EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL 1ª Época (v1)

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1 Nome: Aluno nº: Duração: horas LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DE ENGENHARIA - ENGENHARIA DO AMBIENTE EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL ª Época (v) I (7 valores) Na abela seguine apresena-se os valores das coordenadas das variáveis nos primeiros eixos facoriais resulanes de uma Análise em Componenes Principais normada de um quadro de dados consiuído por 437 indivíduos caracerizados por 5 variáveis quaniaivas. Apresena-se ambém os valores próprios associados aos mesmos eixos. ACP ACP ACP3 ACP4 V V V V V5 A Valor Próprio a) A coordenada da variável V no 5º eixo é: b) O coeficiene de correlação enre as variáveis V e V é:

2 c) O coeficiene de correlação enre a variável V5 e a ª componene principal é: d) O coseno do ângulo formado pela variável V4, a origem e o 5º eixo facorial é: e) A percenagem de inércia explicada pela 5ª componene principal é: 0.6% 5.43% 3.3%.99% f) Uma das frases seguines é falsa. Qual? A variável V3 esá bem represenada no º plano facorial A percenagem de inércia explicada pelo eixo é superior a 50% A média da ª componene principal é 0.7 O coeficiene de correlação enre as variáveis ACP e ACP3 é 0.000

3 g) Em dado passo de uma Classificação Ascendene Hierárquica, uilizando a disância euclidiana (normalizada por p), chegou-se a siuação apresenada na abela seguine, em que os indivíduos e se agruparam dando origem ao grupo A. Indivíduo Grupo Variável Variável A 0 A A disância enre o novo grupo A e o indivíduo 4, usando o algorimo do salo máximo, é:

4 II (6 valores) - O cronograma da Figura represena graficamene 00 observações de série emporal original, X, correspondene à evolução, no empo, de variável conínua arbirária. Figura Cronograma da série original X com exensão N = 00. alínea a) Pode-se afirmar que a série emporal, X, é esacionária, iso é, que pode ser visa como uma realização de processo esocásico esacionário aé à ª ordem?. Jusificar, sucinamene, a resposa. Na Figura apresena-se o cronograma da série emporal diferenciada, Z, iso é, a série obida por aplicação do operador, = ( B), de diferenciação simples, à série original X. O símbolo B represena o operador araso. Figura Cronograma da série diferenciada Z ( Z X ( ) = = B X, =,,... ) 4

5 Os correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da série diferenciada, que aparena ser esacionária aé à ª ordem, são apresenados na Figura 3. Figura 3- Correlogramas (oal)(fac esimada) e parcial (FACP esimada) da sériez alínea b) Com base nos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), concluiuse, para um nível de significância α = 0.05, pela rejeição da hipóese nula, H 0, de a série diferenciada Z ser uma realização possível de uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.). Fundamenar, sucinamene, a conclusão do ese/ensaio de hipóeses. alínea c) Com base nos andamenos/comporamenos dos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), especificar, jusificando, valores para as ordens p e q dos polinómios auoregressivo e de média móvel, respecivamene, de modelo linear ARMA(p, q): com ( B) Z ( B) W, { W } ~ iid... N ( 0, w ) φ = θ σ, ( ) ( ) φ B = φb φb L φ B θ B = + θb + θ B + + θ B p p o polinómio auoregressivo e q L q o polinómio média móvel. alínea d) Para p = e q = 0, os resulados do exercício de esimação dos parâmeros, φ e (variância finia da sequência ruído branco { W }), do modelo ARMA(, 0), pelo méodo de mínimos quadrados lineares, são resumidos no Quadro da página seguine. σ w FAC Função de AuoCorrelação FACP Função de AuoCorrelação Parcial 5

6 Quadro Resumo do exercício de esimação Parâmeros Esimadores/Esimaivas 3 φ σ w ˆ φ = 0.78 s w = 4.4 A esimaiva, s φ, da variância do esimador de mínimos quadrados do parâmero (Desvio padrão: s φ = 0.045). φ é s φ =0.000 O valor absoluo da esaísica ese (Rácio = ˆ φ / sφ ) é igual a Avaliar a qualidade do modelo ajusado no que concerne à significância dos parâmeros ajusados e à condição de esacionaridade e causalidade do modelo ajusado. Avaliar a qualidade do ajusameno, mediane a análise da série residual, W, com cronograma na Figura 4, suporada nos respecivos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) consanes da Figuras 5. Figura 4- Cronograma da série residual W 3 Os esimadores, e respecivas esimaivas (realizações possíveis), dos parâmeros φ e θ são idenificados por ˆ,,,..., e ˆ φ i = p θ, j =,,..., q. Os esimadores, e respecivas esimaivas, das variâncias, σ, são designados i j pors. 6 i j

7 Figura 5- Correlogramas (oal)(fac esimada) e parcial (FACP esimada) da sériew Na Figura 6 apresenam-se o hisograma e o Q-Q plo da série residual W. Figura 6- Hisograma e Q-Q plo da série residual W alínea e) Com base na Figura 6, que pode concluir, em ermos de aceiação / rejeiação, do ese da hipóese (nula) de a série residual ser uma sequência de variáveis aleaórias com disribuição Normal (ou de Gauss) de média 0 e variância finia igual a 4.4 (unidades arbirárias). 7

8 III (7 valores) Seja uma variável regionalizada anisorópica (anisoropia geomérica) cujo variograma é esférico com efeio de pepia. A direcção principal de anisoropia é Ese/Oese com ampliude igual a 0m. Os valores dos resanes parâmeros do modelo são: efeio de pepia (c 0 )=0.3%, paamar do variograma esférico (c )=0.7%, relação de anisoropia (ρ)=.50. a) O valor da correlação espacial ρ(h) para h=40m na direcção principal é: b) Suponha que o valor esimado de uma variável regionalizada num pono de coordenadas (00; 00) é obido à cusa do valor médio da variável nos ponos de coordenadas (00; 60) e (00; 40). O valor da variância de esimação (uilize o mesmo modelo de variograma referido na alínea anerior) é: c) Suponha que o valor esimado de uma variável regionalizada num pono de coordenadas (00; 00) é obido por krigagem a parir dos valores da variável observados nos ponos de coordenadas (00; 80) e (90; 00). O valor do peso a aribuir à primeira desas amosras é: d) Suponha a mesma siuação referida na alínea anerior. O valor da variância de krigagem é:

9 e) A krigagem ordinária e a krigagem simples são dois méodos de esimação espacial. Apenas uma das frases seguines é específica de um dos méodos: Ambos pressupõem que a esperança maemáica da variável regionalizada é conhecida Ambos pressupõem alguma forma de esacionariedade da variável regionalizada Ambos são méodos lineares de esimação Ambos são méodos não enviezados 9