CADEIAS DE MARKOV: UM TEMA COM APLICAÇÕES INTERESSANTES E POSSIBILIDADES INTERDISCIPLINARES NA EDUCAÇÃO BÁSICA

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1 CADEIAS DE MARKOV: UM TEMA COM APLICAÇÕES INTERESSANTES E POSSIBILIDADES INTERDISCIPLINARES NA EDUCAÇÃO BÁSICA Chrisine Serã Cosa Ricardo Moura dos Sanos Marques. INTRODUÇÃO A proposa principal do presene rabalho é incenivar o professor de Maemáica a problemaizar siuações que moivem a curiosidade e o ineresse do aluno e que ambém possibiliem o desenvolvimeno de aividades inerdisciplinares ao mesmo empo em que conemplem vários coneúdos da Maemáica. Assim, busca-se dar novo significado ao ensino possibiliando que esse aluno não veja a disciplina como algo comparimenado e disane da sua realidade. Os eemplos aqui escolhidos ilusram diversas formas de modelar um problema e permiem que o desenvolvimeno de coneúdos afins da Maemáica como probabilidade, porcenagens, marizes, sisemas de equações lineares, enre ouros inerajam com coneúdos de ouras disciplinas. As Cadeias de Markov, alicerces para odos eses desenvolvimenos - apesar de nem serem concebidas como coneúdo específico de Maemáica na Educação Básica - servem, com algumas adapações, de moivação para abordagens em diversas áreas do conhecimeno. Elas reraam modelos maemáicos para uma variedade de siuações práicas em Biologia, Adminisração, Química, Engenharia, Física, enre ouras, e ainda possibiliam a uilização de recursos ecnológicos que faciliam seus cálculos e enendimenos e aproima o aluno da modernidade. Espera-se, com esse rabalho, apresenar mais uma conribuição para o desenvolvimeno de uma Maemáica Significaiva na Educação Básica. Chrisine Serã Cosa é douora em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ, docene do Deparameno de Maemáica do Colégio Pedro II e do Deparameno de Maemáica da Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro (csera@globo.com). Ricardo Moura dos Sanos Marques é mesrando do Mesrado Profissional em Práicas de Educação Básica do Colégio Pedro II e professor da Secrearia de Esado de Educação do Rio de Janeiro SEEDUC/RJ (marques.educacao@ahoo.com.br)

2 . O PROBLEMA MOTIVACIONAL E SUAS REPRESENTAÇÕES Considere a seguine siuação: Uma grande locadora de bicicleas rabalha com aluguéis por um dia ineiro e em rês lojas de aendimeno em uma região urísica denoadas respecivamene por lojas A, B e C. Um cliene pode alugar uma biciclea em qualquer uma das rês lojas e ambém pode devolvê-la na loja que for mais conveniene. O gerene da locadora esudou os dados hisóricos de aluguéis e devoluções das bicicleas nas rês lojas e observou que os clienes cosumam devolver as bicicleas de acordo com as seguines probabilidades: Meade dos clienes que alugam as bicicleas na loja A, as devolvem na própria loja A e o resane devolve com iguais probabilidades nas lojas B e C. Os clienes que alugam as bicicleas na loja B, em geral, não as devolvem na própria loja B, realizando esa devolução nas lojas A e C com probabilidades iguais. 75% dos clienes que alugam as bicicleas na loja C, as enregam na própria loja C e o resane devolve a biciclea alugada, em geral, na loja B. Considere que no insane inicial a locadora possua bicicleas em cada uma das lojas e que a demanda dos clienes seja muio maior que a ofera de bicicleas, ou seja, odos os dias, odas as bicicleas esocadas em cada uma das lojas são alugadas. Considerando um dia como a unidade de empo e o insane inicial represenado por =, algumas quesões são colocadas: (a) Qual seria uma boa esimaiva para a disribuição das bicicleas nas rês lojas no início do dia seguine ao insane inicial (=)? E em =? (b) Pode-se prever como esaria a disribuição das bicicleas nas lojas a longo prazo? (c) Em ermos percenuais, a disribuição das bicicleas nas lojas depende da disribuição inicial?

3 3 Pode-se modelar a siuação descria por represenações disinas, enre elas desaca-se: (i) Por um esquema: (ii) Por um sisema de equações lineares: Considere que o veor c b a v epresse a quanidade de bicicleas no empo respecivamene nas lojas A, B e C. Assim, pode-se escrever que: c b a c c a b b a a 3

4 (iii) Na forma maricial: Considere a mariz / P / / / / / 3/. Observa-se que cada elemeno dessa mariz represena a probabilidade de uma biciclea alugada na loja j ser devolvida na loja i considerando a loja A como loja, a loja B como loja e a loja C como loja 3. Nessas condições em-se que v P( v ), onde v deermina o veor cujas coordenadas represenam a quanidade de bicicleas esocadas nas lojas A, B e C respecivamene, no início do dia. v Assim, em-se que: / / v P( v ) / / 5, / / 3/ 5 / / 75 P( v ) / / 5 65 P( P( v)) P ( ) / / 3/ 5 65 v e assim sucessivamene. Dessa maneira, caso as probabilidades de devolução de bicicleas desa locadora se manenham consanes, é possível esimar a quanidade de bicicleas em cada loja após dias, v P ( v ). Essa manipulação algébrica permie ober resulados que subsidiam omadas de decisão ais como a previsão de faurameno de cada loja, a análise da necessidade de aumeno do esoque de bicicleas, possibilidades de se ober novas lojas, ec. p ij

5 5 3. UM POUCO DE TEORIA 3. Cadeia de Markov: algumas definições É ineressane desacar que na siuação eposa aneriormene (o problema moivacional e suas represenações) não se pode predizer com cereza qual será a disribuição das bicicleas nas lojas ao final de cada dia, mas, é possível afirmar que a probabilidade de uma cera disribuição ocorrer pode ser previsa unicamene a parir do conhecimeno da disribuição da observação imediaamene anerior. Além disso, o sisema sofre mudanças ais que a cada momeno (no caso cada momeno represena um dia) ele pode ocupar um enre um número finio de esados (no caso cada esado represena uma das rês lojas). Nesas siuações, o processo de mudança de um esado para ouro é chamado de Cadeia (ou modelo ou sisema) de Markov. Cabe ressalar que embora na siuação descria cada empo enre as observações seja de um dia, num modelo de Markov o empo enre as observações não precisa ser regular. Figura : Andrei Andreevich Markov (856, Razan, Russia a 9, São Peersburgo, Russia). Foo disponível em hp:// em // Denoando por,,...,k os k esados possíveis de uma cadeia de Markov, em-se que a probabilidade do sisema mudar do esado j para o esado i na próima observação é represenada pelo elemeno pij da mariz P. Esa mariz é chamada de mariz de Markov (ou mariz esocásica ou mariz de probabilidade) e em as seguines propriedades de fácil observação:

6 6 (i) suas enradas são ais que p ij ; (ii) em qualquer coluna de P, as enradas somam (por ese moivo suas colunas são chamadas de veores de probabilidade). Define-se ambém o veor-esado de uma observação como um veor-coluna de i probabilidade com k elemenos onde cada enrada deermina a probabilidade do sisema esar no k-ésimo esado na i-ésima observação. Assim, volando à siuação problema, para cada veor v pode-se deerminar um veor i i. Os rês primeiros esão descrios a seguir: v / 3 / 3, v / / 6 / 6, v 3/ / 5/ 3/ A abela abaio, obida com auílio compuacional, resume os primeiros veoresesados ( i ) obidos a parir dos veores de disribuição ( i ) v na siuação-problema. I V i X i (, ;, ;,) (,33 ;,33 ;,33) (, ; 5, ; 5,) (,33 ;,7 ;,5) (75, ; 65, ; 65,) (,5 ;, ;,5) 3 (687,5 ; 593,75 ; 78,75) (,3 ;, ;,57) (6,63 ; 6,56 ; 757,8) (, ;, ;,59) 5 (6,9 ; 599,6 ; 779,3) (, ;, ;,59) 6 (6,35 ; 6, ; 789,55) (, ;, ;,6) 7 (65, ; 599,98 ; 79,8) (, ;, ;,6) 8 (6,6 ; 6, ; 797,39) (, ;, ;,6) 9 (6,3 ; 599, ; 798,7) (, ;, ;,6) (6,65 ; 6, ; 799,35) (, ;, ;,6) Tabela : Comporameno dos veores-esado para a disribuição inicial de bicicleas por loja

7 7 O gráfico abaio ilusra o comporameno das disribuições das bicicleas no empo nas 3 lojas consideradas. Percebe-se claramene a siuação esacionária do quaniaivo de bicicleas em cada loja a parir de um deerminado empo. 3. Veor-esado esacionário Observa-se que os veores-esado ( i ) convergem para um veor fio w à medida que i cresce. Ese veor é chamado de veor-esado esacionário. O mais impressionane é que esse veor é o mesmo independenemene da disribuição inicial considerada. A abela a seguir apresena o comporameno dos veoresesados em duas siuações bem disinas: (i) considerando uma disribuição inicial de 3 bicicleas na loja A e nenhuma biciclea nas demais lojas; (ii) considerando uma disribuição inicial de bicicleas na loja A, na loja B e 6 na loja C.

8 8 I X i, para X = (3 ; ; ) X i, para X = ( ; ; 6) (, ;, ;,) (, ;, ;,67) (,5 ;,5 ;,5) (,7 ;,9 ;,6) (,37 ;,9 ;,) (,8 ;, ;,6) 3 (,8 ;, ;,5) (,9 ;, ;,6) (, ;, ;,56) (, ;, ;,6) 5 (, ;, ;,58) (, ;, ;,6) 6 (, ;, ;,59) (, ;, ;,6) 7 (, ;, ;,59) (, ;, ;,6) 8 (, ;, ;,6) (, ;, ;,6) 9 (, ;, ;,6) (, ;, ;,6) (, ;, ;,6) (, ;, ;,6) Tabela : Comporameno dos veores-esado para duas disribuições iniciais disinas Observe que o veor esacionário em ambos os casos é dado por w (,;,;,6). Assim, é de se esperar que, no longo prazo, % das bicicleas esejam na loja A, % delas esejam na loja B e os 6% resanes, na loja C, independenemene do número inicial de bicicleas em cada loja. 3.3 Enconrando, quando possível, o veor-esacionário Seja w o veor-esado esacionário de um sisema de Markov. Enão P( w) w. Como a siuação proposa cona com rês esados, pode-se considerar (,, z) obém-se enão o seguine sisema de equações lineares homogêneo: w e

9 9 z z z 3 z z cujas infinias soluções podem ser epressas por R,, 3, 3. Assim, o veor w (veor de probabilidade da siuação) é represenado por ) (,;,;,6 w, como já era conhecido. Dessa forma em-se agora um procedimeno para deerminar o comporameno de uma disribuição no longo prazo independenemene da disribuição inicial. É imporane ressalar que nem sempre os veores-esado convergem para um veor fio em uma cadeia de Markov. Se P, por eemplo, facilmene observa-se que esse sisema oscila indefinidamene. 3. Algumas considerações eóricas mais avançadas: Os resulados abaio enunciados são a base eórica uilizada nese rabalho. Essas considerações não são esudadas na Educação Básica, mas subsidiam os resulados aqui apresenados. () Demonsra-se que se P for uma mariz de Markov al que eise k naural para o qual k P em odas as enradas posiivas (nese caso P é chamada de mariz de Markov regular), enão ) ( P n converge a um veor fio quando n cresce. (KEMENY, J.; SNELL, J.) Iso aconece na siuação proposa para k =. () Demonsra-se que se P for uma mariz de Markov regular enão o veor de probabilidade esacionário que saisfaz a equação w w P ) ( é único. (ANTON, H.; RORRES, C.)

10 (3) Toda mariz de Markov admie auovalor igual a e, se P for regular, ese auovalor é dominane (único auovalor de módulo maior que odos os demais auovalores de P ). Porano, nese caso, verifica-se que o veor esacionário é o auoveor (de probabilidade) associado ao auovalor dominane de P.(ANTON, H.; RORRES, C.). UMA PROPOSTA INTERDISCIPLINAR Movimenos migraórios são realidades em diversas regiões do mundo e êm causas diversas. Faores econômicos, políicos, sociais, ambienais e aé mesmo de saúde, enre ouros, eplicam alguns desses movimenos que muias vezes são moivados pela busca de melhores condições de vida. Ese assuno permie pesquisa e desenvolvimeno de projeos que podem envolver diversas disciplinas do currículo escolar. Tais movimenos podem ser modelados por uma cadeia de Markov. Segue uma siuação hipoéica apenas para servir de eemplo com a proposa de que dados reais em uma siuação significaiva ao alunado sejam coleados e analisados com o apoio de diversos saberes. Considere a população de uma região cujo comporameno migraório anual vem obedecendo às seguines probabilidades: / das pessoas da cidade migram para o subúrbio e / dos habianes do subúrbio migram para a cidade. Considerando que essas probabilidades se manenham e que esudos esimem que esa região, em 3 (num longo prazo), erá cerca de 6 milhões de habianes, como pode-se esimar a disribuição dessas pessoas enre a cidade e o subúrbio? Legenda: =subúrbio e =cidade. Seja P a mariz al que cada elemeno localidade j se mudar para a localidade i. Porano p ij indica a probabilidade de um habiane de,8,,,9 P é a mariz de Markov que represena o problema. Perceba que P é regular (já para k = ) e, porano, converge para

11 um veor fio que pode ser obido resolvendo o sisema,, R 3 3 P( w) w cuja solução é da forma. Sendo assim, esima-se que, no longo prazo, milhões de pessoas esarão no subúrbio e milhões, na cidade. Uma série de quesionamenos relacionando saberes de diversas áreas podem ser realizados a parir desa manipulação maemáica possibiliando cada vez mais uma visão inerdisciplinar do conhecimeno. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ainda que não seja um coneúdo específico do currículo de Maemáica na Educação Básica, a coneualização das Cadeias de Markov surge como a possibilidade de moivação para abordagens concreas e eóricas em aulas desa disciplina. Trazida com níveis disinos de dificuldade e respeiando as especificidades de cada grupo de desino, essa eoria privilegia, inclusive, um rabalho inerdisciplinar uma vez que mobiliza os ineresses de diversas áreas do conhecimeno em orno da problemaização de um mesmo objeo, garanindo respecivas inervenções. A inegração enre diversas disciplinas e enre diferenes coneúdos da própria Maemáica jusifica uma nova perspeciva sobre o ensino, descaracerizando-a como fragmenada e disane das relações de mundo dos alunos. Proposas como essa apresenam a Maemáica como uma disciplina fundamenal para a leiura e manipulação de dados quaniaivos da realidade e como ferramena necessária ao cidadão que busca o conhecimeno sobre o mundo em que vive. As referências bibliográficas apresenadas a seguir, além de demonsrarem alguns dos resulados ciados com rigor, apresenam ouros eemplos de aplicações do ema em siuações ineressanes e que podem ser adapadas e uilizadas na Educação Básica. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H.; RORRES, C.; Álgebra Linear com Aplicações; Bookman - 8ª. Edição,. KEMENY, J.; SNELL, J.; Finie Markov Chains; Springer Verlag, 976. LAY, D.C.; Álgebra Linear e suas Aplicações; LTC, ª. Edição, 997.