Aplicação. Uma famosa consultoria foi contratada por uma empresa. que, entre outras coisas, gostaria de entender o processo

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1 Aplicação Uma famosa consuloria foi conraada por uma empresa que, enre ouras coisas, gosaria de enender o processo gerador relacionado às vendas de deerminado produo, Ainda, o conraane gosaria que a empresa de consuloria gerasse uma esimaiva para as vendas do produo de ineresse para o próximo mês, levando em consideração oda a informação disponível aé a úlima daa observada.

2 Resolução A Figura, a seguir, apresena o gráfico de lina da série emporal de ineresse. Figura Gráfico de lina das vendas do produo, no período de jan/2002 a fev/203.

3 Resolução O consulor noou que a série parecia não apresenar variância esável ao longo do empo. Dessa maneira, ele resolveu rabalar com a série ransformada via logarimo naural. Figura 2 Gráfico de lina do ln(vendas do produo), no período de jan/2002 a fev/203.

4 Resolução Ainda, o consulor realizou um ese ADF, parindo da equação (7), uma vez que, da análise da Figura 2, o consulor não noou a necessidade de inclusão de um ermo deerminísico ligado à endência. Assim, avaliando os resulados do Quadro, noamos que não exisem evidências de que a série de ineresse apresene uma raiz uniária. Quadro Resulados do ese ADF para a série do ln(vendas do produo).

5 Resolução A Figura 3 apresena o correlograma da série. Figura 3 Correlograma da série ln(vendas do produo).

6 Resolução Como a FAC da série decai exponencialmene e a FACP é runcada no lag, enão o ideal seria propor um modelo AR() para a série emporal x. Ainda, pela Figura 2, podemos noar que a série não oscila em orno do valor zero. Dessa forma, deveríamos acrescenar uma consane ao modelo proposo. Assim, via sofware Eviews, cegamos ao seguine quadro:

7 Como diagnósico, foi gerado o correlograma dos resíduos, cujo padrão é apresenado na figura abaixo: Resolução Resulado: o erro do modelo proposo é um ruído branco!

8 Resolução Assim sendo, uilizando os resulados do quadro abaixo o modelo esimado fica escrio como ln x,65 0,647 lnx Agora precisamos aprender as ferramenas para gerar as previsões...

9 Previsão via Modelos ARIMA Aula 05 Enders (200, 2. ed.) Capíulo 2.9 Morein (20, 2. ed.) Seção 3.5 Morein e oloi, 2006 Capíulo 9

10 0 Considere que ~ ARIMA(p, d, q) dado por: em que Inrodução d p d p L L L L... ) ( 2 2 () ) ( 0 q q d p d p d p p d L L L L L )... ( ) ( ) ( q ql L L L... ) ( 2 2

11 Inrodução Aqui, o nosso ineresse será o de prever o valor de +, usando o modelo ARIMA, endo informações disponíveis aé o insane. Ou seja, gosaríamos de gerar conecimeno para a série emporal de ineresse, com origem no insane de empo (úlima observação coleada), passos à frene, =, 2, 3...

12 Inrodução Prova-se que a previsão de Erro Quadráico Médio Mínimo (EQMM) é dada pela esperança condicional de + dado o passado da série (, -,...). Ou seja o valor previso para +, =, 2, 3..., será gerado calculando-se E,,... (2)

13 em que Volando a (), não é difícil observar que + será dado por: (3) ) ( 0 q q d p d p Para a noação não ficar muio carregada, adoaremos a seguine simbologia: Inrodução E +,, =E + I I =,,.

14 Ainda, omando a esperança condicional dos dois lados da igualdade em (3), vem que Inrodução E + I = E α 0 + φ φ p+d + p+d + ε + θ ε + θ q ε + I Das propriedades da esperança, vem que E + I = α 0 + φ E + I + + φ p+d E + p+d I + +E ε + I θ E ε + I θ q E ε + q I

15 5 0 ), ( ˆ 0,,...), ( ) ( se se E a Para calcularmos as previsões usamos os faos: 0 0, 0,,...), ( ) ( se se E b e Inrodução

16 Exemplo 0 Supona que ~ AR(), dado por:. 0 Como =, 2,...,, não é difícil perceber que a equação anerior, para a úlima observação da série fica dada por. 0 Do resulado anerior vem que 0. 6

17 7 Assim, aplicando o operador esperança condicional na equação anerior, vem que:,...,,...,,..., 0 E E E Exemplo 0 (coninuação) Para =, emos,...,,...,,..., 0 E E E Da expressão anerior e uilizando os resulados do slide 5, cegamos a:. () ˆ 0

18 Para = 2, emos E Exemplo 0 (coninuação),,... E,,... E,, e, uilizando os resulados do slide 5, cegamos a: ˆ (2) ˆ 0 () Para = 3, emos E,,... E,,... E,, e, uilizando os resulados do slide 5, cegamos a: ˆ (3) ˆ 0 (2) 8

19 9 Exemplo 0 (coninuação) Não é difícil noar que, para 2, emos e, uilizando os resulados do slide 5, cegamos a:,...,,...,,..., 0 E E E ) ( ˆ ) ( ˆ 0

20 Erro de Previsão e Variância do Erro de Previsão O erro de previsão passos à frene é definido como e ( ) y yˆ ( ) Ainda, a variância do erro de previsão é dada por Var y 2 2 e ) 2 ( em que j são pesos conecidos como função de ransferência. 20

21 Erro de Previsão e Variância do Erro de Previsão Observação Como 2 cosuma ser desconecido, o subsiuímos por sua esimaiva, que pode ser obida, por exemplo, a parir da expressão σ ε 2 = SSR n p + q + 2

22 Inervalo de Confiança da previsão para + Caso você ena modelado a série de ineresse no nível, prova-se que o inervalo de confiança, com 00% de confiança, para +, é dado por ˆ ( ) z Var e ( ) / 2 ( ) z Var e ( ) / 2 ˆ

23 Exercício (Adapado da ANPEC2008 Q5) Supona que y y u em que u ~ 2 NID 0,. Sabe-se que = 35, = 3/5. Você é informado de que y 2 = 50. Deermine a melor previsão para y 4. Ainda, calcule a variância do erro de previsão e obena um inervalo com 95% de confiança. Para ano, admia que σ 2 = 2. 23

24 Exercício 2 Baseando-se nos resulados do Exercício e lembrando que y y u em que u ~ 2 NID 0,. com = 35, = 3/5 e σ 2 = 2, aualize a previsão para y 4, levando em consideração que y 3 =

25 Aualização das Previsões A aualização da previsão é dada pela seguine expressão: yˆ ( ) y ( ) ˆ ou seja, a previsão de y ++, feia no insane, pode ser aualizada quando um novo dado, y +, é observado. Dese modo, faremos a previsão de y ++, na origem +, adicionando-se à ˆ y ( ) um múliplo do erro y yˆ () 25

26 Volando ao Exercício 2 Baseando-se nos resulados do Exercício e lembrando que y y u em que u ~ 2 NID 0,. com = 35, = 3/5 e σ 2 = 2, aualize a previsão para y 4, levando em consideração que y 3 =

27 Exemplo 02 Supona o modelo MA(), 0, =, 2, 3,..., em que E = θ 0 ε ~RB 0, σ 2 Enconre as previsões para a série de ineresse, com origem em, num orizone =, 2, 3. Ainda, calcule o variância do erro de previsão associado.

28 28,...,,...,,..., 0 E E E Aplicando o operador esperança condicional, vem que Para =, emos e, uilizando os resulados do slide 5, cegamos a:. () ˆ 0,...,,...,,..., 0 E E E Observação: O valor de é calculado recursivamene. 0 Para obermos as previsões com origem em e orizone, escrevemos Exemplo 02 (coninuação)

29 Exemplo 02 (coninuação) Ainda, o erro de previsão um passo à frene é dado por e ( ) () ˆ e, porano, Var 2 (). e Já, para = 2, emos E,,... E,,... E,, e, uilizando os resulados do slide 5, cegamos a: ˆ (2) 0. 29

30 Exemplo 02 (coninuação) Aqui, o erro de previsão a dois passos é dado por e ˆ ( 2) 2 (2) 2 e, porano, Var 2 2 (2). e que é maior do que a variância do erro de previsão a um passo. 30

31 Exemplo 02 (coninuação) Vemos, porano, que para um processo MA(), a previsão a dois passos é igual à média do processo. De modo geral, para um MA(), ˆ ( ) 0 para 2. Já, para um modelo MA(q), a previsão ˆ ( ) será igual à média do processo após q-ésimo passo. 3

32 Exercício 3 Supona que o log-reorno de um aivo siga o modelo MA() r a a 0,2a, 0,025. Supona que a , a) Calcule as previsões a, 2 e 3 passos à frene, com origem em = 00. b) De (a), calcule os desvios padrões associados aos erros de previsões. 32

33 ransformações e Previsões Supona que y log e Para obermos as previsões para + basa calcularmos ˆ ( ) exp yˆ ( ) 0,5Var y e ( ) em que Var y e variância do erro de previsão de y. sob a suposição de que os coques sejam ruídos brancos gaussianos.

34 ransformações e Previsões Ainda, sob a suposição de que os coques do modelo são ruídos brancos gaussianos, calculamos a variância do erro de previsão para + via: Var expvar e ( ) e ) exp 2yˆ ( ) Var e ( ) ( y y em que Var y e variância do erro de previsão de y. 34

35 ransformações e Previsões Para o caso em que y log e prova-se que o inervalo de confiança, com 00% de confiança, para o valor de +, é dado por e yˆ ( ) z / 2 Var e ( ) yˆ ( ) z Var e ( ) y ; e y / 2 LEIA: Seção 9.6, ransformações e previsões, Morein e oloi (2006). pág. 232 a 234, do livro de

36 Volando à Aplicação Sabemos que o modelo esimado é dado por ln x,65 0,647 lnx Apenas para faciliar a análise, vamos adoar a seguine noação: y ln x Dessa forma, o modelo esimado ficará reescrio como y,65 0,647 y

37 Volando à Aplicação Sabemos que = 34 (observação realizada em fev/203). Assim, não é difícil perceber que a equação anerior, para a úlima observação da série ficará dada por y,65 0,647 y Ainda, do resulado anerior, somando passos, eremos que y,65 0,647y

38 Volando à Aplicação Aplicando o operador esperança condicional eremos E y,65 0,647Ey E Para =, emos E y,65 0,647Ey E Da expressão anerior e uilizando os resulados do slide 5, cegamos a: yˆ,65 0, 647y 38

39 Da base de dados, emos que Volando à Aplicação y 4,627 Porano, o valor previso para ln(vendas do produo) em março de 203, endo oda a informação disponível aé fev/203 será dado por ˆ y,65 0,647 4,627 4, 609 odavia o nosso ineresse esá em prever as vendas. Assim sendo, precisaremos buscar resulados eóricos visos nos slides 33 e

40 Volando à Aplicação A seguir emos um resumo esaísico dos resíduos associados ao modelo de ineresse: Não é difícil observar que a série de erros pode ser considerada, via análise de resíduos, um ruído branco gaussiano (ese JB). 40

41 Volando à Aplicação Baseando-se no resulado apresenado no slide anerior, associado ao resulado descrio no slide 33, emos que yˆ () exp xˆ () 0,5Var x e () Ainda, como ˆ x 4, 609 e Var x e 0, Dessa forma, ˆ y () exp 4,609 0,50, , 82 4

42 Observação Na práica, como usamos o modelo esimado para fazer as previsões, é usual esconder algumas observações e, após fazer as previsões com a informação disponível, gerar as seguines esaísicas: RMSE H 2 e H ( ) MAE H e ( ) H MAPE H e ( ) H que são basane úeis na escola do modelo final.

43 Observação 2 No Eviews: a) Previsão Dinâmica previsão com origem fixa (exrapolação); b) Previsão Esáica previsão feia incorporando +, +2,... (previsão um passo à frene ou aualização das previsões). Úil para acompanar (moniorar) as previsões. Na previsão em +2 roco o valor previso em + pelo valor efeivamene observado em +. 43

44 Aplicação Práica (Para o LAR) Escola alguma série emporal enre aquelas que poderiam ser escolidas no Problema Aplicado I, discuido em HEB I, e faça o que for pedido: (a) um ese de raiz uniária; (b) esimação de um modelo da classe ARIMA(p, d, q); (c) uma análise complea dos resíduos; (d) previsões para os dois próximos períodos, com origem na úlima observação considerada na esimação, além da consrução do IC, com 95% de confiança. Finalmene, apresene os resulados num gráfico de lina e comene.

45 Exercícios

46 Exercício 4 (ANPEC2006 Q5) Uma série emporal Y, =,..., foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresena os seguines formaos para a Função de Auocorrelação (FAC) e Função de Auocorrelação Parcial (FACP): Supondo que a média da série seja 00 e que Y -3 = 35, Y -2 = 28, Y - = 38 e Y = 30, calcule a previsão para Y + feia no insane E(Y + Y,Y -,Y -2,Y -3,...)., iso é

47 Exercício 5 Considerando que possa ser modelada pelo processo AR(), a seguir:. 0 calcule o erro de previsão e a variância associada ao erro de previsão, com origem em, para =, 2,

48 Exercício 6 (ANPEC2007 Q03) Considere o modelo auorregressivo de primeira ordem, AR(), definido por Y a by u em que a e b são parâmeros; e {u } é uma sequência de variáveis aleaórias independenes e igualmene disribuídas, com média nula e variância σ 2. 48

49 Exercício 6 (con.) Supona que b <. Sendo assim, a previsão n passos à frene para a variável Y convergirá para: (0) a. () a média de u. (2) a/(-b). (3) E(Y ). (4). Jusifique sua resposa. 49