Séries temporais Modelos de suavização exponencial. Séries de temporais Modelos de suavização exponencial

Transcrição

1 Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção Análise de séries de empo: modelos de suavização exponencial Profa. Dra. Liane Werner Séries emporais A maioria dos méodos de previsão se baseiam na idéia de que observações passadas conêm informações sobre o padrão de comporameno da série emporal. O propósio dos méodos é disinguir o padrão de qualquer ruído que possa esar conido nas observações. Os modelos de suavização assumem que os valores exremos da série represenam a aleaoriedade e, aravés da suavização desses exremos pode-se idenificar o padrão básico, para enão usá-lo e prever valores fuuros da série. 2 Séries emporais Para realizar a modelagem uilizando os modelos de suavização exponencial é indicado proceder da seguine forma: Colear os dados e separar a série em duas pares, uma para modelagem oura para esagem. Escolha o méodo de suavização apropriado, verifique se exise endência, sazonalidade e a forma da sazonalidade. Consrua um gráfico para faciliar. 3 Séries de emporais Suavaização exponencial simples Série sem endência Linear de Hol Série com endência Hol-Winer adiivo Série com endência e sazonalidade adiiva Hol-Winer muliplicaivo Série com endência e sazonalidade muliplicaica 4

2 Séries emporais Esime os parâmeros para o modelo escolhido. Para o modelo esimado uilize os dados de esagem para ober as medidas de adequação MSE, MAPE e ouras... Obem-se as previsões se o modelo for adequado. Séries emporais Modelos sem endência Para séries sem endência, os dados são represenados pela média da série: Y = µ + ε =,2,...,T onde: µ é um nível médio consane. É necessário esimar os parâmeros do modelo, nese caso µ. Pode-se esimar µ uilizando médias móveis (MM) MM ( k ) = Y k i= k + onde: MM (k) é a média móvel para o período com k observações. 5 6 Séries emporais Modelos sem endência O ermo média móvel é usado para descrever o procedimeno que para cada nova observação disponível, uma nova média pode ser calculada rocando a observação mais aniga e incluindo a mais recene. Esa média será a previsão do próximo período. A previsão de odos os valores fuuros é dada pela úlima média móvel calculada: ˆ µ = Ŷ ( h ) = MM ( k ) h > 0 onde: Ŷ ( h ) é a previsão no empo, para h passos a frene. Séries emporais Modelos sem endência Conjuno de dados para o consumo de energia e médias móveis para k=3 e k=6 Mês consumo mm(3) mm(6) jan fev 67 mar ,0 abr ,3 mai ,3 jun ,0 3228,5 jul ,7 396,0 ago ,7 333,5 se ,7 3397,3 ou ,7 3044,7 nov ,7 378,7 dez ,0 343,3 7 8

3 Séries emporais Modelos sem endência cons sumo jan fev mar abr mai jun jul ago se ou nov dez mês consumo mm(3) mm(6) 9 Séries emporais Modelos sem endência Uma exensão óbvia para o méodo de Médias Móveis é a previsão uilizando uma ponderação no seu cálculo, iso é aribuindo pesos para cada valor observado na série. Conudo, para previsão, a observação mais recene ende a prover uma melhor informação para o fuuro, assim se orna desejável que, quano mais anigo for o valor, menor seja seu peso. Mas iso deve ser de forma gradaiva, quano mais no passado o valor esiver menor será sua conribuição. Por iso pode-se esimar µ aravés da Suavização Exponencial Simples 0 Séries emporais Modelos sem endência Assim o méodo de Suavização Exponencial Simples (SES) as observações mais recenes na série emporal recebem maior imporância para a esruuração do modelo. µ = Ŷ = Yˆ + α Y Yˆ = αy + α Y ( ) ( ) ˆ ˆ Y ˆ pode ser esimado: usando a observação mais recene avaliando subjeivamene Séries emporais Modelos sem endência Consumo de energia elérica e os valores de suavização para α = 0,9; 0,5 e 0,. Mês consumo α = 0,9 α = 0,5 α = 0, jan fev mar abr mai jun jul ago se ou nov dez Ŷ 0 = αy0 + (-α)ŷ = (0,9)(4206) + (0,)(309) =

4 Séries emporais Modelos sem endência jan mar mai jul se nov jan consumo SES = 0,9 SES = 0,5 SES = 0, mar mai jul se nov A escolha de α em um impaco considerável sobre a previsão, quano menor for o valor de α mais esável serão as previsões, uma vez que a uilização de valores baixos de α implica que pesos maiores serão dados às observações passadas. 3 Séries emporais Modelos sem endência O valor de α é arbirário. A deerminação do melhor valor de α pode ser feia ieraivamene, uilizando alguma forma de comparação, a mais usada é a média dos quadrados dos erros (MSE mean square error). O procedimenos consise em: Seleciona-se aleaoriamene um valor inicial de α, a parir do qual previsões são geradas. Compara-se os valores previsos com os observados, e calcula-se a média dos quadrados das diferenças enre os mesmos (observado e previso), o valor de α que minimiza essa média é uilizado no modelo. 4 Séries emporais Modelos não sazonais com endência Ese ipo de modelo pode ser expresso por: Y = µ + T + ε =,2,...,T onde: µ é um nível médio consane; T é a componene de Tendência no período. Ese modelo pode ser esimado por regressão linear simples ou enão pelo méodo de suavização dupla, o modelo de Hol: Ŷ α Ŷ + βŷ + ε = Séries de emporais Modelos não sazonais com endência Em 957, Hol esendeu o méodo SES visando ober previsões para dados com Tendência, surgindo o modelo de suavização linear de Hol. Iso por que quando se aplica o méodo de SES a uma série que apresena endência linear posiiva ou negaiva, esa fornece previsões que super ou subesimam coninuamene os valores reais da série. 5 6

5 Séries de emporais Modelos não sazonais com endência O modelo de alisameno linear de Hol é uma exensão do SES, a diferença é que além uilizar uma consane (α) para suavizar o nível médio, ele uiliza uma oura consane (β) de suavização para modelar a endência da série. As consanes uilizadas são, respecivamene, α e β. Séries de emporais Modelos não sazonais com endência O nível médio e a inclinação da série são esimados, respecivamene por L e T conforme as equações: L = α Y + ( - α) (L - +T - ) 0 < α < T = β (L - L - ) + ( - β) T - 0 < β < e as previsões são dadas por: Yˆ ( h ) = L + h T. h > Séries de emporais Modelos não sazonais com endência A fim de iniciar o processo de suavização exponencial linear de Hol é necessário ober uma esimaiva para o primeiro valor suavizado L e ambém para a endência T. Um procedimeno simples é igualar L a Y e para T é igualar a diferença enre Y 2 e Y. Oura forma de cálculo é ober a regressão linear simples dos dados da série emporal, onde a inclinação é uma esimaiva para o valor de T e o inercepo é uma esimaiva para L. Além diso é necessário verificar qual os valores de α e β iniciais. O procedimeno é similar a SES, buscar pela menor média de quadrado dos erros, variando os dois parâmeros (α,β). 9 Séries de emporais Modelos não sazonais com endência Vendas e a suavização exponencial pelo modelo linear de Hol empo vendas L T previsão (h=) ,00 9,00 63, ,50 9,04 72, ,27 7,90 8, ,08 6,98 73, ,53 7,64 67, ,59 6,55 84, ,57 5,74 75, ,66 5,9 69, ,28 6,45 77, ,86 5,90 9, ,38 5,66 89, ,02 6,64 92, ,33 6,4 2, ,37 6,59 5, ,48 6,84 24, ,66 7,4 35, ,40 6,90 46, ,5 5,77 50, ,96 5,84 39, ,40 5,54 46, ,97 5,89 47, ,43 5,72 58, ,57 6,45 62,5 Nesa abela ambém enconra-se a aplicação do méodo usando como consanes de suavização α = 0,5 e β = 0,07. Para os valores de L e T uilizou-se a primeira alernaiva de onde: L =54 e T =(63-54)=9. 20

6 Séries emporais Modelos não sazonais com endência Os cálculos para o período = 2 e = 3 são apresenados a seguir: L 2 = 0,5Y 2 +( 0,5)(L +T ) = 0,5(63)+0,5(54+9) = 63 T 2 = 0,07(L 2 - L )+(-0,07)T = 0,07(63-54)+(0,93)9 = 9 ˆ () = L + h. T = Ŷ2 2 2 = L 3 = 0,5Y 3 +( 0,5)(L 2 + T 2 ) = 0,5(73)+0,5(63 + 9) = 72,5 T 3 = 0,07(L 3 L 2 )+( - 0,07)T 2 = 0,07(72,5-63)+(0,93)9= 9,04 Ŷ 3 3 () = L3 + h. T = 72,5 +.9,04 = 8, Séries de emporais Modelos não sazonais com endência vendas previsão (h=) As previsões apresenadas se referem as previsões obidas a um passo a frene (h=) no período em que o modelo foi esabelecido (de = aé = 24). Conudo o ineresse é buscar previsões para o fuuro, as previsões para o período de = 25 aé = 30, por exemplo, e precisam ser calculadas com base no período = 24, iso é: Y ˆ ( h) = L + h T Séries emporais Modelos não sazonais com endência Com os dados do número de inervenções que cero processo passa durane a semana, enconre o modelo de suavização exponencial linear de Hol. Os dados de 32 semanas enconram-se no arquivo TEQ7_inervencoes.xls Use o NCSS ou o SPSS 23 Séries de emporais Modelos sazonais com endência Ese ipo de modelo pode ser expresso por: Y = µ + T + S + ε =,2,...,T quando a componene sazonal em comporameno adiivo Y = (µ + T ).S + ε =,2,...,T quando a componene sazonal em comporameno muliplicaivo Quando a série apresena Sazonalidade o modelo de Hol foi esendido por Winers em 960 para capurar ese efeio. O modelo de Hol-Winers é baseado em rês equações de suavização uma para o nível, uma para a endência, e uma para a sazonalidade, conudo a modelagem da sazonalidade pode ser adiiva ou muliplicaiva. 24

7 Séries de emporais Modelos sazonais com endência No modelo sazonal adiivo o nível médio, a inclinação e a sazonalidade da série são esimados, respecivamene por L, T e S, conforme o modelo expresso pelas seguines equações: L = α ( Y S ) + ( α )( L T ) 0 < α < s + Séries emporais Modelos sazonais com endência T = β ( L - L - ) + ( - β) T - 0 < β < S = ( Y L ) + ( γ ) Ss e as previsões são dadas por: Ŷ ( h) = L + h.t + S + h γ 0 < γ < -s h =,2,..., s onde: γ é o coeficiene de suavização da componene sazonal e s é uma esação complea de sazonalidade, por exemplo, ao rabalhar-se com dados mensais em-se s = 2, se os dados são rimesrais em-se s = Séries emporais Modelos sazonais com endência Uma empresa produora de auomóveis precisa prever o número de unidades a ser fabricadas. O banco de dados da empresa em regisro do número de unidades produzidas desde agoso de Modele os dados e preveja a quanidade a ser produzida para ou/ a dez/. Os dados enconram-se no arquivo TEQ7_venda_carros.xls 27 Séries emporais Modelos sazonais com endência vendas, em mil unidades Vendas de carros e as previsões pelo modelo Hol-Winers adiivo Vendas período Previsão Um algorimo gerou os valores de α = 0,7 e β = γ = 0,0 que minimizam o valor do mse, criério uilizado para 28 escolher os valores das consanes de suavização.

8 Séries emporais Modelos sazonais com endência Da mesma foram que para o modelo sazonal adiivo, no modelo sazonal muliplicaivo o nível médio, a inclinação e a sazonalidade da série são esimados, respecivamene por L, T e S conforme o modelo expresso pelas seguines equações: Y α + α L + T 0 < α < S L = ( )( ) s Séries emporais Modelos sazonais com endência Y Quando a sazonalidade é muliplicaiva, a ampliude do padrão sazonal aumena com o aumeno da série. T = β ( L - L - ) + ( - β) T - 0 < β < Y S = γ + ( γ ) Ss 0 < γ < L e as previsões são dadas por: Yˆ ( h ) = ( L + h.t ) S -s+ h h =,2,..., s onde: γ é o coeficiene de suavização da componene sazonal e s é uma esação complea de sazonalidade. 29 esação 30 Séries emporais Modelos sazonais com endência Os dados de exporação foram regisrados e enconram-se no arquivo TEQ7_exporacoes.xls Modele os dados e preveja o valor das exporações para 6 passos a frene. Séries emporais É imporane ressalar que na aplicação dos modelos de suavização exponencial reserva-se uma pare final dos dados para fazer a verificação do modelo enconrado. A verificação consise em averiguar se o modelo produz boas previsões, esa averiguação se dá comparando as previsões obidas pelo modelo para os dados da pare final com os valores reais observados. 3 32

9 Análise de séries de empo: modelos de suavização exponencial Profa. Dra. Liane Werner