UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO
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- Luiz Guilherme Fagundes
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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: SINAIS E SISTEMAS PROFESSOR: RENATO DOURADO MAIA EXEMPLOS RESOLVIDOS AULA : SINAIS E SISTEMAS FUNDAMENTOS Exemplo : Deermine se os sisemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmaivo, deermine o sisema inverso. (a y( x( (b dx( y ( d Pelo Teorema Fundamenal do Cálculo: y( x( X ( X ( Derivando os dois lados: dy( d( X ( X ( x ( d d Enão, o sisema é inverível. Será uilizada a prova pela conraposiiva, iso é, por meio de um conra-exemplo: Considere ( y ( dx, e x( z( C. Logo, d dx( d( z( C dz( y (. d d d O valor da consane C não alera o resulado. Enão, o sisema é não inverível. Exemplo : Deermine se os sisemas abaixo são esáveis: (a x n (b y( sin( x( y[ n] [ ] (c y( x( (d dx( y ( (e d y[ n] x[ n k] k xn [ ] ou x[ n] M, em que M é um número real finio. Logo: Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia
2 y[ n] x[ n] y[ n] x[ n] y[ n] x[ n] y[ n] M Como M é um número real finio, o sisema é esável. xn [ ] ou x[ n] M, em que M é um número real finio. Lembrando: sin(.. Logo: y( sen( x( y( sen( x( y ( Solução (c: O sisema é esável. xn [ ] ou x[ n] M, em que M é um número real finio. Logo: Solução (d: y( x( y( x( y( x( M M O valor da inegral depende de, que pode valer, e em como limie inferior -. Enão, o sisema é insável. xn [ ] ou x[ n] M, em que M é um número real finio. Será uilizada a prova pela conraposiiva, iso é, por meio de um conra-exemplo: Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia
3 Solução (e: Considere x ( como um degrau uniário. x ( é limiado, pois x (. A derivada de x ( é o impulso uniário, que em ampliude infinia. Assim, o sisema é insável. xn [ ] ou x[ n] M, em que M é um número real finio. Logo: y[ n] x[ n k] k y[ n] x[ n k] k y[ n] x[ n k] y[ n] y[ n] M k k M Como M é um número real finio, o sisema é esável. Exemplo 3: Deermine se os sisemas abaixo são invarianes no empo: (a y[ n] [ ] x n (b ( ( Solução Idéia Básica: y x (c y( x( 3 (d y( x( (e y[ n] x[ n] (f y( x( y( y( x( y[ n] y[ n] nn x[ nn] Tese da invariância emporal: y[ n] x[ n n ] nn y[ n] x[ n n ] x[ nn ] Porano, o sisema é invariane no empo. Tese da invariância emporal: Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia 3
4 y( x(( y( x( x( Porano, o sisema é variane no empo.. Obs.: Repare que no caso Supondo e y, subsiui-se por no sinal x (. e, depois, adiciona-se o araso ( x ( - x (. caso conrário y( x( 4. Para os ponos - e, em-se: y( x(. Para os ponos - e, em-se: x( 4 Solução (c: Tese da invariância emporal: y( x(( 3 x x( 3 Porano, o sisema é variane no empo.. Obs.: Repare que no caso y, subsiui-se por no sinal x (., e, depois, adiciona-se o araso ( x ( Supondo e - x ( : caso conrário Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia 4
5 x 3 3 y( x x( 3 Solução (d: Tese da invariância emporal: y( x( y( x( x( Porano, o sisema é variane no empo. Obs.: Repare que no caso. y, subsiui-se por no sinal x (., e, depois, adiciona-se o araso ( x ( Supondo e - x ( : caso conrário y( x( x( 4 y( x( x( Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia
6 Solução (e: Tese da invariância emporal: y[ n] x[ n n ] nn y[ n] x[ n n ] nn Solução (f: Porano, o sisema é variane no empo. Tese da invariância emporal: x( y( x( y( x( Mudança de variável: ; ;. Assim: ( ( x( y x Porano, o sisema é invariane no empo. Exemplo 4: Deermine se os sisemas abaixo são lineares: (a y[ n] [ ] y x (c x n (b ( sin( ( y[ n] x[ n k] k Princípio da Superposição: y n [ ] x[ n] ; y [ n] x [ n] Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia 6
7 y[ n] y [ n] y [ n] x [ n] x [ n] x[ n] x [ n] x [ n] y[ n] ( x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] y [ n] y [ n] Porano, o sisema é não-linear. Princípio da Superposição: y( sin( x( ; y( sin( x( y( y ( y ( sin( x ( sin( x ( x( x ( x ( y( sin( ( x ( x ( sin( x ( cos( x ( sin( x ( cos( x ( y ( y ( Solução (c: Porano, o sisema é não-linear. Princípio da Superposição: y [ n] x [ n k] ; k y [ n] x [ n k] k x[ n] x [ n] x [ n] y[ n] ( x [ n k] x [ n k] k ( x [ n k ] x [ n k ] k k x[ n k] x[ n k] k k y [ n] y [ n] Porano, o sisema é linear. Sinais e Sisemas Faculdade de Ciência e Tecnologia de Mones Claros Renao Dourado Maia 7
Exemplo 1: Determine se os sistemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmativo, determine o sistema inverso. = dt
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