Universidade Federal de Lavras

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1 Universidade Federal de Lavras Deparameno de Esaísica Prof. Daniel Furado Ferreira 11 a Teoria da Decisão Esaísica 1) Quais são os erros envolvidos nos eses de hipóeses? Explique. 2) Se ao realizar um ese e a hipóese nula for rejeiada, qual será o possível erro que você poderá esar incorrendo? Qual é a probabilidade de ese erro ser comeido? 3) Se em um deerminado ese a hipóese nula não for rejeiada, qual é o possível erro que você esará incorrendo? Qual é a probabilidade de se esar comeendo ese erro? 4) Em um ese, as probabilidades dos erros ipo I e II são inversamene proporcionais. Se reduzirmos em demasia a probabilidade do erro ipo I (α), a probabilidade do erro ipo II (β) aumenará. Como podemos, fixado o valor de α, reduzir a probabilidade de comeermos o erro ipo II (β)? 5) O faor K em (MJ mm) 1 (erodibilidade do solo em relação a quanidade de solo perdido em uma dada área por unidade do índice de erosividade) de n = 22 unidades amosrais de solos brasileiros com horizone B exural (B) esão apresenados a seguir: 0,008 0,045 0,024 0,034 0,027 0,032 0,018 0,032 0,012 0,008 0,004 0,025 0,008 0,031 0,009 0,014 0,004 0,033 0,032 0,004 0,023 0,028 Fone: Marques, J.J.G. de S. e M. (Tese MS, 1996). Tesar a hipóese de que a média brasileira do faor K é igual a de um ouro país sul americano dada por 0,074. Dados: 0,025;ν=21 = 2,080. 6) Planejar um experimeno para esar a hipóese de que a média geral dos alunos em odas as disciplinas cursadas na UFLA (que esejam esudando) seja igual a 6,0. Dê os dealhes do experimeno (amosragem) e o roeiro para o ese, além de fornecer os dealhes de como seria o dimensionameno da amosra para execução do ese. 7) Um melhorisa de plana irá realizar o melhorameno em uma população candidaa ao programa se sua variância for igual a σ 2 = 15 (/ha) 2. Numa amosra de amanho n = 250 foi obida a seguine esimaiva da variância populacional: S 2 = 14,5 (/ha) 2. Com base em um ese de hipóese adequado, o melhorisa deve omar que decisão em relação a escolha desa população? Jusifique sua resposa aplicando esse ese apropriado. Dados: χ 2 0,025;249 = 294,601 e χ 2 0,975;249 = 207,186. 8) Em Drosophila exise a suspeia de que um gene (V) conrola os ipos de asa (normal e vesigial). Na geração F 2 do cruzameno enre uma linhagem com asas normais e oura com asas vesigiais foram observados os seguines resulados: Asas Normais Asas Vesigiais Tesar a hipóese de que exise apenas um gene, ou seja, de herança monogênica. Isso equivale ao ese da hipóese de que a proporção de indivíduos com asas vesigiais é igual a 1 4.

2 2 Resolução 1) Erros do ipo I e do ipo II. O erro do ipo I é aquele que comeemos quando rejeiamos uma hipóese verdadeira e a probabilidade de o comeermos é igual a α, que é direamene conrolada pelo pesquisador. O erro do ipo II é aquele que comeemos quando não rejeiamos uma hipóese que é falsa e a probabilidade de comeê-lo é β. As probabilidades dos dois erros são inversamene proporcionais. O valor de β depende do ese adoado, do amanho da amosra e da disância enre o valor hipoéico e o valor paramérico. Quano menor essa disância, maior será o β. Pense, no enano, que as consequências práicas de não rejeiar uma hipóese falsa quando o valor paramérico esá muio pero do valor hipoéico podem ser consideradas desprezíveis. 2) Se rejeiarmos a hipóese e ela for falsa a decisão esará correa, mas se a rejeiarmos e ela for verdadeira, enão esaremos incorrendo em um erro do ipo I, cuja probabilidade de o esarmos comeendo é igual a α. Observe que as decisões aceradas em um ese de hipóese, em geral, são mais prováveis. Assim, devemos esar cienes que poderemos esar incorrendo em erro, mas que a maior chance é de ermos acerado a decisão. 3) Não rejeiar uma hipóese verdadeira é uma decisão correa, mas se a hipóese for falsa, o erro comeido é do ipo II e a probabilidade de comeê-lo é β. Veja caracerísica dese erro no exercício 1. 4) Aumenando o amanho da amosra n. 5) A hipóese de ineresse é dada por: A média e a variância amosrais são: H 0 : µ =0,074 vs H 1 : µ 0,074. X =0, e S 2 =0, A esaísica do ese: c = X µ 0 0, ,074 = = 20,5147. S 0, n 22 A região críica (região de rejeição da hipóese nula), sabendo que 0,025;ν=21 = 2,080, é dada por: 95% 2,5% 2,5% 2,08 0 c 2,08 Como o valor de c perence a região de rejeição da hipóese, pelo ese, com 95% de confiança, a hipóese nula deve ser rejeiada, ou seja, concluímos que os solos brasileiros possuem média de erodibilidade inferior a média do país sul americano considerado. 6) Devemos inicialmene realizar uma amosra e para isso precisamos dimensioná-la. Assim, devemos fazer uma amosra piloo e ober uma esimaiva S 2 da variância populacional, fixamos uma diferença mínima (e) que desejamos

3 3 deecar pelo ese de hipóese e fixamos o coeficiene de confiança em 1 α, escolhendo um valor apropriado de α. Com eses valores uilizamos a fórmula de forma ieraiva e dimensionamos a amosra. n = 2 α/2 S2 e 2, Devemos realizar a amosragem de forma represenaiva e podemos imaginar que as noas são diferenes nos diferenes cursos (se não for não há problema) e diferene nos diferenes períodos, pois na área básica a dificuldade é poencialmene maior. Assim, realizamos uma amosragem esraificada proporcional. Após obermos a amosra esimamos a média e a variância populacionais obendo X e S 2. A hipóese nula de ineresse é: H 0 : µ =6,0 vs H 1 : µ 6,0. A esaísica do ese é calculada uilizando: c = X µ 0. S n O valor da esaísica do ese é confronado com as regiões críicas (regiões de rejeição da hipóese nula), adoando α/2;ν=n 1, dada por: 1 α α/2 α/2 α/2 0 α/2 Se c, enão rejeiamos H 0 ; caso conrário H 0, não deve ser rejeiada considerando o nível nominal de significância α adoado. 7) Devemos esar as hipóeses: H 0 : σ 2 =15 vs H 1 : σ A esaísica do ese é calculada uilizando: χ 2 (n 1)S ,5 c = σ0 2 = = 240, A região críica (de rejeição da hipóese) para o ese é dada por:

4 4 f ( χ 2) RRH0 0,95 207, ,601 χ 2 como χ 2 c = 240,70 se siua na região de não rejeição da hipóese nula, não devemos rejeiar a hipóese H 0, considerando o ese de qui-quadrado com 95% de confiança. Assim, a hipóese de que a variância populacional seja igual a 15 não deve ser rejeiada e porano o melhorisa poderá invesir na população candidaa. 8) Sob herança monogênica a segregação genoípica esperada na geração F 2 é dada por: 1 4 V V 2 4 V v 1 4 vv, que corresponde a 3/4 de Drosophilas com asas normais e 1/4 com asas vesigiais (segregação fenoípica). Assim, se esse modelo (de herança monogênica) for verdadeiro, espera-se 1/4 de inseos com asas vesigiais. Logo, devemos esar a seguine hipóese H 0 : p = 1 4 vs H 1 : p 1 4. A esimaiva ponual da proporção de sucessos (inseos com asas vesigiais) é: sendo, enão a esaísica do ese dada por: ˆp = y n = = 0, , ˆp p 0 Z c = p0 (1 p 0 ) n = 0, ,25 0,25 (1 0,25) 89 = 1, A região críica (de rejeição da hipóese), em cinza, para o ese é dada por: 0,95 0,025 0,025 1,96 µ = 0 1,96 z Como o valor da esaísica calculado Z c = 1,65 perence a região de não rejeição da hipóese, enão pelo ese binomial, uilizando a aproximação normal, com aproximadamene 95% de confiança, não rejeiamos a hipóese nula de que a herança é monogênica, ou seja, o conrole do ipo de asas em Drosophilas é devido a um único gene com dominância do alelo V, que confere asas normais, sobre o alelo v, responsável por asas vesigiais.

5 5 Observação: Maéria para a úlima prova Lisas: 11, 12 e 13 (sem gabario) Prova 3: Capíulo 8, seção 8.4 Capíulo 9, Seções 9.1 (9.1.5), 9.2 (9.2.2), 9.4(9.4.3) Capíulo 11, Seções 11.1 (11.1.3) Capíulo 13 e 14 ópicos selecionados.