Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia de Porto Alegre Departamento de Engenharia Elétrica ANÁLISE DE CIRCUITOS II - ENG04031

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1 Universidade Federal do io Grande do Sul Escola de Engenharia de Poro Alegre Deparameno de Engenharia Elérica ANÁLISE DE CICUITOS II - ENG43 Aula 5 - Condições Iniciais e Finais de Carga e Descarga em Capaciores e Induores Sumário Análise de circuios no domínio empo; Equações básicas de ensão e correne em induores e capaciores; Condições iniciais e finais de ensão e correne nos capaciores e induores; esposa de circuios C série a um degrau; Procedimenos práicos de solução de circuios C; esposa de circuios L série a um degrau. Análise de Circuios no Domínio Tempo Ao se iniciar a análise de circuios no domínio empo, deve-se conhecer os modelos no domínio empo das principais funções que represenam as fones de ensão e correne (sinais) presenes em um circuio. Esses sinais esão associados a fenômenos físicos que ocorrem em um circuio; represenam o fechameno de uma chave, o decaimeno naural da ensão em um elemeno do circuio, enre ouros. São seis as principais funções: () impulso uniário, (2) degrau uniário, (3) rampa, (4) quadráica, (5) exponencial e (6) senoidal. As equações e os gráficos dessas funções são visas a seguir.. O gráfico da função Impulso Uniário, bem como sua equação, são visos na Fig.. U () : < U () : = : >. Figura : Função Impulso Uniário. 2. O gráfico e a equação da função Degrau Uniário são visos na Fig. 2. U () U () : < :. Figura 2: Função Degrau Uniário.

2 3. A equação e o gráfico da função ampa são visos na Fig. 3. U 2 () U 2 () : : < A Fig. 4 exibe a função Quadráica. Figura 3: Função ampa. /2 U 3 () U 3 () : < 2 2 :. Figura 4: Função Quadráica. 5. Já a Fig. 5 mosra a função Exponencial. U 4 () /a U 4 () : < e a U :. Figura 5: Função Exponencial. 6. Por fim, o gráfico e equação da função Senoidal são exibidos na Fig. 6. U 5 () : < U 5 () sen(ω ) U () :. T/2 T Figura 6: Função Senoidal. Obs.: defini-se o insane de empo = o momeno inicial em que ocorrre alguma ransição no circuio, al como uma chave abrindo ou fechando, um sinal (fone) sendo ligado ao circuio, enre ouros. Ainda, defini-se ambém os inanes = e = os inanes imediaamene anerior e poserior a =, respecivamene. Induor A capacidade que um conduor possui de induzir ensão em si mesmo quando a correne varia é a sua auo-induância ou simplesmene induância, simbolizada pela lera L, medida em henrys (H). L = fluxo magnéico/correne = Weber/Ampére = henry. 2

3 Em ouras palavras, a induância é a propriedade de um circuio fazer oposição a qualquer mudança na circulação de correne. Um induor é uma bobina de indução (conduor enrolado), usado para inroduzir uma induância em um circuio. O comporameno dos induores se baseia em fenômenos associados a campos magnéicos produzidos por correnes eléricas. Quando há variação de correne elérica, o campo magnéico produzido por esa correne ambém varia. O símbolo do induor é viso na Fig. 7. I V L L L Figura 7: Símbolo do induor. A ensão enre os erminais de um induor é proporcional à axa de variação da correne que o percorre. Maemaicamene, a relação é a seguine: Inegrando a expressão anerior, obém-se a correne I L : I L = L V L = L I L. () V L () = L Em um insane infiniesimal de empo, enre e por exemplo, em-se: I L () = L = V L () I L (). (2) = V L () =. (3) Ou seja, não é possível modificar a correne no induor de modo insanâneo, a não ser que V L =. Capacior Um capacior é um disposiivo elérico formado por duas placas conduoras de meal separadas por um maerial isolane chamado dielérico. O comporameno dos capaciores se baseia em fenômenos associados a campos eléricos, armazenando a carga elérica no dielérico. A capaciância é a capacidade de armazenameno de carga elérica, simbolizada pela lera C 2, medida em farads (F). O símbolo do capacior é viso na Fig. 8. I C VC C Figura 8: Símbolo do capacior. A correne do capacior é proporcional à axa de variação da ensão enre os erminais do capacior. Maemaicamene, a relação é a seguine: Inegrando a expressão anerior, obém-se a ensão : I C = C. (4) = C I C () = C I C () (). (5) 2 C = quanidade de carga/ensão = Coulomb/Vol = farad. 3

4 Em um insane de infiniesimal de empo, enre e por exemplo, em-se: () = C = = I C () =. (6) Ou seja, não é possível modificar a ensão no capacior de modo insanâneo, a não ser que I C =. Condições Iniciais e Finais de Tensão e Correne em Capaciores e Induores Algumas considerações imporanes, visas a seguir, podem ser feias a respeio do comporameno inicial e final das ensões e correnes nos capaciores e induores. Induor para = : a correne que aravessa um induor não pode variar insananeamene; assim, o induor compora-se como um circuio abero, como viso na Fig. 9. V L I L L = V L I L = Figura 9: Comporameno do induor para =. Induor para = : quando a correne que aravessa um induor é consane, a ensão é nula; iso é, o induor se compora como um curo-circuio, conforme viso na Fig.. V L I L L = V L = I L Figura : Comporameno do induor para =. Capacior para = : a ensão enre os erminais de um capacior não pode variar insananeamene; ou seja, o capacior compora-se como um curo-circuio, como viso na Fig.. I I C C C = = Figura : Comporameno do capacior para =. Capacior para = : quando a ensão é consane, a correne em um capacior é nula; iso é, o capacior se compora como um circuio abero, conforme viso na Fig. 2. I C C = I C = Figura 2: Comporameno do capacior para =. 4

5 esposa de Circuios C Série a um Degrau A resposa de um circuio à aplicação abrupa de uma ensão ou correne é conhecida como resposa a um degrau. A resposa de um circuio, Fig. 3, a um degrau de ampliude V será descria a seguir. I V U C Figura 3: Circuio C série. Inicialmene, deve-se ober as condições iniciais de ensão e correne dos componenes do circuio. para ( ): C ( ) =, I C ( ) =. para = : V I C ( ) =, I C ( ) = V. para ( ) V ( ) = V, I C ( ) =. Pode-se ober agora a equação diferencial do circuio a parir da lei de Kirchhoff: V I = I C = C C = V = V. Inegrando a expressão anerior, obém-se a expressão de (): VC() C = () V τ = ln C V = τ () () (7) (8) 5

6 C = ln () V () V ( ) e C = () V () V ( ) () = V [ () V ] C e ( ) () = V e C. (9) Deermina-se enão, a expressão de I C () para : I C () = C () I C () = C V V e ( ) C / ( ) I C () = C V (/ C)e C ( ) () I C () = V e C. Exemplo : supondo um circuio C série, como viso na Fig. 3, com =, V = e C = µ, as expressões para () e I C () ficam: () = e (k ), I C () =, e (k ). () A Fig. 4 exibe a resposa de () e de I C () ao degrau uniário. Eses gráficos foram gerados com o auxílio do Malab. Vc () (s) x 4 Ic () (s) x 4 Figura 4: Gráficos de () e I C () para o Exemplo. Observando a Fig. 4, vê-se que quando o empo ranscorrido é maior do que cinco (5) consanes de empo, > 5τ (τ = C = 4 ), o valor de ou I C ainge mais de 99% (99.3) do valor de regime permanene. 6

7 Procedimenos Práicos para Solução de Circuios C Os procedimenos apresenados a seguir são úeis ao se rabalhar com circuios onde os capaciores já se apresenam carregados e ocorre alguma redisribuição de cargas após uma chave ser fechada ou uma fone modificar o seu valor, por exemplo. Deve-se subsiuir as condições iniciais por fones equivalenes. A Fig. 5 exibe um capacior já carregado ligado a um circuio e o cálculo de () nesse caso. V Circuio () = i C () C () = i C () i C () C C () = V U i C (). C Figura 5: Circuio com capacior carregado. O circuio equivalene com as condições iniciais e finais de ensão sobre o capacior é viso na Fig. 6. a a a V U b Circuio V U b V U b em = em = Figura 6: Circuio equivalene da Fig. 5. Obs.: as ensões nos capaciores são as ensões nos conjunos (capacior descarregado fone). Exemplo 2: considerando o cicuio viso na Fig. 7, que apresena dois capaciores já carregados, uma chave é fechada, em =, colocando um fone de 4V em paralelo com o circuio C. S 4 = 8 C = 5 2 = 4 C 2 = Figura 7: Exemplo de disribuição de cargas enre capaciores. Para =, deve-se subsiuir os capaciores descarregados por curo-circuios, verificando a necessidade de disribuição de cargas. A Fig. 8 exibe a subsiuição dos capaciores pelos seus equivalenes para = no circuio do Exemplo 2. 7

8 //2 Precisa redisribuir. Figura 8: Coninuação do Exemplo. Deve-se disribuir odas as ensões pelos capaciores descarregados. Calcula-se, inicialmene, a capaciância equivalene C eq : C eq = C C 2 C eq = 5 2 C eq = 4. Aplicando a lei de Kirchhoff das ensões, para uma das malhas do circuio viso na Fig. 8, obém-se: (2) 4 eq 8 4 = eq = 4 2. (3) onde eq é a ensão do capacior equivalene. Calcula-se a carga oal Q T : Q T = C eq V T Q T = 4 (4 2) = 32. Obêm-se por fim, as ensões e 2 disribuídas enre os capaciores: V C = Q T = 32 C 5 V C2 = Q T = 32 C 2 2 Calcule-se enão, as ensões finais sobre os capaciores: = 64, = 6. = ( ) V C = 8 64 = 6, 2 = 2( ) V C2 = 4 6 = 24. (4) (5) (6) Procedimeno análogo deve ser feio para =. esposa de Circuios L Série a um Degrau A resposa de um circuio L série, como viso na Fig. 9, a um degrau de ampliude V será analisada a seguir. V U L Figura 9: Circuio L série. 8

9 Inicialmene, deve-se ober as condições iniciais de ensão e correne dos componenes. para ( ): I L V L ( ) =, I L ( ) =. para = : V V L ( ) = V, V L I L ( ) =. para ( ): V I L V L ( ) =, I L ( ) = V. Pode-se ober agora, a equação diferencial do circuio a parir da lei de Kirchhoff: V L = V L I L = (I I L ) L = I L. I L I (7) Inegrando a expressão anerior, obém-se a correne I L (): IL() L τ = I L I L () I L I = ln I L() I ( L ) I L () I e L = I L() I I L () I ( ) I L () = I ( ) I L () I e L ( ) I L () = V ( V ) e L ( ) I L () = V ( ) e L. (8) 9

10 Deermina-se agora a expressão de V L () para : V L () = L I L() ( ) V V e L V L () = L ( V L () = L V ( ) e ( /L)) ( ) L (9) V L () = V e L. Exemplo 3: supondo um circuio L série, como viso na Fig. 9, com =, V = e L = m, as expressões para I L () e V L () ficam: I L () =, ( e (k )), V L () = e (k ). (2) A Fig. 2 exibe a resposa de I L () e de V L () ao degrau uniário. Eses gráficos ambém foram gerados com o auxílio do Malab. IL (). VL () (s) x (s) x 5 Figura 2: Gráficos de I L () e V L (). Observa-se, novamene, que quando o empo ranscorrido é maior do que cinco (5) consanes de empo, > 5 τ (τ = /L = 5 ), o valor de V L ou I L ainge mais de 99% do valor de regime permanene.