gramas 1 +. w ( ) 4, ( + 4) onde é medido em dias., para, para 6 6 9, a) Qual a razão do aumeno do peso da ave quando 5? b) Quano a ave aumenará no 51 o dia? c) Qual a razão de aumeno de peso quando 8? 6) Numa pequena comunidade obeve-se uma esimaiva que daqui a anos a população será de 5 p( ) milhares. Daqui a 18 meses, qual será a + 1 axa de variação da população desa comunidade? 8

17 Inrodução ao Cálculo 7) Um corpo se move em linha rea, de modo que sua posição no insane é dada pelo gráfico abaixo, onde o empo é dado em segundos e a disância em meros. disância (meros) empo (segundos) a) Achar a velocidade média durane o inervalo de empo [;4]. b) Achar a velocidade do corpo no insane. 8) A posição de uma parícula que se move no eixo x depende do empo de acordo com o gráfico abaixo, em que x vem expresso em meros e em segundos: posição (m) empo (s) a) Qual o seu deslocameno depois de 4 segundos? 81

18 Inrodução ao Cálculo b) Qual a velocidade da parícula quando 4 segundos? 9) Uma piscina esá sendo drenada para limpeza. Se o seu volume inicial de água era de 7. liros e depois de um empo de horas ese volume diminuiu. liros, deerminar: a) empo necessário para o esvaziameno da piscina; b) axa média de escoameno no inervalo [,6]; c) axa de escoameno depois de horas do início do processo. ) A que axa o nível d água diminui num anque cilíndrico de raio igual a 1 mero se bombearmos o líquido a uma axa de -. liros por minuo? 1) (FLEMMING, página 51, exemplo 6) O raio de uma circunferência cresce à razão de 1cm/s. Qual a axa de crescimeno do comprimeno da circunferência em relação ao empo. ) (FLEMMING, página 57, exercício 1) Um anque em a forma de um cilindro circular reo de 5m de raio de base e 1 m de alura. No empo a água começa a fluir no anque à razão de 5m /h. Com que velocidade o nível de água sobe? ) (FLEMMING, página 56, exercício 7) A emperaura de um gás é manida consane e sua pressão p em kgf/cm e volume v em cm esão relacionadas pela igualdade vp c, onde c é consane. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão quando esa vale 1 kgf/cm. 4) (FLEMMING, página 5, exemplo 7) Um pono P(x,y) se move ao longo do gráfico da função y 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a axa de variação da ordenada quando a abscissa é x 1/1? 8

19 Inrodução ao Cálculo 5) (FLEMMING, página 57, exercício 15) Uma usina de briagem produz pó de pedra, que ao ser deposiado no solo, forma uma pilha cônica onde a alura é aproximadamene igual a 4/ do raio da base. a) Deermine a razão de variação do volume em relação ao raio da base. b) Se o raio da base varia a uma axa de cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede m? 6) (FLEMMING, página 57, exercício 14) Achar a razão de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimeno de sua diagonal. Se a diagonal esá se expandindo a uma axa de m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede m? 7) (FLEMMING, página 58, exercício 17) Um objeo se move sobre uma parábola y x + x 1 de al modo que sua abscissa varia à axa de 6 unidades por minuo. Qual é a axa de variação de sua ordenada quando o objeo esiver no pono (,-1)? Resposas: 1) a) 14 m b) 7 m c) 1 m/s d) 11 m/s ) a) 16m b) 1 m/s c) 4 m/s ) a) 4 m/s b) Gráfico 4) a) 8 m b) 4 m/s c) 8 m/s d) s 8

20 Inrodução ao Cálculo e) 6 m/s f) 1 m/s 5) 4 milhões de pessoas/ano 6) a) bacérias b) 18.1, c) 1188 bacérias/hora 7) a) 49 b) 75 8) 88 l/min; -14 l/min 9) 5 m/s 1) 1 s e,5 s 11) a) Gráfico b) Gráfico c) Gráfico 1) v 1 ; a 6 1) 71 m/s; 5 m/s 14) 18 m/s; 1m/s 15) 4 m/s 16) s 17) v 1 5 m/s; v 5 m/s; s 1 65 m; s 14m 18) 488 rad/s; 78 rad/s 19) R$14,48/mês ) a) 7,9 cm /cm b) 7 cm /cm 1) a) 6,5 m /m b) 1 m /m ) a) 5 peças/hora b) peças/hora c) peças ) a) 76 l/hora b) 7 l/hora c) 555 l 4) 48 5) a) 54 g/dia b) 54,5 g/dia c) 4,4 g/dia 6) 8 pessoas/ano 7) a) m/s b) m/s 8) a) 16 m b) 4 m/s 84

21 Inrodução ao Cálculo 9) a) 6 h b) 18 l/h c) 1 l/h ),64 m/min 1) 4π cm/s ), m/h ),1c cm /kgf/cm 4) 4 5) a) 4πr / b) 1,7π m /s d 6) m ; 6 m / s 7) 18 unidades/minuo 85