2.ª AULA Representação gráfica de sinais Rampa unitária, Impulso unitário e Escalão unitário

Transcrição

1 Insiuo Poliécnico de Seúbal Engenharia Elecroécnica Conrolo.ª AULA Represenação gráfica de sinais Rampa uniária, Impulso uniário e Escalão uniário Docene Prof.ª Sónia Marques

2 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 ª aula Represenação gráfica de sinais Rampa uniária, Impulso uniário e Escalão uniário, RAMPA UNITÁRIA u() u ( ) = Considere um sisema de ª ordem com a seguine função de ransferência G (S ) = Ts + A resposa do sisema a uma rampa uniária de um sisema de ª ordem é dada pela expressão, c( ) = T + Te T onde T represena a consae de empo do sisema. Define-se em primeiro o empo de a segundos de, depois a consane de empo por exemplo T=.5 e por fim o gráfico pelo comando plo(x,y): Define-se em primeiro o empo de a segundos de. em., logo =:.:, =:.:; depois a expressão maemáica da resposa emporal para uma consanes de empo, T=.5, T=.5; y= -T+T*exp(-/T); e por fim o gráfico pelo comando plo(x,y) onde se coloca no mesmo gráfico a curva de uma rampa uniária e a resposa do sisema c ( ) = e. 5 plo(,y,'m.',,) Por Profª Sónia Marques

3 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 9 8 u()= c()=-t+t*exp(-/t) T= Vamos agora mosrar, variando a consane de empo T que, quano menor a consane de empo menor o erro esacionário. T=, T=5, T= T=; y= -T+T*exp(-/T); T=5; y= -T+T*exp(-/T); T=; y3= -T+T*exp(-/T); y4= ; plo(, y, 'mo',, y, 'c.',, y3, 'g*', y4,, 'k+') y = y = -+exp(-) y = -5+5*exp(-/5) y = -+*exp(-/) Por Profª Sónia Marques 3

4 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 IMPULSO UNITÁRIO u() u( ) = = a a a Considere um sisema de ª ordem com a seguine função de ransferência genérica, G (S ) = Ts + A resposa do sisema a um impulso uniário de um sisema de ª ordem é dada pela T e expressão, c( ) = onde T represena a consae de empo do sisema. T Define-se em primeiro o empo de a segundos de, depois a consane de empo por exemplo T=3 e por fim o gráfico pelo comando plo(x,y): Define-se em primeiro o empo de a 4 segundos de. em., logo =:.:4, =:.:4; depois a expressão maemáica da resposa emporal para várias consanes de empo, T=.5, T=, T=, T=8, T=.5; y=exp(-/t)/t; T=; y=exp(-/t)/t; T=; y3=exp(-/t)/t; T=4; y4=exp(-/t)/t; T=8; y5=exp(-/t)/t; e por fim o gráfico pelo comando plo(x,y) onde se coloca no mesmo gráfico as várias curvas, plo(,y,,y,,y3,,y4,,y5) Por Profª Sónia Marques 4

5 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo / T=.5 T= T= T=4.6.4 T= No enano a resposa do sisema a um impulso uniário já esá definida no Malab e é dada pelo comando impulse(num,den): T=8; num=; den=[t ]; impulse(num,den) Impulse Response...8 Ampliude ESCALÃO UNITÁRIO u() u( ) = a < a a Por Profª Sónia Marques 5

6 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 SISTEMAS DE ª ORDEM Considere um sisema de ª ordem com a seguine função de ransferência genérica, G (S ) = Ts + A resposa do sisema a um degrau uniário de um sisema de ª ordem a um escalão uniário é dada pela expressão, u( ) = e T onde T represena a consae de empo do sisema. Define-se em primeiro o empo de a segundos de.9 em.9, logo =:.9:, =:.9:; depois a expressão maemáica da resposa emporal para várias consanes de empo, T=, T=.5, T=4, T=, T=; T=.5; T3=4; T4=; y=-exp(-/t); y=-exp(-/t); y3=-exp(-/t3); y4=-exp(-/t4); e por fim o gráfico pelo comando plo(x,y) onde se coloca no mesmo gráfico as quaro curvas: plo(, y,'mo',,y,'c.',, y3,'g*',, y4, 'k+') T= T=4 T=.5 T= Verifica-se enão conforme esperado que quano menor a consane de empo mais rápida é a resposa do sisema. Por Profª Sónia Marques 6

7 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Exise no enano uma função definida no Malab que permie ober, a parir de qualquer função de ransferência, a resposa do sisema a um escalão uniário. Essa função é sep(numerador,denominador). T =8; num=; den=[t ]; sep(num,den) Sep Response Ampliude Exise uma oura função definida no malab, o comando liview, que represena não só a resposa emporal de sisemas a um escalão uniário bem como ao impulso uniário, o diagrama de bode, o diagrama de Nyquis, enre ouros, bem como parâmeros imporanes caracerísico de cada gráfico. Considere a função de ransferência K G(S ) = onde K=.95 e K=.47 s + skk + K sys=f(.95, [.95*.47.95]) Transfer funcion: s^ s +.95 liview('sep',sys) Por Profª Sónia Marques 7

8 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Sep Response.5 Ampliude Impulse Response.5 Ampliude Bode Diagrams 5 Phase (deg); Magniude (db) Frequency (rad/sec) Por Profª Sónia Marques 8

9 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 SISTEMAS DE ª ORDEM Considere um sisema de ª ordem com a seguine função de ransferência genérica, ω n G (S ) = s + sξω + ω Fazendo a frequência naural não amorecida ω n =5 rad/s e variando o coeficiene de amorecimeno ξ=,.,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9, e, vem, num=5; coef= den=[ *coef*5 5]; sys=f(num,den) Transfer funcion: s^ + 5 liview('sep',f(num,den)); coef=. den=[ *coef*5 5] sys=f(num,den) Transfer funcion: s^ + s + 5 coef=. den=[ *coef*5 5]; sys=f(num,den) Transfer funcion: s^ + s+5 coef=.3 : : coef= den=[ *coef*5 5] sys=f(num,den) Transfer funcion: s^ + s + 5 No fim faz-se refresh no Workspace no gráfico do LTI Viewer e as resposas são represenadas odas no mesmo gráfico, nn Por Profª Sónia Marques 9

10 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Sep Response ξ= ξ=.4 Ampliude ξ=. ξ=. ξ=.3 ξ= ξ= ξ= Considerando o caso de subamorecido, ξ<, no plo opions obenha o empo de pico, o empo de subida ou crescimeno, o empo de esabelecimeno ou acomodação, e comene. Considere agora o caso de amorecimeno críico, ξ=, e sobreamorecimeno, ξ>, o que varia nas caracerísicas da resposa ransiória. Fazendo o coeficiene de amorecimeno ξ =. e variando a frequência naural não amorecida ω n enre e 5, vem, w=.; num=w*w; den=[ *w*. w*w]; a=f(num,den); w=.5; num=w*w; den=[ *w*. w*w]; a=f(num,den); w=.9; num=w*w; den=[ *w*. w*w]; a=f(num,den); Por Profª Sónia Marques

11 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 w=.5; num=w*w; den=[ *w*. w*w]; a3=f(num,den); w=5; num=w*w; den=[ *w*. w*w]; a4=f(num,den); liview( sep,a,a,a,a3,a4) w=.5 Sep Response w= w=.9 w=.5 w=..4 Ampliude O que se manêm? Como é que variam as caracerísicas da resposa ao escalão uniário, comene. COMPARAÇÃO DE UM SISTEMA DE º ORDEM COM UM SISTEMA DE º ORDEM SOBREAMORTECIDO, ξ>, num=; den=[ ]; a=f(num,den) Transfer funcion: s + num=36; den=[ 3**6 36]; a=f(num,den) Por Profª Sónia Marques

12 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Transfer funcion: s^ + 36 s + 36 liview('sep',a,a) Sep Response Ampliude Como é que se podem diferenciar a resposa a um sisema de ª ordem e a resposa ao sisema de ª ordem?? Pela derivada na origem. Ampliando na origem, Sep Response.4.. Ampliude EXERCICÍOS Considere enão um sisema de ª ordem com frequência naural não amorecida ω n =5 e coeficiene de amorecimeno ξ =, a função de ransferência é enão, G ( S) = s 5 + 4s + 5 Por Profª Sónia Marques

13 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Represena-se o numerador por um polinómio num=[5] e o denominador den=[ 4 5]. O escalão uniário é dado pelo comando sep(num,den): num=5; den=[ 4 5]; sep(num,den).4 Sep Response From: U(). Ampliude To: Y() O coeficiene de amorecimeno - ξ - e frequência naural não amorecida - W n pode ser deerminada pelo comando damp(den): [Wn,coef]=damp(den) Wn = 5 5 coef =.4.4 Fazendo ϖ n = 5 e ξ = o denominador fica s + ξω ns + ω n = s + s + 5 logo a 5 função de ransferência é : G (S ) = e o gráfico vem: s + 5 Por Profª Sónia Marques 3

14 Insiuo Poliécnico de Seúbal - Conrolo /3 Sep Response Ampliude Calcule os pólos da função de ransferência uilizando o comando roos. Onde se localizam no plano complexo, uilize o comando pzmap? Relacione a localização dos pólos com o ipo de resposa obida no gráfico anerior. Por Profª Sónia Marques 4