Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Funções exponencial e logarítmica

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1 Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Maemáica Ano Lecivo de /4 Funções eponencial e logarímica - º Ano Nome: Nº: Turma: 4 A unção ( ),, é usada para deerminar o valor de um carro (em euros) anos depois da sua compra a) Qual é o cuso inicial do carro? b) Deermine o cuso do carro um ano e meio depois da compra c) Quano desvaloriza o carro ao ano? Um psicólogo desenvolveu uma órmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar no empo, em minuos A órmula é: ( ) ( e ) a) Calcule, de acordo com a unção e com aproimação às unidades, quanos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minuos b) Uma pessoa memorizou 6 símbolos Quano empo precisou, aproimadamene, para realizar al area? a) ara modelar o crescimeno de uma culura de bacérias, um biólogo enconrou a seguine unção: ( ) (,8 ) onde represena o empo em horas, a conar desde o início da observação, no momeno em que havia bacérias Escreva () na orma k ( ) e, com k aproimado às cenésimas b) Durane um período de horas, um biólogo observou uma culura de bacérias e eecuou os seguines regisos: T (em horas) Número de bacérias () Sabendo que o comporameno do crescimeno das bacérias pode ser modelado por uma epressão do ipo b ( ) k e, deermine () ( em horas) 4 Considere um produo que acualmene em o valor de Admia que o produo vai aumenar de valor nos próimos 6 anos em % ao ano e nos seis anos seguines vai diminuir de valor % ao ano Deermine o valor do produo, com aproimação às unidades, no inal dos anos reeridos Escreva a epressão ln ln ln log e e, ( >, > ), sem usar logarimos

2 6 Um arquieco resolveu usar a unção logarímica para azer o arco de uma pora, como mosra a igura O arco AB é pare da unção ln O arco BC é simérico do arco AB relaivamene à reca BD B a) Deina uma unção por ramos de modo que represene o arco AB e o arco BC b) Deermine a alura do arco ( BD ) A D C 6 7 A inensidade I, em decibéis (db), de um som audível, pode ser dada por: I 7 log onde é o valor da poência, em cera unidade, do som emiido a) Sabe-se que um som com inensidade superior ou igual a db é prejudicial à saúde Conclua daí, a parir de que poência é que devem ser uilizados meios de proecção audiiva b) Dois sons de poências e são emiidos por uma mesma one Sabendo que a inensidade do primeiro é dupla da do segundo ( I I ), mosre que ( ) 7 c) Sendo I : 7 log uma unção real de variável real, caracerize I, unção inversa de I 8 Considere a unção ( ) ln a) Deermine o domínio da unção b) Deermine m de modo que ( m) 9 Seja a unção: ( ) ln a) Deermine o domínio da unção b) ara esudar a paridade da unção, resolva as quesões pela ordem apresenada: b) Calcule ( ), ( ), () e () ; (valores eacos, como é óbvio!) b) Jusiique que não é uma unção par; b) Mosre que ( ) () e ( ) () A unção poderá ser uma unção ímpar? b4) Mosre que é uma unção ímpar c) Deermine de modo que ( ) Sugesão: Recorde que a a a, para a > d) Veriique a resolução desa quesão uilizando o Graphmaica ou a calculadora gráica Considere a unção real de variável real ( ) Deermine o seu domínio e os seus zeros Veriique a resolução desa quesão uilizando o Graphmaica ou a calculadora gráica

3 Deermine, de modo que ( ) < g( ), sendo: a) ( ) ln ( ) e g ( ) ln () b) ( ) e g( ) Deermine os zeros e caracerize a unção inversa de cada uma das seguines unções: a) ( ) 6 b) ( ) log ( ) c) : R R, al que ( ) ln Considere a unção real de variável real, assim deinida: ( ) log ( ) a) Deermine o domínio e os zeros da unção b) Jusiique que a unção não admie unção inversa c) Resolva a condição ( ) < d) Considere as unções, reais de variável real, assim deinidas: ( ) g( ) log e h ( ) Tendo em consideração que ( ) ( o ( g o h))( ) e ainda odo o esudo eio sobre as unções, g e h, deermine o conradomínio da unção Eplique o seu raciocínio e) Mosre que a epressão algébrica da correspondência (não unção) inversa da unção é comprove o conjuno indicado na alínea anerior ) Caracerize j, unção inversa da unção resria a ], [ ± e g) Veriique na sua calculadora gráica o represenado a seguir: h) Como eplica o observado conronando-o com as resposas às alíneas c) e d)? i) Agora, uilize o Graphmaica para veriicar a resolução dese eercício 4 O número de células de cero ipo é dado em unção do empo (em segundos), pela igualdade k N( ) N, com k e N números reais posiivos a) Calcule N () para e k e deduza qual o signiicado das consanes N e k b) Suponha agora que N e k Calcule o insane em que o número de células se orna 6 vezes maior do que no insane inicial

4 Numa grande cidade surgiu uma epidemia de gripe asiáica A evolução da doença oi dada pela órmula,, onde represena a percenagem de pessoas inecadas e o empo em dias após a declaração da epidemia pelo Serviço Nacional de Saúde (SNS) a) Deermine, analiicamene, o período de empo (em horas) em que a percenagem de pessoas inecadas oi superior ou igual à eisene no momeno da declaração da epidemia b) Quando da declaração da epidemia, o SNS sossegou a população da cidade inormando que a siuação não era de preocupar, pois inham sido omadas odas as medidas recomendadas e que a epidemia seria erradicada em menos de uma semana Numa pequena composição, comene o eor das declarações do SNS, endo em cona que: a epidemia considera-se erradicada quando a percenagem de pessoas inecadas or inerior a %; por quesões de saúde pública e de acordo com a Organização Mundial de Saúde, ese ipo de epidemia conigura uma siuação muio grave quando aeca uma população em mais de 6% por um período superior a 4 horas Noa: Na resolução desa quesão, deve uilizar as capacidades gráicas da sua calculadora e enriquecer a sua composição com o raçado de um ou mais gráicos Não é obrigaório a deerminação analíica de valores que considere indispensáveis, desde que os apresene com uma aproimação razoável e indique o processo que uilizou recorrendo à calculadora 6 A igura represena um reservaório com rês meros de alura Considere que, inicialmene, o reservaório esá cheio de água e que, num cero insane, se abre uma válvula e o reservaório começa a ser esvaziado O reservaório ica vazio ao im de caorze horas Admia que a alura, em meros, da água no reservaório, horas após ese er começado a ser esvaziado, é dada por [,4] h ( ) log( a b),, onde a e b são consanes reais posiivas a) Mosre que a 8 e que b 6 é, Inerpree ese valor no coneo da siuação descria b) rove que a aa de variação média de h no inervalo [,] Noa: A uilização da calculadora não será permiida para a resolução desa quesão c) Caracerize, unção inversa de h 7 Uilizando uma calculadora gráica a Ana descobriu que a equação log log inha duas soluções, que eram e De seguida, resolveu algebricamene a equação seguindo os seguines passos: log log log log log log Onde esá o erro? Jusiique 8 Sabendo que >, enão ( ) > ( 4 8 ) Na inequação que se segue, a > : log ( ) log ( ) log ( ) log ( a > ) a > a a > Onde esá o erro? Jusiique 4

5 9 Num Insiuo de esquisa Ecológica esudou-se a relação enre o oigénio consumido por pequenos animais e o respecivo peso Enconrou-se a órmula aproimada log log 6,9 log onde é o volume de oigénio em microliros por hora e o peso da colónia em gramas a) Eprima em unção de b) Sendo o oigénio correspondene ao peso, calcule e inerpree o resulado Ao ser lançado, um ogueão é impulsionado pela epulsão dos gases resulanes da queima de combusível numa câmara Desde o arranque aé se esgoar o combusível, a velocidade do ogueão, em quilómeros por segundo, é dada por: v( ) log(, ), A variável designa o empo, em segundos após o arranque a) A massa inicial do ogueão é de oneladas, das quais 8% correspondem à massa do combusível Sabendo que o combusível é consumido à aa de,7 oneladas por segundo, jusiique que, 6 [ ] b) rove que a aa de variação média de v no inervalo [, ] é, Inerpree ese valor no coneo da siuação descria SOLUÇÕES a) b) Aproimadamene 464 c) % 6 ln 6 a) ( ) ln ( ) 6 < b),79 u c aproimadamene a) símbolos b) 6 minuos a) b),9 ( ) e, ( cd),66 ( ) e, ( cd) 4 48 aproimadamene) 9 7 a) A parir de poências superiores ou iguais a 7 db devem ser uilizados meios de proecção audiiva 7 ( I ) b) c) I 7 I ( ) I : IR IR I 7 I

6 8 a) ], [ b) m 6 c) : [,] [,4] h 6 h 9 a) R \ {, } c) R \ {} D R ; apenas em um zero: a) ], [ b) ], [ a) Não em zeros : b) 97 : c) : IR IR log IR 6 ], [ IR R e a) ], [ ], [ c) ) D ;,,, j : ], [ IR 7 A condição dada em domínio R \ {} e a condição log log em domínio R orano, a primeira equivalência que esabeleceu apenas é válida em R e não no domínio da equação que preendia resolver Daí não er deerminado a solução negaiva 8 Como a >, enão loga < O erro ocorreu na úlima passagem, pois dividimos os dois membros da inequação por um número negaivo ( log a ), pelo que o sinal da desigualdade deveria er sido rocado 9 a) 6,9 b), 9 6, O resulado obido pode ser inerpreado da seguine maneira: Quando o peso duma colónia deses animais aumena vezes, o volume de oigénio consumido aumena (apenas) cerca de 6 vezes a) A massa de combusível é,8 oneladas Como é consumido à aa de, 7 /s, o combusível dura,7 6 segundos Como v esá deinida desde o arranque do ogueão aé se esgoar o combusível,, 6 conclui-se que [ ] O roessor 4 a) N ( ) N e N ( k) N b) O número de células orna-se 6 vezes maior do que no insane inicial decorridos 6 minuos e 4 segundos após esse insane a) Há % de pessoas inecadas no momeno da declaração da epidemia, pois () A percenagem de pessoas inecadas oi superior ou igual à eisene no momeno da declaração da epidemia durane as primeiras horas após essa declaração ( ), 4 ) ( [ ] 6

7 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Maemáica Ano Lecivo /4 Funções eponencial e logarímica - º Ano roposa de Resolução: 4 a) Como (), é de o cuso inicial do carro 4 b) Como ( ) ( ) , é de aproimadamene 464 o cuso do carro um ano e meio depois da compra 4 ( ) 4 c) Ora,,7 7% Logo, o carro desvaloriza % ao ano ( ) ( a) Como 4) ( e ), uma pessoa pode memorizar símbolos em 4 minuos b) Ora, ( ) 6 ( e ) 6 ( e ) e ln ( ) ln ( ) Como ln ( ) 6, precisou aproimadamene 6 minuos para realizar al area ln,8 a) Como,8 e e ln,8, 9, vem,9 ( ) e b) No início da observação eisiam bacérias, logo () k e k ln 466 Como, por eemplo, ( ) 466, vem e b 466 b ln b Logo, b, 66,66 orano, ( ) e (que modela razoavelmene a siuação apresenada:) No inal dos primeiros 6 anos, o valor do produo é dado por ( 6) ( ) No inal dos anos reeridos, o valor do produo é dado por () (6) (,) (,96) 48 No inal dos anos reeridos, o valor do produo é aproimadamene de 48 euros e ln e ln ln para > e > log e e ln ln e ln ln ln e 9 log log 7

8 6 a) O arco AB pode ser deinido por ( ) ln 6 O arco simérico do arco AB relaivamene ao eio O pode ser deinido por ( ) ln ( ) 6 Eecuando a ranslação dese arco pelo vecor u r (, ), obemos o arco BC, que pode ser deinido por ( ) ln ( ( )) 6 Logo, a unção pedida pode ser deinida por ln 6 ( ) ln( ) 6 < b) Ora, BD ( 6) ln 6, 79 unidades de comprimeno 7 a) Ora, I 7 log log 7 log log (Tenha presene que a unção log é esriamene crescene) 7 Logo, a parir de poências superiores ou iguais a db devem ser uilizados meios de proecção audiiva b) Ora, 7 7 I I 7 log log log log ( ) ) 7 log log 7 ( 4 log 7 7 c) Ora, D I { IR : > } IR I 7 I 7 Como ' I 7 I 7 log log, D I { I IR : IR} IR Logo, I : IR IR I 7 I 8 a) Ora, { IR : > } ], [ D, pois: b) Ora, m m m m ( m) ln ( ) ln ( ) ln ( ) m m m ( m) m m m 9 8 a) Ora, D { IR : > } IR \ {, }

9 b) ( ) ln ln ln ; ( ) ln ln ln ; ( ) ln ln e ( ) ln ln b) não é uma unção par, pois não se veriica ( ) ( ), D (noe que ( ) (), por eemplo) b) De aco, ( ) () ln e ( ) () ln or isso, poderá ser uma unção ímpar ( ) b4) Ora, ( ) ln ln ln ( ), D Logo, é uma unção ímpar ( ) c) Ora, ( ) ln D ( ) D ( ) ( ) D ( > ) D D Como d) ( enão, ) IR \ {} IR \ {, } IR \ {} Ora, D { IR : IR} IR ( ) 9 ( 7 6 ) 6 7 ( ) m 6 4 ( 7) 6 m 9 A unção em um zero: 9

10 a) Ora, D { IR : > } ], [ e D g { IR : > } ], [ Logo, ], [ D D g ( ) < g( ) ln ( ) < ln () < D > > > orano, o conjuno-solução é S ], [ Dg ], [ ], [ pois a unção ln é esriamene crescene b) Ora, D { IR : IR} IR e D g { IR : IR} IR Logo, D D IR g ( ) < g( ) < < < < < pois a unção ( ) é esriamene crescene orano, o conjuno-solução é ], [ S a) O domínio da unção é D { IR : IR} IR Ora, 6 log6 log6, pelo que { IR : > IR D } Logo, : IR IR log b) O domínio da unção é { IR : > } ], [ D Ora, log ( ) log ( ), pelo que D { IR : IR} IR 6 Logo, : IR ], [ c) O domínio da unção é D IR, como é indicado Ora, ln e m e, pelo que D { IR : e } IR Como D IR, emos: : IR R e a) O domínio da unção é { IR : > } ], [ ], [ D propriedades da unção quadráica) (enha em consideração as Ora, ( ) log ( )

11 b) A unção não admie inversa pois não é uma unção injeciva Basa reparar que objecos siméricos êm a mesma imagem, pois a unção é par: ( ) ( ), D c) Ora, d) Sabemos que: e ( ) < h : IR log ( ) < log ( ) < log ( ) < log pois a unção log é esriamene crescene > D > D ( < > ) D,, [, [ g : IR IR log : IR IR D D o( goh) { IR : Dh h( ) Dg ( g o h)( ) D } { IR : IR IR log ( ) IR} { IR : IR log ( ) IR} { IR : IR } ], [ ], [ Como h( D ) IR g ( IR ) IR ( IR) IR Enão, D' IR e) Ora, log ( ) ± Logo, D' { IR : } IR ) orano, será: j : IR ], [ g) odemos conirmar a represenação gráica apresenada:

12 h) Tem a ver com a janela de visualização escolhida e com a precisão da calculadora no raçado do gráico: Janela de visualização: [-6,; 6,] [-,;,] 4 a) N ( ) N N N N ( k) N N N represena o número de células no insane inicial da conagem do empo k represena o insane (em segundos) em que o número de células é o dobro do número de células no insane inicial b) ara N e k, emos N ( ) 4 Ora, N( ) O número de células orna-se 6 vezes maior do que no insane inicial decorridos 6 minuos e 4 segundos após esse insane a) Há % de pessoas inecadas no momeno da declaração da epidemia, pois () ( ),, (, ) [, 4] [, 4],,, endo em consideração que a unção é esriamene crescene endo em consideração o esudo da unção quadráica A percenagem de pessoas inecadas oi superior ou igual à eisene no momeno da declaração da epidemia durane as primeiras horas após essa declaração b) Considerando, respecivamene, as janelas de visualização [, ] [-, 7] e [, ] [, 7] represenaram-se graicamene as unções, e 6, cujos gráicos se indicam a seguir 9, Considerando agora a janela de visualização [, ] [, ], represenaram-se as unções e 8 ; criou-se ainda uma abela de valores de, conorme se indica seguidamene

13 NOTA: Sabendo que lim (, ) e lim ( ), podemos concluir lim ( ) Reunindo oda esa inormação podemos elaborar o gráico seguine (%) 6 4 6,89,9, (dias Do gráico conclui-se que a epidemia oi erradicada ligeiramene anes de se aingirem 7 dias, pelo que se veio a conirmar o prognósico do SNS quano ao prazo de erradicação da epidemia Já quano à gravidade da siuação não sucedeu o mesmo, pois veio a veriicar-se que aproimadamene durane 9 horas (,6,9, ;, 4 9, 8 ) houve mais de 6% da população aecada, pelo que, endo sido ulrapassado o limiar reerido, a epidemia erá apresenado ainda alguma gravidade Quano a erem sido ou não omadas odas as medidas recomendadas, não há inormação que permia eecuar essa avaliação 6 a) Considerando as condições roneira, podemos esabelecer o sisema h(), donde h(4) log a a a 8 a 8 7, como queríamos mosrar log( a 4b) a 4b b b 4 b) odemos, porano, escrever h( ) log(8 ), donde h( ) h(6) log log ( ) log ( ) (8,) log(8 ) log(,) log() vm[ 6,], (m/h) 6 No período reerido, a alura da água no reservaório desceu, em média, cm por hora, iso é, enre os insanes correspondenes a seis e a onze horas após a aberura da válvula, a alura da água no reservaório diminuiu a uma velocidade de, meros por hora, c) Sendo log (8 h h ), vem 8 h 8 Sabendo que D [,4] e que ' [,] h D h será: h 6 : [,] [,4] h h 6

14 7 A condição dada em domínio R \ {} e a condição log log em domínio orano, a primeira equivalência que esabeleceu apenas é válida em preendia resolver Daí não er deerminado a solução negaiva A Ana poderia er considerado, por eemplo, as seguines alernaivas: log log log log log log9 9 log log log log R R e não no domínio da equação que 8 Como a >, enão loga < O erro ocorreu na úlima passagem, pois dividimos os dois membros da inequação por um número negaivo ( log a ), pelo que o sinal da desigualdade deveria er sido rocado 9 a) Tendo em consideração algumas propriedades operaórias dos logarimos e que a unção logarímica é injeciva, resolvendo a equação em ordem a, vem: log log 6,9 log,9 log log 6 log ( ),9 log log (6 ),9 6 b) Ora,,9,9,9,9,9 6 ( ) 6 () 6 orano,, 9 6, O resulado obido pode ser inerpreado da seguine maneira: Quando o peso duma colónia deses animais aumena vezes, o volume de oigénio consumido aumena (apenas) cerca de 6 vezes a) A massa de combusível é,8 oneladas Como é consumido à aa de, 7 /s, o combusível dura,7 6 segundos Como v esá deinida desde o arranque do ogueão aé se esgoar o combusível, conclui-se que [, 6] b) ( log mv( g) [,] (,7),) ( log (,) ) (log (,) log (,)), log (, log ( ), ( ),,, (km/s ), ), No inervalo considerado, a aceleração média do ogueão é de, km/s O roessor 4