4 Filtro de Kalman. 4.1 Introdução

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1 4 Filro de Kalman Ese capíulo raa da apresenação resumida do filro de Kalman. O filro de Kalman em sua origem na década de sessena, denro da área da engenharia elérica relacionado à eoria do conrole de sisemas. Poseriormene, esa meodologia foi sendo incorporada a ouras áreas como a esaísica. Sua aplicação na área econômica e financeira é vasa. Inúmeros arigos e rabalhos são publicados roineiramene fazendo uso do filro de Kalman. Ese capíulo esá baseado em Harve 989. Oura referência relevane e recene sobre o filro de Kalman e modelos não lineares e não Gaussianos é Durbin e Koopman 22. As referências clássicas sobre o ema são Anderson e Moore 979 e Jazwinski 97. O capíulo esá assim organizado: a primeira seção apresena uma breve inrodução do assuno; a segunda seção mosra a forma espaço-esado; a seguir são apresenados os aspecos compuacionais e probabilísicos; a quina seção apresena o algorimo do filro; a sea seção mosra a esimação dos parâmeros; em seguida são apresenados os conceios de previsão e alisameno e, por fim, o conceio do filro de Kalman esendido. 4. Inrodução Em 96 Rudolph Emil Kalman publicou um famoso arigo descrevendo um processo recursivo para solucionar problemas lineares relacionados à filragem de dados discreos. Sua pesquisa proporcionou conribuições relevanes ajudando a esabelecer bases eóricas sólidas em várias áreas da engenharia de sisemas. Em Kalman desenvolveu, com colaboração de Richard S. Buc, a versão em empo conínuo do filro de Kalman, que se ornou conhecida como o filro de Kalman-Buc. Com o avanço compuacional, o filro de Kalman e suas eensões a problemas não lineares represenam o produo mais largamene uilizado denro da moderna eoria de conrole.

2 Filro de Kalman 75 O filro de Kalman é um conjuno de equações maemáicas que consiui um processo recursivo eficiene de esimação, uma vez que o erro quadráico é minimizado. Aravés da observação da variável denominada variável de observação oura variável, não observável, denominada variável de esado pode ser esimada eficienemene. Podem ser esimados os esados passados, o esado presene e mesmo previsos os esados fuuros. O filro de Kalman é um procedimeno aplicável quando os modelos esão escrios sob a forma espaço-esado. Além disso, o filro de Kalman permie a esimação dos parâmeros desconhecidos do modelo aravés da maimização da verossimilhança via decomposição do erro de previsão. 4.2 Definição do modelo na forma espaço-esado Seja uma série emporal mulivariada com N elemenos. Esas variáveis são denominadas variáveis observáveis e consiuem um veor N, variáveis observáveis esão relacionadas às variáveis de esado equação de medição ou observação: + R N. As aravés da ε, 2,..., 44 onde é uma mariz N m, d é um veor N, ε é um veor serialmene não correlacionado com média zero e mariz de covariância H e é um veor m que coném as variáveis de esado não observáveis. As variáveis de esado são geradas por um processo Markoviano de primeira ordem e sua equação é dominada equação de ransição: R η, 2,..., c + e onde é uma mariz m m, c é um veor m, R é uma mariz m g η é um veor g serialmene não correlacionado com média zero e mariz de covariância Q. Além disso, o veor inicial de esado em média ˆ e mariz de covariância P. Os ruídos ε e correlacionados com esado inicial. η são não correlacionados enre si e não

3 Filro de Kalman As origens compuacionais do filro de Kalman Vamos definir por ˆ m R a esimaiva do esado anerior a priori no empo dado que se conhece odo o processo anerior a. Por esado anerior refere-se ao esado anes do conhecimeno da variável de observação em,. Da mesma forma, ˆ m R é a esimaiva do esado poserior a poseriori em dado que conhece a medição ou observação,. Definem-se os erros de medição anerior e poserior como: e ˆ 46 e - ˆ 47 A mariz de covariância do erro anerior P é m m e dada por: P E e e 48 A mariz de covariância do erro poserior P é m m e dada por: P E e e 49 Deseja-se enconrar uma equação que relaciona o esado poserior ˆ como uma combinação linear do esado anerior - ˆ com a ponderação da diferença enre a observação ˆ ˆ e a previsão + K ˆ ˆ d ou seja: 5 O ermo enre parêneses reflee a diferença enre o previso ˆ e a observação. A mariz K m N é denominada ganho de Kalman e é al que minimiza a mariz de covariância do erro P dada pela eq. 49. A minimização da covariância do erro é obida subsiuindo a eq. 5 na eq. 47 e obendo-se uma epressão para e em ermos de K. Levando ese resulado na eq. 49, omando-se enão os valores esperados, derivando-os com relação a K e igualando a equação a zero; em-se a condição de primeira ordem. Resolvida esa equação para K + - P P H K, resula: 5 Na equação acima quando o erro da equação de medição aproima-se de zero H, a ponderação da mariz ganho aumena. Ou ainda

4 Filro de Kalman 77 limk H 4.4 As origens probabilísicas do filro A derivação do filro de Kalman apóia-se no fao de que ano os ruídos das equações de medição e ransição como o veor inicial de esado, são normalmene disribuídos. Iso significa que apenas os dois primeiros momenos são suficienes para descrever odos os esados em qualquer insane de a. Assim sendo escreve-se: ˆ E e P E{ - ˆ - ˆ } A esimaiva poserior dada em 5 é Gaussiana. A mariz de covariância poserior em 49 reflee a variância da disribuição das variáveis de esado. Enão, p Nˆ, P Aé o momeno foi viso que o filro de Kalman é um procedimeno recursivo que permie deerminar o esimador óimo do veor de esado dadas as informações disponíveis aé o empo, inclusive as variáveis de observação Esa é a radução do que esá escrio na eq. 5. O esimador é dio óimo no senido de que a mariz de ganho é al que a variância do erro das variáveis de esado é mínima. Esa é a radução do resulado obido na eq. 5. Quando a hipóese da normalidade não se verifica, o filro de Kalman não fornece o valor esperado das variáveis de esado. Enreano, o filro coninua sendo o esimador óimo, iso é minimiza a variância do erro O algorimo do filro de Kalman As equações do filro de Kalman podem ser agrupadas em dois ipos disinos: equações de aualização do empo e equações de aualização da medição. Eses dois grupos de equações funcionam conjunamene como um sisema com reroalimenação. As equações de aualização do empo são responsáveis pelo avanço das variáveis de esado e das covariâncias no empo para se ober, desa forma, as esimaivas aneriores a priori para o próimo insane.

5 Filro de Kalman 78 As equações de aualização das medições são responsáveis pela reroalimenação, ou seja, incorporam uma nova informação da variável observável nas esimaivas aneriores para ober um ganho ou melhoria na esimação poserior. As equações de aualização do empo são denominadas equações de previsão. As equações de aualização das medições são denominadas equações de correção. Seja enão o modelo especificado em 44 e 45. Seja o esimador óimo de baseado em informações aé incluindo. Dados e P, o esimador óimo de é dado por: ˆ ˆ + c A mariz de covariância dos erros das variáveis de esado é dada por: P + R Q R P As equações 52 e 53 consiuem o grupo denominado de equações de aualização do empo ou equações de previsão. Esas equações represenam um avanço no empo de para. Quando uma nova observação esimador das medições são: ˆ ˆ é verificada, o ˆ de pode ser melhorado ou corrigido. As equações de aualização K 54 P P + H ˆ ˆ + K ˆ d 55 P 56 I K P O primeiro passo é deerminar o ganho K dado pela eq. 54. Poseriormene, a nova informação observada é incorporada à previsão anerior ˆ junamene com a mariz ganho K aravés da eq. 55, gerando a esimação poserior ˆ. O úlimo passo é ober mariz de covariância dos erros aravés da eq. 56. O ciclo do algorimo se repee para o insane de empo + sendo ˆ e P dados de enrada nas equações 52 e 53, respecivamene. Esa naureza recursiva do modelo o orna um insrumeno de aualização de medidas em empo real, daí o seu grande uso em sisemas de conrole e rasreameno no campo da engenharia. Em Finanças em um fore apelo nos mercados financeiros

6 Filro de Kalman 79 que produzem informações a cada insane. Desa forma, variáveis não observáveis podem ser esimadas a parir de preços obidos no mercado à medida que uma nova informação é produzida. O Quadro 3 é uma represenação esquemáica das eapas recursivas do filro de Kalman. O algorimo eige que haja uma operação de inversão de mariz para o cálculo do ganho de Kalman. Equações de Aualização do empo Previsão Avança o esado no empo: ˆ ˆ + c Equações de Aualização das Medições Correção Calcula o ganho de Kalman: K + - P P H Avança a covariância no empo: P P + R Q R Aualiza a variável de esado com ˆ ˆ + K ˆ d : Aualiza a mariz de covariância: P I K P Esimaivas iniciais: ˆ e P Quadro 3 Represenação esquemáica do filro de Kalman 4.6 Esimação por máima verossimilhança O filro de Kalman reorna o valor de odas as variáveis de aé. Resula enão odos os valores da variável de observação observados de são conhecidos. Se as observações { }. Os valores são independenes e idenicamene disribuídas a função de densidade conjuna é dada por: L ; Θ p 57

7 Filro de Kalman 8 onde p. represena a função densidade de probabilidade em um insane e Θ é o conjuno de hiperparâmeros que fazem pare do sisema de marizes. A eq. 57 represena a função de verossimilhança. O esimador de máima verossimilhança é obido maimizando 57 em relação a Θ. Quando as observações não são independenes pode-se usar a definição de função densidade conjuna condicional: L ; Θ p Y- onde Y represena a função densidade de probabilidade condicional P em. Se os ruídos em 44 e 45 e se o veor inicial de esado são Gaussianos, a disribuição de condicional a Y ambém é Gaussiana. Pode-se escrever que condicionalmene a Y, é al que: p Y Nˆ, P Da equação 42 pode ser escrio: + ε que pode ser reescria como ˆ ou ainda ˆ ˆ ˆ + ε + ε Enão a disribuição condicional de E Y ˆ com mariz de covariância dada por: F P + H é normal com média: Conseqüenemene para um modelo Gaussiano o logarimo da função verossimilhança é: N ln L Θ ln2π ln F ν F ν 58 onde ν para, K,, é o veor dos erros de previsão. Enão a eq. 58 é a decomposição dos erros de previsão. A cada rodada do filro dados os parâmeros do modelo são deerminados os esados e as observações. A função de verossimilhança ambém pode ser

8 Filro de Kalman 8 calculada a cada rodada. Pode-se enão implemenar um algorimo para maimização da função de verossimilhança. Os valores iniciais podem ser raados como parâmero iniciais e a maimização da eq. 58 em como base o conjuno,θ. Enreano, iso é um complicador considerável para o problema de maimização. Uma solução práica é considerar que condicionalmene a Θ o esimador de máima verossimilhança de é uma função linear das observações. Nese caso, a maimização seria somene em relação a Θ. Em alguns modelos esacionários as condições de regime permanene permiem que sejam obidas soluções para e P. Em ouras siuações são necessárias as condições iniciais de e P. 4.7 Previsão Após a obenção da esimação dos esados simulaneamene à esimação dos parâmeros, os esados fuuros e as observações fuuras em +, + 2, K + l podem ser obidos. Assim, para + : ˆ c+ ˆ Para a previsão de + 2, + 3, ec deve-se usar sucessivamene as equações 44 e 45. Desa forma obém-se + l e + l. A previsão será enão: ˆ ˆ E + l + l E + l + l onde E. represena o valor esperado condicional dadas as informações aé o insane. 4.8 Alisameno No processo de filragem obêm-se o valor filrado em que é o valor esperado da variável de esado condicional às informações disponíveis aé o empo, ou seja:

9 Filro de Kalman 82 ˆ E Y O alisameno permie ober o valor condicional acima baseado em informações poseriores a. Assim, a esimaiva alisada é dada por: ˆ E Y onde { } Y. A mariz de covariância suavizada ou alisada é dada por: { ˆ ˆ Y } P E Em geral, o erro da esimaiva alisada é menor que o erro da esimaiva filrada. Iso porque o alisameno leva em consideração um maior número de informações que a filragem. 4.9 O filro de Kalman esendido As principais caracerísicas do filro de Kalman esão relacionadas à linearidade das equações de medição e ransição e a Gaussianidade dos resíduos como viso em 44 e 45. Eisem vários aspecos referenes à não adequabilidade de aplicação do filro de Kalman que violam as propriedades acima: i Quando as marizes em 44 e 45,, d, c, H, R e Q são esocásicas, iso é dependem da informação disponível em, o modelo é dio condicionalmene Gaussiano. ii Quando o modelo não é mais Gaussiano, iso é quando os resíduos não são disribuições normais, a obenção da esimaiva óima do veor de esado não é mais alcançada usando-se o modelo do filro de Kalman na sua forma clássica. Ainda assim, dadas as hipóeses das novas disribuições, pode-se alcançar a solução eórica de minimização da mariz de covariância dos erros dos veores de esado. iii Quando a equação de medição não é uma função linear dos esados e por ouro lado, quando na equação o veor de esado não é uma função linear do veor de esado no insane anerior; os modelos saem da condição de linearidade clássica propriamene dia. Em ais siuações os modelos são dios funcionalmene não-lineares. A solução é a linearização dos modelos.

10 Filro de Kalman 83 Para os iens i e ii veja o capíulo 3, seção 3.7, de Harve 989. Com relação à não funcionalidade linear, os aspecos mais relevanes são apresenados a seguir. Considere o modelo não-linear com as equações de ransição e medição: h + R η f ε 6 onde h. e f. são veores m e N, respecivamene e seus elemenos são funções não lineares. A mariz. R é m g e é função do veor de esado em As condições apresenadas em 59 e 6 fogem das condições clássicas de linearidade do filro de Kalman. Sob a hipóese de que f., h. e R são suaves pode-se usar a série de alor linearizando-as, cenradas nas médias condicionais e. Iso pode ser escrio assim: h ˆ h + 6 f f + 62 R R 63 onde é mariz Jacobiana dada por: h Da mesma forma, é a mariz Jacobiana dada por: f Ainda pode ser escrio que: R R 66 Levando 6 e 66 em 59: h + + R η ou ainda: + c + R η 67 onde c h - - Levando 62 em 6:

11 Filro de Kalman 84 + ε f + - ou ainda: + ε 68 onde d f + Agora as equações 67 e 68 consiuem uma aproimação linear para o problema descrio em 59 e 6. A nova equação de ransição 67 é análoga a equação 45. Por ouro lado, a nova equação de medição 68 é análoga a equação 44. O filro de Kalman clássico agora pode ser aplicado seguindo o algorimo de equações de aualização do empo e de equações de aualização das medições conforme o Quadro 4. Equações de Aualização do empo Previsão Avança o esado no empo: ˆ _ h - Equações de Aualização das Medições Correção Calcula o ganho de Kalman: K + - P P H Avança a covariância no empo: P P + R Q R - Aualiza a variável de esado com - ˆ ˆ + K - f ˆ : Aualiza a mariz de covariância: P I K P Esimaivas iniciais:, e - P Quadro 4 Represenação esquemáica do filro de Kalman esendido