4 Metodologia Proposta para o Cálculo do Valor de Opções Reais por Simulação Monte Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algoritmos Genéticos.

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1 4 Meodologia Proposa para o Cálculo do Valor de Opções Reais por Simulação Mone Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algorimos Genéicos Inrodução Nese capíulo descreve-se em duas pares a meodologia proposa para a aproximação do valor de opções reais e da regra de decisão óima para várias opções de invesimeno em um projeo, considerando incerezas écnicas e de mercado. Na primeira pare descreve-se a meodologia para aproximar o valor da opção real, baseada em números fuzzy para represenar incerezas écnicas e processos esocásicos conhecidos para represenar a incereza de mercado (preço da commodiy), unidos à simulação esocásica (simulação Mone Carlo), com o objeivo de reduzir o empo compuacional da simulação Mone Carlo. Na segunda pare descreve-se a meodologia para aproximar uma regra de decisão óima e deerminar o valor da opção real para o caso de se er várias alernaivas (opções) de invesimeno em um projeo. Ese méodo emprega um algorimo genéico e processos esocásicos conhecidos para represenar a incereza de mercado (preço da commodiy), unidos à simulação esocásica (simulação Mone Carlo) e às écnicas de redução de variância Descrição da Meodologia Proposa de Avaliação de Opções Reais por Aproximação com Números Fuzzy Nesa seção é descria a meodologia proposa que combina a simulação esocásica com os números fuzzy e processos esocásicos para calcular o valor de uma opção real. Nesa meodologia modela-se a incereza de mercado por processos esocásicos conhecidos (movimeno geomérico browniano, processo de reversão à média, processo de reversão à média com salos, ec.) e as incerezas

2 68 écnicas por números fuzzy riangulares, ao invés da disribuição de probabilidade riangular como é usado na solução radicional de avaliação de opções reais por simulação esocásica. Na Figura 16 mosram-se os principais módulos da meodologia proposa e a seguir, descreve-se dealhadamene cada módulo. Incereza de Mercado Processo Esocásico para a Commodiy Mov. Geomérico Browniano Proc. Reversão à Média Proc. Reversão à Média com Salos Gerador e Amosrador de Números Aleaórios Pseudo Aleaório Quase Mone Carlo Cálculo da Curva de Gailho: Algorimo de Gran, Vora e Weeks Modificado para Números Fuzzy Simulação Mone Carlo para Deerminar o Valor da Opção (Número Fuzzy) Valor da Opção (Média Fuzzy) Números Fuzzy Incereza écnica Figura 16 Principais pares da meodologia proposa para deerminar o valor da opção por aproximação com números fuzzy Módulo: Gerador e amosrador de números aleaórios Ese primeiro módulo corresponde ao gerador de números aleaórios [64] [65] [66] e ao amosrador de números aleaórios da disribuição normal (de média zero e variância um, N(0,1)). Eses números são usados no processo aleaório para o preço da commodiy. Ese módulo é imporane porque apesar do processo de simulação necessiar de um grande número de amosras aleaórias (números aleaórios), na práica não é possível ober esa grande quanidade de números aleaórios. Para resolver ese problema são uilizados os geradores. Nese rabalho foram empregados dois ipos de geradores de números aleaórios: o primeiro denominado Pseudo-aleaório ou Simple Random Sampling

3 69 (SRS) [67] [68] e o segundo um gerador de seqüências de baixa discrepância ou quase Mone Carlo [68] [69] [70] [71] [72]. Os geradores são funções que reornam números aparenemene aleaórios (Pseudo-aleaórios) de uma disribuição uniforme de um deerminado inervalo ([0, 1]). Eses números são finios e seguem uma seqüência; assim, quando o úlimo número da seqüência é fornecido pelo gerador, a seqüência se repee. Por esa razão, é imporane conar com um gerador de números aleaórios com uma seqüência o suficienemene grande para eviar que esa se repia várias vezes durane o processo de simulação em um deerminado problema. 319 O gerador implemenado nese rabalho consegue gerar 2 números anes de repeir a seqüência. Ese gerador garaniu que a seqüência não se repeiu nos experimenos realizados. O gerador de números Quase Mone Carlo (Quase Aleaório) ou de seqüências de baixa discrepância [70] [71] implemenado nese rabalho permie criar uma seqüência de 2 32 números. Devido ao fao deses números esarem espalhados uniformemene no inervalo [0, 1], nos problemas práicos de simulação são necessários menos números que quando se usa um gerador Pseudo Aleaório (vide Apêndice B). O amosrador de números aleaórios permie ober realizações de uma deerminada disribuição de probabilidade [67] [68] [73] [74], iso é, ransforma o número de uma disribuição uniforme fornecido pelo gerador de números aleaórios em um número de uma disribuição normal com média zero e variância um, N(0, 1) Módulo: Processo Esocásico para a Commodiy Nese módulo enconram-se os diferenes processos esocásicos que podem seguir o preço da commodiy (incereza de mercado) [1] [6] [8]. Foram considerados os seguines processos esocásicos (vide Apêndice C): Movimeno Geomérico Browniano; Processo de Reversão à Média; Processo de Reversão à Média com Salos.

4 70 Eses processos recebem em cada insane de empo um número aleaório de uma disribuição normal, N(0, 1), e reornam o valor do preço da commodiy para esse insane Módulo: Números Fuzzy Ese módulo é responsável por represenar cada incereza écnica por um número fuzzy riangular. O número fuzzy riangular usado para represenar incereza em os mesmos parâmeros que as disribuições de probabilidade riangular usadas pela meodologia radicional de solução. Em ouras palavras, a forma do riângulo que represena o número fuzzy é a mesma que do riângulo que represena a disribuição de probabilidade. Ese ipo de represenação é basane usada na bibliografia de números fuzzy (parâmeros do número fuzzy igual aos parâmeros da disribuição de probabilidade). Enreano, isso não significa que esa forma de definir os parâmeros do número fuzzy seja a que melhor represena a incereza definida pela disribuição de probabilidade. Aé agora, no enano, não se em bibliografia que descreva alguma forma de mapear a incereza represenada por uma disribuição de probabilidade riangular em um número fuzzy riangular. Incereza écnica u A (x) 1 a 2 a 1 a 3 x 0 a 2 a 1 a 3 x Disribuição de Probabilidade riangular Número Fuzzy riangular Figura 17 Represenação da incereza écnica por um número fuzzy riangular

5 Módulo: Cálculo da Curva de Gailho No processo de avaliação de uma opção real é preciso deerminar a curva de exercício óimo da opção, ou curva de gailho. Esa curva represena a froneira enre o exercício da opção, na pare superior da curva, e o não exercício ou maner a opção aé er melhores condições, na pare inferior da curva. Para deerminar esa curva de gailho da opção emprega-se o algorimo de Gran, Vora e Weeks [4], o qual é um algorimo recursivo que deve ser uilizado seguindo a programação dinâmica, começando na expiração e decremenando o empo aé o momeno aual. Maiores dealhes são fornecidos no Apêndice D. Nese rabalho, o algorimo de Gran, Vora e Weeks foi modificado para rabalhar com números fuzzy. Dese modo, a equação que calcula o valor da opção é ransformada em uma equação fuzzy, onde as variáveis que represenam as incerezas écnicas são números fuzzy, a variável que represena a incereza de mercado (preço da commodiy) é considerada como singleon e as consanes coninuam como consanes. A seguir é descrio de forma esquemáica o algorimo de Gran, Vora e Weeks modificado para rabalhar com números fuzzy. Para isso define-se S como o valor do aivo objeo e X como o preço de exercício da opção. Como foi viso no capíulo 2, o valor de uma opção de compra é calculado por: onde C S X Max0, S X, (38) C é o valor da opção em, que agora é um número fuzzy. Passo 1: Discreiza-se o empo de vida da opção em um número deerminado de inervalos e considera-se como condição de froneira no vencimeno da opção * S X, onde S * é um pono da curva de gailho; ese primeiro pono de curva é um singleon. No insane, no vencimeno, é óimo exercer a opção sempre que ela esiver in he money (Figura 18).

6 72 S (Preço da ação) S * = X =0 =1 = empo Figura 18 - Discreização do empo no algorimo de Gran, Vora e Weeks Passo 2: No insane adoa-se o preço inicial do aivo, S, igual * ou próximo de S. Inicia-se a simulação Mone Carlo obendo-se diversos valores para a opção no empo. Cada valor da opção calculado na simulação é um número fuzzy. O valor final da opção é calculado usando a equação (39) e desconado de r e para levar o valor ao empo C F N * 1 i * S C S F i1 (Figura 19). (39) N onde N é o número de ierações da simulação Mone Carlo. Noe-se que ese valor final da opção é ambém um número fuzzy. S (Preço da ação) C 1 =S 1 -X C 2 =S 2 -X C 3 =S 3 -X S - S * C N =0 =0 =1 = empo Figura 19 - Cálculo do valor da opção no empo por simulação Mone Carlo

7 73 Passo 3: Se o preço S esimado pela equação (40) não for o preço críico (preço para o exercício óimo da opção), ese é incremenado e repee-se a simulação Mone Carlo (Figura 20). onde E F E * C S X C é média da simulação e é ambém um número fuzzy. (40) S (Preço da ação) S - + S - S - S * =0 =1 = empo Figura 20 - Incremeno de S e simulação Mone Carlo Passo 4: Calculado * S, equação (39), repeem-se os passos 2 e 3, esando a opção para odos os momenos aé o vencimeno. Coninua-se recursivamene ese processo aé chegar ao empo inicial, 0, consruindo-se assim a curva de gailho (Figura 21). S (Preço da ação) S -2 S * - S * =0 =1 = empo Figura 21 - Repeir recursivamene os passos 2 e 3

8 74 Passo 5: erminada a curva de gailho, realizam-se novas simulações Mone Carlo a parir do preço inicial S 0 dado pelo mercado. Calcula-se o valor final da opção, que é o valor médio de odas as opções razidas ao valor presene (Figura 22). S (Preço da ação) S * S 0 =0 =1 = empo Figura 22 - Cálculo do valor final da opção Desa forma é consruída a curva de gailho. Noe-se que cada pono da curva é um número fuzzy Módulo: Simulação Mone Carlo para Deerminar o Valor da Opção Nese módulo calcula-se o valor da opção real seguindo o procedimeno descrio a seguir. A curva de gailho (fuzzy) obida no módulo anerior define a região de exercício, acima da curva, e a região de espera (maner a opção) abaixo da curva. Com a curva de gailho prona, procede-se á simulação dos caminhos para o preço da commodiy para cada insane, desde 0 aé a expiração. O número de ierações da simulação Mone Carlo corresponde ao número de caminhos para o preço da commodiy que se vai simular. Cada caminho do preço é comparado com o preço críico da curva de gailho em cada insane. Se o preço da commodiy supera a curva de gailho (alcança a região de exercício), o valor da opção é calculado para esse preço em, (segundo a equação do valor da opção para cada problema, de forma geral C S X Max0, S X, ), em seguida, passa-se para a próxima ieração

9 75 (próximo caminho do preço da commodiy). Quando o exercício é feio no insane > 0, o valor da opção é aualizado pela axa de descono livre de risco, obendose assim o valor da opção para essa ieração (V opf ). Se o caminho do preço é concluído sem er sido alcançada a região de exercício, enão o valor da opção para esse caminho é zero (V opf = 0). O valor da opção real resulane da simulação (V F ) é a média dos valores da opção obidos em cada simulação: V 1 N F V opf N i1 onde N é o número de ierações da simulação Mone Carlo (número de caminho do preço da commodiy). i (41) Módulo: Valor da Opção Nese módulo ransforma-se em um número real o valor da opção real resulane da simulação (V F ), que é um número fuzzy. Iso é necessário para se poder comparar o resulado com a meodologia radicional (simulação Mone Carlo pura) e porque, na práica, a decisão gerencial é omada considerando o valor da opção como um número real. Assim, o valor da opção real é a média do número fuzzy resulane da simulação (V F ). O cálculo desa média é feio segundo mosrado em [75] [76] [77] (vide Apêndice E). No Apêndice F são descrios, de forma esquemáica, as meodologias de avaliação de opções reais, ano a meodologia radicional por simulação esocásica como a meodologia híbrida com números fuzzy proposa (ver figuras 46, 47, 48, 49 e 50) Descrição da Meodologia Proposa para a Obenção de uma Regra de Decisão Óima por Aproximação com Algorimos Genéicos Nesa seção é descria a meodologia proposa que combina a simulação esocásica com um algorimo genéico e processos esocásicos para aproximar uma regra de decisão óima (curva de gailho) e deerminar o valor da opção real no caso de se er várias opções de invesimeno em um projeo.

10 76 Nesa meodologia modela-se a incereza de mercado por processos esocásicos conhecidos (movimeno geomérico browniano e processo de reversão à média) e considera-se que não exisem incerezas écnicas. Na Figura 23 mosram-se os principais módulos da meodologia proposa e a seguir descreve-se cada módulo. ALGORIMO GENÉICO raameno de Resrições Lineares Avaliação Sim. Mone Carlo (Preço Peróleo) Regra de Decisão (Curva de Gailho) Valor da opção Processo Esocásico para a Commodiy Mov. Geomérico Browniano Proc. Reversão à Média Gerador e Amosrador de Números Aleaórios Pseudo Aleaório Lain Hypercubic Sampling Figura 23 Principais pares da meodologia proposa para ober uma regra de decisão óima e deerminar o valor da opção por aproximação com um algorimo genéico Módulo: Gerador e amosrador de números aleaórios Ese módulo é similar ao descrio na seção 4.2.1, o qual é responsável por gerar números aleaórios [64] [65] [66] e amosrar números aleaórios da disribuição normal (de média zero e variância um, N(0,1)). Eses números são usados no processo aleaório para o preço da commodiy, para consruir os caminhos do preço. Empregaram-se dois ipos de geradores de números aleaórios: o primeiro um Pseudo-aleaório ou Simple Random Sampling (SRS) [67] [68] e o segundo que faz uso dos números dese gerador e aplica a écnica de redução de variância

11 77 denominada Lain Hypercube Sampling (LHS) [9] [10] [78] para gerar números de uma disribuição normal N(0,1) espalhados uniformemene (vide Apêndice B. O amosrador de números aleaórios permie ober realizações de uma deerminada disribuição de probabilidade [67] [68] [73] [74], iso é, ransforma o número de uma disribuição uniforme fornecido pelo gerador de números Pseudoaleaórios em um número de uma disribuição normal com média zero e variância um, N(0, 1) Módulo: Processo Esocásico para a Commodiy Nese módulo enconram-se os processos esocásicos que podem seguir o preço da commodiy (incereza de mercado) [1] [6] [8]. Foram considerados os seguines processos esocásicos (vide Apêndice C): Movimeno Geomérico Browniano; Processo de Reversão à Média. Eses processos recebem em cada insane de empo um número aleaório de uma disribuição normal, N(0, 1), e reornam o valor do preço da commodiy para esse insane Módulo: Algorimo Genéico Ese módulo coném o algorimo genéico, implemenado como uma biblioeca em C++ Builder, em cooperação com écnicos do ICA. Esa biblioeca de algorimos genéicos foi inspirada no sisema Genocop (Geneic Algorihm for Numerical Opimizaion for Consrain Problems) [14] e baseada em emplaes e programação orienada a objeos, o que permiiu uma consrução modular. Um módulo associado ao algorimo permie raar problemas com resrições (de domínio, lineares e não lineares). O algorimo genéico é usado para aproximar a curva de gailho e deerminar o valor da opção quando se em várias opções de invesimeno em um projeo. Cada opção de invesimeno no projeo em sua própria curva de gailho. Logo, a regra de decisão é formada pela inerseção das curvas de gailho de cada alernaiva de invesimeno (opção).

12 78 Cada curva de gailho é aproximada por uma curva logarímica do ipo a b log mais um pono livre que é siuado próximo da expiração da opção, o que ocorre em um empo (empo de expiração da opção). Considera-se ambém a possibilidade de exisirem períodos de espera enre as regiões formadas pelas curvas de gailho das alernaivas. Esas regiões de espera são ambém aproximadas por funções logarímicas e um pono livre: a ln. O valor W b W dos coeficienes das funções ( a, b, a W, b ) e os ponos livres são deerminados pelo algorimo genéico O cromossomo é formado pelos parâmeros da função (a, b e o pono livre) de cada curva e sujeio a um conjuno de resrições que delimiam o espaço de busca, as quais serão apresenadas no capíulo 7. O cromossomo em uma esruura maricial, onde cada gene do cromossomo represena uma alernaiva e ese gene esá formado por rês alelos que conem os rês parâmeros da curva de gailho da alernaiva. Na Figura 24 apresena-se a esruura do cromossomo para N alernaivas de invesimeno. W Pono Livre 1 Pono Livre 2 Pono Livre 3 Pono Livre N b 1 b 2 b 3 b N a 1 a 2 a 3 a N Gene 1 Gene 2 Gene 3. Gene N Figura 24 Esruura do cromossomo para N alernaivas de invesimeno. Para raar as resrições faz-se uso de um modulo denro da biblioeca de algorimos genéicos que verifica no cromossomo o cumprimeno das resrições para cada alernaiva. Assim, se no cromossomo, algum dos parâmeros para a curva de gailho de uma alernaiva não cumpre as resrições, descara-se só o alelo do gene correspondene a essa alernaiva, sendo ese subsiuído por ouro. Ese esquema apresena uma vanagem sobre o raameno radicional em Algorimos genéicos, na qual para o mesmo caso de algum dos parâmeros de uma alernaiva não cumprir com as resrições, se descara odo o cromossomo, perdendo-se muio empo na inicialização e na própria evolução.

13 79 O objeivo do algorimo genéico é deerminar os valores dos parâmeros das curvas de gailho que maximizem o valor da opção. Na avaliação do cromossomo emprega-se a simulação Mone Carlo. Aravés da simulação Mone Carlo simulam-se os caminhos para o preço da commodiy para cada insane, desde 0 aé a expiração. O número de ierações da simulação Mone Carlo corresponde ao número de caminhos para o preço da commodiy que se vai simular. O cromossomo é avaliado da seguine forma: com os parâmeros das curvas de gailhos (genes do cromossomo) consrói-se a regra de decisão (inerseção das curvas de gailho). Logo, cada caminho do preço é comparado com o preço críico da regra de decisão (curva de gailho) em cada insane. Se o preço da commodiy supera a curva de gailho (alcança a região de exercício), o valor da opção é calculado para esse preço em (de forma geral C S X Max0, S X, ). Ese valor da opção represena a avaliação do cromossomo para essa ieração (caminho do preço). Caso conrário, iso é, se o preço da commodiy não supera a curva de gailho, o valor da opção é zero. Na Figura 25 mosra-se um exemplo de dois caminhos diferenes para o preço da commodiy aé a expiração da opção. No primeiro, o preço da commodiy inercepa a curva de gailho no empo 1 ; nesse momeno a regra de decisão deermina que a opção de invesimeno represenada pela curva de gailho seja exercida. Dese modo, calcula-se o valor da opção nesse momeno ( 1 ) e ese valor se raz ao valor presene muliplicando pelo faor exp(-r). O ouro caminho do preço da commodiy passa odo o empo de vida da opção sem inercepar a curva de gailho; nese caso o valor da opção é zero.

14 80 Preço da Commodiy Exercer Curva de Gailho Esperar empo 1 Expiração Figura 25 Curva de gailho e caminhos do preço da commodiy. Repee-se ese processo para odos os caminhos. Logo, a avaliação dese cromossomo que o algorimo genéico busca maximizar é a média do valor da opção obido para cada caminho do preço. Maiores dealhes do processo de avaliação do cromossomo são apresenados no capíulo 7, na descrição do esudo de casos Módulo: Regra de Decisão e Valor da Opção Ese módulo recebe o resulado do algorimo genéico, iso é, o cromossomo com maior avaliação (melhor indivíduo). Ese cromossomo coném os parâmeros das curvas de gailho de odas as opções de invesimeno e em conjuno represena a regra de decisão óima. Com eses parâmeros nese módulo é consruída a regra de decisão óima e o valor da opção é o valor da avaliação do cromossomo.