Instituto de Física USP. Física Moderna. Aula 23. Professora: Mazé Bechara

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1 Insiuo de Física USP Física Moderna Aula 3 Professora: Mazé Bechara

2 Aula 3 Bases da Mecânica quânica e equações de Schroedinger: para odos os esados e para esados esacionários. Aplicação e inerpreações. 1. Mais sobre as bases da Mecânica Quânica: posulados com base na inerpreação de Copenhague: valores esperados de grandezas físicas equações de auo-valores com operadores que represenam grandezas físicas o significado da normalização das funções de onda. A equação geral da mecânica quânica não relaivísica no formalismo de Schroedinger.. Esados esacionários na mecânica de Schroedinger um conjuno de soluções possíveis para os poenciais conservaivos na física clássica. Ou a equações de Schroedinger independene do empo; ou os auo-esados de energia ; ou os esados de energia consane. Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

3 Mecânica Ondulaória para a parícula: A Inerpreação Esaísica de Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics cópia do capíulo na Xerox Posulado 01: o esado dinâmico de uma parícula pode ser descrio por uma função de onda espaço-emporal que permie exrair (odas) informações sobre a dinâmica da parícula. Posulado 0: O que em siginificado físico direo não são as funções de onda espaço-emporais que podem aé ser funções imaginárias. O significado físico esá na grandeza O módulo ao quadrado da função de onda se relaciona com a densidade de probabilidade ou seja no caso de movimenos vale a relação: dp( ) é a probabilidade de uma única parícula esar na posição denro do volume =dxdydz (em coordenadas caresianas) no insane por unidade de dv.

4 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Analogamene para os movimenos bidimensional e unidimensional a relação do módulo ao quadrado da função de onda é com a densidade superficial e a densidade linear de probabilidade respecivamene: Posulado 3. Há uma oura função de onda que ambém define o esado dinâmico da parícula e a função de onda momeno linear-emporal por: que analogamene em seu quadrado do módulo definido probabilidade da parícula er momeno linear por unidade de denro do volume

5 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 3. As funções de onda são a ransformada de Fourier uma da oura ou seja ao se conhecer uma a oura pode ser deerminada pela ransformada de Fourier. O vínculo enre as duas funções de onda vem das relações de incereza que relaciona a indeerminação de cada coordenada com o momeno linear naquela direção. Posulado 4. Quando se descreve a dinâmica da parícula pelas funções de onda espaço real as grandezas físicas que dependem somene da posição são represenadas pelas mesmas funções que na Física clássica.

6 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 5. As grandezas que dependem da velocidade quando uilizadas as funções espaço-emporais devem ser represenadas por operadores diferenciais consruídos a parir das expressões clássicas que definem a grandeza física subsiuindo o momeno linear pelo operador diferencial: Veorialmene: pˆ pˆ x i pˆ y j pˆ z k i i x i y j i z k Em Componenes: ˆ p x i x ˆ p y i y ˆ p z i z

7 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Razão do Posulado 5: O valor esperado ou valor médio de uma grandeza física que depende do momeno linear pode ser deerminado com uso da função de onda do espaço real-empo da seguine forma: Observe que: 1. o operador é obido subsiuindo-se na expressão clássica da grandeza física o momeno linear pelo operador. Inerpreação física: a média é o resulado que a eoria prevê para várias medidas da grandeza física no mesmo esado quânico. Valem relação e inerpreação similares de f para grandeza escalar.

8 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 6. Se a grandeza física depender da posição e do momeno linear como por exemplo o momeno angular vale a mesma regra de consrução de operador da grandeza física com a complicação que o operador dependerá de posição e de operadores diferenciais de posição. Obs. nessa disciplina só usaremos a função de onda no espaço real Ψ(r) já que rabalharemos com a mecânica quânica no formalismo de Schroedinger.

9 Obs. Esa equação é a equação da auovalor e a função é chamada de auo-função da maemáica. Mas na maemáica o auovalor pode ser imaginário. Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 7: Quando uma grandeza física (F) obedece a equação do ipo: Que é conhecida em maemáica como equação de auo-valores enão é chamada de auo função da grandeza física F e a consane f o o auo-valor: Se (e só se) o auo-valor f o for real se inerprea que a grandeza física F na dinâmica quânica descria pela função de onda Ψ é uma consane de movimeno ou seja F não muda de valor e ese valor (consane) é f o em qualquer medida. Essa definição vale da mesma forma para grandezas veoriais.

10 A equação básica da Mecânica Quânica no formalismo de Scroedinger Posulado 8. Usando o posulado 5 para deerminar o operador energia cinéica: No caso de movimeno unidimensional: A equação de Schroedinger é compaível com o princípio de incereza ou de indeerminação de Heisenberg e as relações de de Broglie. ) ( } { ) ( )} ( { r i r r U m ) ( = i (x) + U(x) x x m ) ( ) ( )] ( ˆ [ ) ( r i r r U E r H c

11 A equação de Schroedinger para odas as parículas em movimeno não relaivísico { m U ( r )} ( r ) { i } ( r ) Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

12 Propriedades das funções de onda decorrenes da inerpreação probabilísica 1. As funções de onda devem ser: unívocas porque a probabilidade (módulo ao quadrado das funções) em cada pono em que er valor único; conínuas porque as probabilidades não podem er valores indefinidos em algum pono do espaço; finias em odos os ponos do espaço porque probabilidades são finias.. As funções de onda de esados ligados (que descrevem parículas que ocupam região finia do espaço) devem ser normalizadas ou seja a probabilidade de esar em pono de odo o espaço deve ser 1: Para que seja possível a normalização acima é obrigaório que a função de ondaa enda a zero quando as coordenadas endem a infinio.

13 Propriedades das funções de onda decorrenes da inerpreação probabilísica. Observação imporane: No caso de esados não ligados nos quais a parícula êm probabilidade não nula de ir a posições no infinio (infiniamene longe da origem do poencial de ineração) a função de onda deve ser finia em qualquer pono. Porém a possibilidade de ocupar um espaço infinio orna a função de onda não normalizável. O que se impõe nesas siuações físicas é a conservação da parícula ou seja que ela eseja em algum lugar do espaço infinio não desapareça! (a ser discuido como se faz poseriormene)

14 A equação de Schroedinger independene do empo e os esados esacionários { m m d dx { U( r)} U( x)} ( r) ( x) d { ih } T( ) ET( ) d dt T i E d T E E dt T ( r) ( x) i E d T( ) To 0 Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara e E i