7. t x y x t s y s 11. F x y. Dica: y p 12. G x y Calcule a integral. 19. x 3 2x dx t 3t 2 dt 22. y 1.

Transcrição

1 . Eercícios. Eplique eaamene o significado da afirmação derivação e inegração são processos inversos.. d 6. sen d. Seja f d, em que f é a função cujo gráfico é mosrado. (a) Calcule para,,,, 4, e 6. (b) Esime 7. (c) Onde em um valor máimo? Onde possui um valor mínimo? (d) Faça um esboço do gráfico de. 7 8 Use a Pare do Teorema Fundamenal do Cálculo para enconrar a derivada da função d e d 9. s s 8 d. r r s 4 d 4 6. F s sec d Dica: p s sec d s sec d p. Seja f d, em que f é a função cujo gráfico é mosrado. (a) Calcule,,, e 6. (b) Em que inervalos esá crescendo? (c) Onde em um valor máimo? (d) Faça um esboço do gráfico de.. G cos s d. h e ln d 4. h s z z 4 dz. g s s d 6. 4 cos d u s d u du sen f 9 44 Calcule a inegral. 9. d. 4 d. d. ( u 4 u 9 ) du 4. Seja f d, em que f é a função cujo gráfico é mosrado. (a) Calcule e 6. (b) Esime para,,, 4, e. (c) Em que inervalo esá crescendo? (d) Onde em um valor máimo? (e) Faça um esboço do gráfico de. (f) Use o gráfico da pare (e) para esboçar o gráfico de. Compare com o gráfico de f d 8 d s. 6. d 4 7. d d. s 4. sec d.. d 4. v v 6. dv 6. v 4 cos d ( s ) d d p 4 sec u g u du sen e d 8 z dz 6 Esboce a área represenada por. A seguir, enconre de duas formas: (a) uilizando a Pare do Teorema Fundamenal e (b) calculando a inegral usando a Pare e, enão, derivando. 7. e e d s 8 4. s d 4. e u du 4. cosh d s 4 u du u 4 s d SCA É necessário usar um sisema de compuação algébrica

2 4. f d onde 44. onde f sen cos se p se p p f d f 4 se se 64. A função erro dada por erf e d s é muio usada em probabilidade, esaísica e engenharia. (a) Mosre que b. a e d s erf b erf a ; ; 4 48 O que esá errado na equação? 4. 4 d Use um gráfico para dar uma esimaiva grosseira da área da região que fica abaio da curva dada. Enconre a seguir a área eaa. 49. s, 7. 4,. sen,. sec, 4 Calcule a inegral e inerpree-a como uma diferença de áreas. Ilusre com um esboço.. d 4. cos d 6 9 Enconre a derivada da função.. u u du F e d 8. F arcg d 9. 4 d 8 p p sec u g u d u sec u]p p p p sec d g ] Dica: sen d sen ln v dv cos f u du f u du f u du s 6 SCA (b) Mosre que a função e erf saisfaz a equação diferencial s. 6. A função de Fresnel S foi definida no Eemplo, e seus gráficos esão nas Figuras 7 e 8. (a) Em que valores de essa função em valores máimos locais? (b) Em que inervalos a função é côncava para cima? (c) Use um gráfico para resolver a seguine equação, com precisão de duas casas decimais: sen p d, SCA 66. A função seno inegral Si sen d é imporane em engenharia elérica. [O inegrando f sen não esá definido quando, mas sabemos que seu limie é quando l. Logo, definimos f e isso faz de f uma função conínua em oda pare.] (a) Trace o gráfico de Si. (b) Em que valores de essa função em valores máimos locais? (c) Enconre as coordenadas do primeiro pono de infleão à direia da origem. (d) Essa função em assínoas horizonais? (e) Resolva a seguine equação com precisão de uma casa decimal: Seja f d, em que f é a função cujo gráfico é mosrado. (a) Em que valores de ocorrem os valores máimos e mínimos locais em? (b) Onde ainge seu valor máimo absoluo? (c) Em que inervalos é côncavo para baio? (d) Esboce o gráfico de. 67. f sen d 6. Se f e d, em qual inervalo f é crescene? 6. Em qual inervalo a curva d é côncava para baio? 6. Se f sen s d e f d, enconre Se f, f é conínua e f d 7, qual é o valor de f 4? 4 68.,4, _, f

3 69 7 Calcule o limie, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em, i lim n l n i n 4 lim n l 7. Jusifique para o caso h. 7. Se f é conínua e e h são funções deriváveis, enconre uma fórmula para d f d 7. (a) Mosre que s para. (b) Mosre que s d,. 74. (a) Mosre que cos cos para. (b) Deduza que cos d. 7. Mosre que comparando o inegrando a uma função mais simples. 76. Considere n n n n n n d h e f d (a) Ache uma epressão para similar àquela para f. (b) Esboce os gráficos de f e. (c) Onde f é derivável? Onde é derivável? 77. Enconre uma função f e um número a ais que 6 a 6 f f d, 4 d s se se se se para odo 78. A área marcada B é rês vezes a área marcada A. Epresse b em ermos de a. 79. Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma aa conínua f f, onde é o empo medido em meses desde seu úlimo recondicionameno. Como a cada vez em que a máquina é recondicionada incorre-se em um cuso fio A, a empresa deseja deerminar o empo ideal T (em meses) enre os recondicionamenos. (a) Eplique por que f s ds represena a perda do valor da máquina sobre o período de empo desde o úlimo recondicionameno. (b) Seja C C dado por C A f s ds O que represena C e por que a empresa quer minimizar C? (c) Mosre que C em um valor mínimo nos números T onde C T f T. 8. Uma empresa de ecnologia compra um novo sisema de compuação cujo valor inicial é V. O sisema depreciará a uma aa f f e acumulará cusos de manuenção a uma aa, onde é o empo medido em meses. A companhia quer deerminar o empo óimo para subsiuir o sisema. (a) Seja C f s s ds Mosre que os números críicos de C ocorrem nos números nos quais C f. (b) Suponha que V f V 4 se se e V.9 Deermine o período de empo T para que a depreciação oal D f s ds seja igual ao valor inicial V. (c) Deermine o mínimo absoluo de C em, T. (d) Esboce os gráficos de C e f no mesmo sisema de coordenadas e verifique o resulado da pare (a) nesse caso. = = A B a b

4 .4 Eercícios 4 Verifique, por derivação, que a fórmula esá correa.. s d s C 8 Enconre a inegral indefinida geral.. d 6. (s s ) d. cos d 4 sen C ( 4 4 ) d 7. 8.,8,4 d. cos d sen sen C 9. u 4 u du. v v dv 4. sa b d b a sa b C b. s d. d

5 . sen senh d 4.. u cossec u cog u du g a da 8. cossec e d sec sec g d sen sen d. As froneiras da região sombreada são o eio, a rea e a curva s 4. Enconre a área dessa região escrevendo como uma função de e inegrando em relação a (como no Eercício 49). = ; 9 Enconre a inegral indefinida geral. Ilusre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma ela. =$œ (cos ) d 9.. e d 46 Calcule a inegral d. 4 d. ( 4 4 ) d 4. 6w w 4 dw. 4 d 6. d 7. p e sen d 8. 4 d 4 6u 9.. (s e ) d d cos d cos 8. p sen u sen u g u du sec u s d 4. e s senh cosh d 4. s dr 4. d s r 4. s 4 d 44. d du 4 su (s s 4 ) d 4 d ( ) d p sen d ; 47. Use um gráfico para esimar a inersecção com o eio da curva 4. A seguir, use essa informação para esimar a área da região que se siua sob a curva e acima do eio. ; 48. Repia o Eercício 47 para a curva A área da região que esá à direia do eio e à esquerda da parábola (a região sombreada na figura) é dada pela inegral d. (Gire sua cabeça no senido horário e imagine a região como esando abaio da curva de aé.) Enconre a área da região. =- s d p cossec u du p 4 d. Se w for a aa de crescimeno de uma criança em quilogramas por ano, o que w d represena?. A correne em um fio elérico é definida como a derivada da carga: I Q. (Veja o Eemplo na Seção.7.) O que b I d represena? a. Se vazar óleo de um anque a uma aa de r galões por minuo em um insane, o que r d represena? 4. Uma colmeia com uma população inicial de abelhas cresce a uma aa de n por semana. O que represena n d?. Na Seção 4.7 definimos a função rendimeno marginal R como a derivada da função rendimeno R, onde é o número de unidades vendidas. O que represena R d? 6. Se f for a inclinação de uma rilha a uma disância de quilômeros do começo dela, o que f d represena? 7. Se é medido em meros e f, em newons, quais são as unidades de f d? 8. Se as unidades para são pés e as unidades para a são libras por pé, quais são as unidades para da d? Quais são as unidades para a d? A função velocidade (em meros por segundo) é dada para uma parícula movendo-se ao longo de uma rea. Enconre (a) o deslocameno e (b) a disância percorrida pela parícula durane o inervalo de empo dado. 9. v, 6. v 8, A função aceleração (em m s ) e a velocidade inicial são dadas para uma parícula movendo-se ao longo de uma rea. Enconre (a) a velocidade no insane e (b) a disância percorrida durane o inervalo de empo dado. 6. a 4, v, 6. a, v 4, 6. A densidade linear de uma barra de comprimeno 4 m é dada por 9 s, medida em quilogramas por mero, em que é medido em meros a parir de uma eremidade da barra. Enconre a massa oal da barra.

6 64. A água escoa pelo fundo de um anque de armazenameno a uma aa de r 4 liros por minuo, onde. Enconre a quanidade de água que escoa do anque durane os primeiros dez minuos. 6. A velocidade de um carro foi lida de seu velocímero em inervalos de segundos e regisrada na abela. Use a Regra do Pono Médio para esimar a disância percorrida pelo carro. (s) v (mi h) (s) v (mi h) Suponha que um vulcão eseja em erupção e que as leiuras da aa r, cujos maeriais sólidos são lançados na amosfera, sejam as dadas na abela. O empo é medido em segundos e a unidade para r é oneladas por segundo. 4 6 r (a) Dê esimaivas superior e inferior para a quanidade Q 6 do maerial proveniene da erupção após 6 segundos. (b) Use a Regra do Pono Médio para esimar Q O cuso marginal de fabricação de meros de um cero ecido é C,,6 (em dólares por mero). Ache o aumeno do cuso se o nível de produção for elevado de para 4 meros. 68. Há um fluo de água para denro e para fora de um anque de armazenameno. A seguir, emos um gráfico que mosra a aa de roca r do volume de água no anque, em liros por dia. Se a quanidade de água no anque no insane de empo é liros, use a Regra do Pono Médio para esimar a quanidade de água no anque depois de quaro dias. r _ Uma população de bacérias é de 4 no empo e sua aa de crescimeno é de bacérias por hora depois de horas. Qual é a população depois de uma hora? 7. O gráfico a seguir mosra o ráfego de dados em um provedor de serviços na inerne enre meia-noie e as 8 horas da manhã. D denoa os dados em processameno, medidos em megabis por segundo. Use a Regra do Pono Médio para esimar a quanidade oal de dados ransmiidos durane esse período de empo. 7. A seguir, esá ilusrada a poência consumida na cidade de Onário, Canadá, em 9 de dezembro de 4 ( P é medida em megawas; é medido em horas a parir da meia-noie). Usando o fao de que a poência é a aa de variação da energia, esime a energia usada naquele dia. P 8 6, D,8, (horas) Fone: Independen Elecrici Marke Operaor ; 7. Em 7 de maio de 99, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49, cujo objeivo era insalar um novo moor de arranque no saélie de comunicação Inelsa. A abela dá os dados de velocidade para o ônibus espacial enre o lançameno e a enrada em ação dos foguees auiliares. (a) Use uma calculadora gráfica ou compuador para modelar esses dados por um polinômio de erceiro grau. (b) Use o modelo da pare (a) para esimar a alura aingida pela Endeavour, segundos depois do lançameno. Eveno Tempo (s) Velocidade (m s) Lançameno Começo da manobra de inclinação 6;4 Fim da manobra de inclinação 97; Regulador de combusível a 89% 6; Regulador de combusível a 67% 6; Regulador de pressão a 4% 9 4;9 Pressão dinâmica máima 6 44;4 Separação dos foguees auiliares.6;

7 . Eercícios 6 Calcule a inegral fazendo a subsiuição dada.. cos d, u.. 4 d, s d, u 4 u 4. d 6, 4 u 6. cos u sen u du, u cos u 6. sec d, u 7 48 Calcule a inegral indefinida. 7. sen d 8. e d 9. d.,4 d. s d. sec d. d 4. us u du. sen p d 6. e sen e d 7. e sen s 8. e u du s d a b z 9.. sa b d z dz. ln d. cos 4 u sen u du d. e s e d 6. a a b 7. 4 d 8. e cos sen d 9.. g sen d d sen ln. e g sec d. d. cos 4. cos d sen d. 6. scog cossec d d d 7. senh cosh d 8. cos s g sen sen cos cos d d 4. cog d 4. sen sec cos d d s d sen s d d d 48. s d ; 49 Calcule a inegral indefinida. Ilusre e verifique que sua resposa é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primiiva (ome C ). 49. d. g u sec u du. sec u g u du 4. s sen d. e cos sen d. sen cos 4 d

8 7 Avalie a inegral definida.. cos d d 6. s e p 4 7. sec 4 d d g d 6. p 4 6. d 64. s 6. s a d a 66. a 67. s d e 4 d e sln e z e z z dz d ( s ) Verifique que f sen s é uma função ímpar e use ese fao para mosrar que sen s d. ; 7 76 Use um gráfico para dar uma esimaiva grosseira da área da região que esá sob a curva dada. Enconre a seguir a área eaa. 7. s, 76. sen sen, 77. Calcule s4 d escrevendo-a como uma soma de duas inegrais e inerpreando uma dessas inegrais em ermos de uma área. 78. Calcule s 4 d fazendo uma subsiuição e inerpreando a inegral resulane em ermos de uma área. 79. Quais das seguines áreas são iguais? Por quê? =e œ p 4 sen d p s d sen s d T sen p T a d 8. Um modelo para a aa de meabolismo basal, em kcal h, de um homem jovem é R 8,8 cos p, em que é o empo em horas medido a parir de horas da manhã. Qual é o meabolismo basal oal dese homem, 4 R d, em um período de 4 horas? =e sen sen d a sa d 4 d cossec p cog pd 6 e d p cos sen sen d = π 8. Um anque de armazenameno de peróleo sofre uma rupura em e o peróleo vaza do anque a uma aa de r e, liros por minuo. Quano peróleo vazou na primeira hora? 8. Uma população de bacérias em inicialmene 4 bacérias e cresce a uma aa de r 4,68 e,67 bacérias por hora. Quanas bacérias eisirão após horas? 8. A respiração é cíclica e o ciclo compleo respiraório desde o início da inalação aé o fim da epiração demora cerca de s. A aa máima de fluo de ar nos pulmões é de cerca de, L/s. Isso eplica, em pares, porque a função f sen p em sido frequenemene uilizada para modelar a aa de fluo de ar nos pulmões. Use esse modelo para enconrar o volume de ar inalado nos pulmões no insane. 84. A Alabama Insrumens Compan preparou uma linha de monagem para fabricar uma nova calculadora. A aa de produção dessas calculadoras após semanas é d d calculadoras semana. (Observe que a produção ende a por semana à medida que passa o empo, mas a produção inicial é baia, pois os rabalhadores não esão familiarizados com as novas écnicas.) Enconre o número de calculadoras produzidas no começo da erceira semana aé o fim da quara semana. 8. Se f for conínua e f d, calcule f d. 86. Se f for conínua e f d 4, calcule f d. 87. Se f for conínua em, demonsre que f d a f d. Para o caso onde f e a b, faça um diagrama para inerprear geomericamene essa equação como uma igualdade de áreas. 88. Se f for conínua em, demonsre que f c d b c f d. Para o caso onde f, faça um diagrama para inerprear geomericamene essa equação como uma igualdade de áreas. 89. Se a e bforem números posiivos, mosre que a b d b a d. 9. Se f é conínua em,, use a subsiuição u para demonsrar que p b a f sen d p. p f sen d 9. Use o Eercício 9 para calcular a inegral p sen. cos d 9. (a) Se f é conínua, mosre que p b a 4 9 f cos d p f sen d. (b) Use a pare (a) para calcular cos de p sen d. b a c

9 . (a), (b) s s s 8. F s sec. h e. sg sg sec ln 7 7. e e 9. 4p/ 4. e A função f 4 não é conínua no inervalo [, ], de modo que o TFC não pode ser aplicado. 47. A função f u sec u g u não é conínua no inervalo,, de modo que o TFC não pode ser aplicado , = EXERCÍCIOS.. Um processo desfaz o que o ouro faz. Veja o Teorema Fundamenal do Cálculo. (a),,, 7, (d) (b) (, ) (c) g F () e 4 e 9. sen ln( cos ) cos ln( sen ) 6. ( 4, ) (a) sn, s4n, n um ineiro (b) (, ), ( s4n, s4n ) e (s4n, s4n ), n um ineiro (c), (a) Ma. loc em e ; Min. loc em e 7 (b) (c) (,), 4, 6, 8, 9 _ (d) Veja o gráfico à direia f, a (b) Gaso médio sobre [, ]; minimiza o gaso médio EXERCÍCIOS.4. C 7. u 9 u 4u C cos cosh C 7. g a C 9. sen 4 C C 9.. 4s C.. u cossec u C 6

10 e p ln ln p/ 4. p/6 4., 47., O aumeno no peso da criança (em quilogramas) enre e anos.. Número de liros de óleo vazado nas primeiras horas. Aumeno na receia quando a produção aumena de para unidades 7. Newon-meros 9. (a) m (b) 6 m 6. (a) v 4 m s (b) 46 m kg 6.,4 milhas 67. $ bacérias 7. 4,7 megawa-horas EXERCÍCIOS.. sen C. 9 C. 4 cos 4 u C 7. cos C 9. 6 C. C. ln C. ( cos C 7. e C u 9. sa b C. ln C. 4 g 4 u C. e C 7. C 9.. e g C. ln cos( ) C sen C. cog C 7. senh C 9. ln cos C 4. ln sen C 4. ln sen C 4. ln C C C. e cos C _ F f 4 f F 4 π 4. /p e se (s )a ln e s 77. 6p 79. Todas as rês áreas são iguais L 8. cos L 4