ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Inrodução ao Cálculo Diferencial II TPC nº 9 Enregar em Num loe de bolbos de úlipas a probabilidade de que um bolbo dê flor é de 9%. Os bolbos podem dar origem a flores de rês cores: brancas, amarelas e vermelhas. Nos bolbos que dão flor: a probabilidade de nascer uma flor vermelha é de 35%; a probabilidade de nascer uma flor amarela é de 2%; a probabilidade de nascer uma flor branca é de 45%;.. Desenhe uma árvore ponderada que represene a floração dos bolbos..2. Qual a probabilidade de um bolbo planado produzir uma flor branca?.3. Represenemos por X a variável aleaória que a cada planação de 6 bolbos associa o número de flores amarelas obidas..3.. Represene, por meio de uma abela, a disribuição de probabilidades desa variável Calcule valores aproximados às cenésimas do valor médio e do desvio-padrão da disribuição..4. Qual o número de bolbos que devemos planar para ober pelo menos uma flor vermelha, com uma probabilidade superior a 8%? 2. A massa m (em gramas) de uma culura de bolor sujeia a um cero conjuno de condições ambienais aumena de acordo com a fórmula m() =, em que represena o,4 +,6.e empo (em dias). 2.. Represene graficamene a função m para um inervalo de 6 dias Quano é a massa inicial da culura? E passados 5 dias (indique o resulado com uma aproximação às cenésimas)? 2.3. Resolva a equação m () = 2, e apresene a solução com uma aproximação às horas. Indique o significado da solução enconrada Explique a forma como evolui o crescimeno da massa da culura Escreva a equação que exprime em função de m e explique o que essa função represena. Professora: Rosa Canelas

2 3. Em relação a uma função f real de variável real, sabe-se que exise uma sucessão ( u n ), al que: lim( un) = lim( f ( un) ) = 3 Pode concluir-se que lim f ( x) = 3? Jusifique. x 4. Mosre que é verdadeira a seguine afirmação: Se os valores de uma variável x crescerem em progressão geomérica de razão r >, com o primeiro ermo u >, os logarimos de x, em qualquer base posiiva e diferene de um, crescerão em progressão ariméica. NOTA: recorde que o ermo geral de uma progressão geomérica cujo primeiro ermo é u e razão n r se pode escrever na forma u = u r e que o ermo geral da progressão ariméica se pode n escrever na forma u = u + n r. n Professora: Rosa Canelas 2

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Inrodução ao Cálculo Diferencial II TPC nº 9 Proposa de Resolução. Num loe de bolbos de úlipas a probabilidade de que um bolbo dê flor é de 9%. Os bolbos podem dar origem a flores de rês cores: brancas, amarelas e vermelhas... A árvore desenhada ao lado é uma árvore ponderada que represene a floração dos bolbos.,9 F,45 B,2 A,35.2. A probabilidade de um bolbo planado produzir uma flor branca é dada por P( F B) =,9,45 =,45, NF V.3. Represenemos por X a variável aleaória que a cada planação de 6 bolbos associa o número de flores amarelas obidas..3.. Represenemos, por meio de uma abela, a disribuição de probabilidades desa variável, começando por calcular a probabilidade para cada valor da variável. 6 6 ( = ) = ou P X C,8,82,3 6 5 P X C,8,82,4 P X = = binompdf 6,.8,, P X 2 C,8,82,22 2 P X = = binompdf 6,.8,, P X 3 C,8,82,6 3 P X = 2 = binompdf 6,.8,2, P X 4 C,8,82, 4 P X = 3 = binompdf 6,.8,3, P X 5 C,8,82,9 5 P X = 4 = binompdf 6,.8,4,6 6 6 P X 6 C,8,82,34 6 P X = 2 = binompdf 6,.8,2,9 P X = 6 = binompdf 6,.8,6,34 x i P( X= x i ),34,44,297,643,,9, Calculemos, uilizando a calculadora, valores aproximados às cenésimas do valor médio e do desviopadrão da disribuição. µ, 8 e σ,94.4. Para calcular o número de bolbos que devemos planar para ober pelo menos uma flor vermelha, com uma probabilidade superior a 8% começamos Professora: Rosa Canelas 3

4 por calcular a probabilidade de o bolbo florir e a flor ser vermelha P( F V) =,9,35 =,35 Depois calculamos a probabilidade de pelo menos uma flor ser vermelha, num conjuno de n bolbos planados, que se obém pela probabilidade do aconecimeno conrário "nenhuma flor ser vermelha". n n n P = C,35,685 =,685 Finalmene calculamos o número n de bolbos que devemos considerar para que a probabilidade de pelo menos uma flor ser vermelha ser superior a 8%. n n ln,2,685 >,8,685 <,2 n > n > 4,25 ln,685 A inequação pode ser resolvida graficamene: Devemos planar pelo menos 5 bolbos. 2. A massa m (em gramas) de uma culura de bolor sujeia a um cero conjuno de condições ambienais aumena de acordo com a fórmula m() =, em que represena o, 4 +,6 e empo (em dias). 2.. Represene graficamene a função m para um inervalo de 6 dias. m = = = g, 4 +,6 e, 4 +,6 Passados 5 dias a massa da culura de bolor é 2,5 g, aproximadamene, pois m5 = 2,5 5, 4 +,6 e 2.2. A massa inicial da culura é 2.3. Resolvamos a equação m( ) = 2 e indicando a solução com uma aproximação às horas. ( + ) 2,4,6.e m() = 2 = 2 =,4+,6.e,4+,6.e,4+,6.e Professora: Rosa Canelas 4

5 ,8,2.e,2,2.e = =,4+,6.e,4+,6.e = + =,2,2.e,4,6.e,2.e,2,2 = = = = = =, e e lne ln ln ln6 ln6,79 Como,79 24 = 8,96 emos que é um dia e 9 horas. Iso significa que no 2º dia às 9 horas a massa dessa culura de bolor era 2 g Expliquemos a forma como evolui o crescimeno da massa da culura. No seu manual, na página 58 podemos ler: Uma função que se ajusa bem ao crescimeno real de ceras populações, por largos períodos de empo, se não ocorrerem ragédias (cheias, epidemias, invasão de predadores ) é a função logísica que apresena uma fase de crescimeno exponencial seguida de esabilização." São esas as caracerísicas da função m. No gráfico podemos observar que inicialmene a culura de bolor aumena rapidamene mas a cera alura (ao fim de 5 ou 6 dias) esse crescimeno passa a ser mais leno. Podemos observar ainda que à medida que o empo passa a massa da culura de bolor se aproxima de 2,5 g, iso raduz o significado de lim = = 2,5, 4 +,6 e, 4 + horizonal de equação y = 2,5. que significa que o gráfico de m em uma assímpoa 2.5. Vamos escrever a equação que exprime em função de m e explicar o que essa função represena., 4 m=,4+,6 e =,6 e =,4 e = m,4 +,6.e m m,6,4m,4m,4m e ln ln = =, 6m =,6m,6m,4m A nova função definida por (m) = ln,6m para ober uma deerminada massa de bolor. dá-nos o empo, em dias, necessário 3. Em relação a uma função f real de variável real, sabe-se que exise uma sucessão ( u n ), al que: lim( un) = lim( f ( un) ) = 3 Poder-se-á concluir que lim f ( x) = 3? x Nese caso, a definição de limie de uma função num pono, segundo Heine, não pode ser lim f x = 3. uilizada para concluir que x Professora: Rosa Canelas 5

6 Não há a garania que odas as sucessões ( u n ) convergenes para, de ermos perencenes só ao domínio de f e diferenes de, enham como imagem sucessões convergenes para 3. Como exemplo podemos dar a função represenada no referencial da figura ao lado onde a sucessão ( u n ) que pode er ermo geral = cumpre as condições da definição, un n mas com a sucessão de ermo geral v n = + n que ambém ende para por valores do domínio de f diferenes de, emos que ( ( n )) lim f v = 4. lim f x = 3. Não podemos por isso concluir que x 4. Mosremos que é verdadeira a seguine afirmação: Se os valores de uma variável x crescerem em progressão geomérica de razão r >, com o primeiro ermo u >, x u r n =, os logarimos de x, em qualquer base posiiva e diferene de um, erão a forma ( n ) ( n log x log u r log u log r ) log ( u ) ( n ) log ( r) = = + = + o que a a a a a a prova que consiuem uma progressão ariméica com primeiro ermo loga( u ) e crescene porque a razão loga ( r) > porque r >. Professora: Rosa Canelas 6

7 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Inrodução ao Cálculo Diferencial II. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC nº 9 38 Ponos.. Desenhar correcamene a árvore de probabilidades 4 Ponos.2. PF ( A) =,9,2=,8 4 Ponos P( X = ) = C,8,82,3 ou 6 5 P( X = ) = C,8,82,4 ou 6 Ponos Ponos P X = = binompdf 6,.8,,3 Pono P X = = binompdf 6,.8,,4 Pono P( X = 2) = C,8,82,22 ou 2 P X = 2 = binompdf 6,.8,2,22 Pono P( X = 3) = C,8,82,6 ou 3 P X = 3 = binompdf 6,.8,3,6 Pono P( X = 4) = C,8,82, ou 4 P X = 4 = binompdf 6,.8,4, Pono 6 5 P( X = 5) = C,8,82,9 ou 5 P X = 5 = binompdf 6,.8,5,9 Pono 6 6 P( X = 6) = C,8,82,34 ou 6 P X = 6 = binompdf 6,.8,6,34 Pono Apresenar a abela de disribuição de probabilidades 3 Ponos.3.2. µ, 7 e σ,93 6 Ponos.4. P( F V) =,9,35 =,35 4 Ponos 4 Ponos n n n P = C,35,685 =,685 4 Ponos n n ln,2,685 >,8,685 <,2 n > n > 4,25 4 Ponos ln,685 Apresena a resposa correca "Devemos planar pelo menos 5 bolbos." Ponos 2.. Apresena o gráfico correco 4 Ponos 2.2. m = = = g, 4 +,6 e, 4 +,6 m5 2,5, 4 +,6 e = 5 6 Ponos Apresena a resposa "Passados 5 dias a massa da culura de bolor é 2,5 g," Professora: Rosa Canelas 7

8 2.3. Escrever a equação m() = 2,4 +,6.e = 2 4 Ponos Resolver a equação aé,4m e = 5 Ponos,6m Terminar a resolução concluindo = ln6,79 5 Ponos Como,79 24 = 8,96 emos que é um dia e 9 horas. Iso significa que no 2º dia às 9 horas a massa dessa culura de bolor era 2 g No gráfico podemos observar que inicialmene a culura de bolor aumena rapidamene mas a cera alura esse crescimeno passa a ser mais leno. Podemos observar ainda que à medida que o empo passa a massa da culura de bolor se 2.5. aproxima de 2,5 g, iso raduz o significado de,4m m= = ln,4 +,6.e,6m lim = = 2,5, 4 +,6 e, 4,4m A nova função definida por (m) = ln,6m dá-nos o empo, em dias, necessário para ober uma deerminada massa de bolor. u convergenes para, de ermos 3. Não há a garania que odas as sucessões n 4. perencenes só ao domínio de f e diferenes de, enham como imagem sucessões convergenes para Ponos 8 Ponos 5 Ponos 3 Ponos Ponos 5 Ponos Parir de x = u r n Escrever log ( n a x loga u r ) = 3 Ponos Aplicar as propriedades dos logarimos n = + = + ( ) log x log u log r log u n log r a a a a a Jusificar que se obeve uma progressão ariméica de razão loga r > e com º ermo loga( u ) 5 Ponos 5 Ponos Professora: Rosa Canelas 8