Cinemática unidimensional

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1 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo Problemas correspondenes ao Capíulo 2 Cinemáica unidimensional 1. A conclusão de Zeca esá errada. Podemos verificar isso mesmo anes de fazer qualquer cálculo, uilizando apenas a idéia de velocidade media. Como Juca percorreu disâncias iguais com velocidades médias diferenes, os inervalos de empo gasos para percorrer cada recho de 10km não são iguais. Gasou menos empo no recho em que maneve a maior velocidade média. Conseqüenemene, sua velocidade média no recho oal não pode ser, simplesmene, a média ariméica das respecivas velocidades médias em cada recho. Vejamos, agora, qual foi sua velocidade média em odo o movimeno. No recho percorrido com a velocidade média de12km/h, o empo gaso por Juca foi 1 = (10/12)h e no recho percorrido com a velocidade média de8km/h, o empo gaso foi 2 = (10/8)h. Porano, da definição de velocidade média, emos v = s = s = 20 h = v = 9,6km/h. (0.1) 10/12+10/8 Como era de se esperar, a velocidade média de Juca é menor que a média ariméica de suas velocidades médias em cada recho, uma vez que se movimenou mais empo com a velocidade média menor de 8km/h. 2. (a) A parir das definições de velocidade e aceleração de uma parícula e sabendo que a sua posição é dada por x() = , obemos v x = dx d a x = dv x d = 2+6, (0.2) = 2. (0.3) Traa-se, porano, de um movimeno reilíneo uniformemene acelerado, pois a aceleração da parícula é consane, igual a 2m/s 2 (no Sisema Inernacional de Unidades). (b) Para deerminarmos os insanes nos quais a parícula passa pela origem, devemos impor a condição x = 0, ou seja, devemos enconrar as raízes do polinômio x =

2 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo É imediao enconrar os insanes 1 = 2s e 2 = 8s. Como a parícula começou seu movimeno apenas em =0, significa que a parícula passou pela origem apenas no insane 2 = 8s. Como conhecemos a velocidade da parícula, dada pela equação (0.2) sua velocidade,v x2, nesse insane, é dada por v x2 = 2 (8)+6 = v x2 = 10m/s. (0.4) (c) Noe que em função de suas raízes, o polinômio do segundo graux = se escreve x = ( + 2)( 8). Essa expressão orna evidene que x > 0 se 2 < < 8 e x < 0 se < 2 ou > 8. Porano, a parícula permaneceria no semi-eixo OX posiivo (x > 0) no inervalo de empo ( 2,8). No nosso caso nos insanes ais que 0 < < 8. A equação da posição descreve uma parábola com concavidade para baixo e que ainge seu máximo no pono médio enre = 2s e = 8s. Porano, o pono mais afasado da origem no semi-eixo posiivo ocorrerá em = 3s. x(3) = (3) = 25, (0.5) ou seja, a maior disância da origem aingida pela parícula no inervalo em que ela se move no semi-eixo OX posiivo é igual a 25m. Graficamene, emos para a posição da parícula (x versus ) a seguine parábola (confira no gráfico as afirmaivas aneriores):

3 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 3 x = f x () (a) Da definição de aceleração, emos dv x /d = a x. Inegrando essa equação, obemos (sempre que omiirmos as unidades, esará implício o uso do SI) v x v x0 = a x d = 0 0 1d = v x = v x0 +, (0.6) onde a velocidade inicial será calculada com as condições dadas no problema. Analogamene, da definição de velocidade, emos dx/d = v x, de modo que inegrando uma vez mais no empo, obemos x x 0 = v x d = 0 0 (v x0 + )d = x = d+v x , (0.7) onde usamos o fao de quex 0 = d. Devemos, agora, uilizar a condição de que para = 4 a parícula se enconra na posiçãox = d 6. Impondo essa condição, emos d 6 = d+2v x0 +2 = v x0 = 4, (0.8) e, conseqüenemene, a posição e a velocidade da parícula são dadas, respecivamene, por x() = d (0.9) v x () = 4. (0.10) (b) A parícula invere o senido de seu movimeno a parir do insane em que sua velocidade é nula, iso é, em i = 4s. Sabemos que, de fao, ela invere o senido de seu movimeno nesse insane pois sua velocidade muda de sinal em = 4s.

4 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 4 Para sabermos em que insane ela reorna à posição inicial, basa forçarmos que sua posição seja igual ad, ou seja,d 4+ 2 /2 = d. Descarando, por razões óbvias, o valor = 0s, concluímos que ela reorna à posição inicial no insane = 8s. Observe que a parícula gasa 4s aé parar e ouros 4s aé reornar à posição inicial. Isso já era esperado, pois raa-se de um MRUV (o mesmo ocorre no movimeno de queda livre, no qual o empo de subido é sempre igual ao empo de descida). (c) A condição para que a parícula não ainja o semi-eixo OX negaivo é x > 0 para qualquer insane de empo. Como ax = d 4+ 2 /2 corresponde a uma parábola cuja pare côncava esá do lado do semi-eixo OX posiivo (pois o coeficiene que acompanha o ermo quadráico é posiivo) o pono mais próximo da origem (nos casos em que não ainge a origem) é o vérice da parábola. Esse vérice ocorre no insane i = 4seg, no qual a parícula invere o senido de seu movimeno (quando sua velocidade é nula). Porano, devemos impor a condição: d 4 i i > 0 = d > 8m. (0.11) 4. Escolhendo o eixo OY com direção verical, aponando para cima e com a origem no pono de lançameno da parícula, a posição e a velocidade da parícula são dadas, respecivamene, por y = v g2 e v y = v 0 g, (0.12) onde escolhemos = 0 como o insane de lançameno e denoamos por g o módulo da aceleração graviacional na superfície erresre. Quando a parícula ainge a alura máxima de sua rajeória, sua velocidade é nula. Conseqüenemene, da úlima equação obemos o empo de subida, s, impondo a condição v y = 0 = v 0 g s, o que nos leva a s = v 0 /g. Seja 1 = s /2 = v 0 /2g. A disância percorrida no inervalode empo [0, 1 ] é dada, enão, por ( ) v0 d 1 = y 1 0 = v 0 2g g 2 ( ) 2 v0 = d 1 = 3v2 0 2g 8g, (0.13) onde a posição da parícula no insane 1, y 1, foi calculada a parir da primeira equação escria em Eq(0.12). O insane final do segundo inervalo de empo a ser considerado é

5 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 5 jusamene s. A posição da paricula, nesse insane, é y s = v 0 (v 0 /g) (g/2)(v 0 /g) 2. Com isso, a disância percorrida no inervalo de empo [ 1 = s /2, s ] é dada por ( ) v0 d 2 = y f d 1 = v 0 g ( ) 2 v0 d 1 = d 2 = v2 0 g 2 g 8g. (0.14) Dessa forma, obemos, para a razão desejada, o resulado d 1 = 3v2 0 8g d 2 8g v0 2 = 3. (0.15) Noe que esse resulado independe de v 0, ou seja, ocorre em qualquer lançameno verical. Como o empo de subida é igual ao de descida, a disância percorrida pela parícula na primeira meade do empo de descida é 1/3 da disância percorrida na segunda meade. 5. Por conveniência, escolheremos o eixo OY verical, aponando para baixo e com a origem no alo do prédio, ou seja, na posição de onde a pedra foi abandonada a parir do repouso no insane inicial 0 = 0. Com essa escolha, a posição da pedra é dada por y() = 1 2 g2. (0.16) Seja 1 o insane em que a pedra esá a uma disância de 25 meros acima do solo. Como ela demora 1 segundo a parir de 1 para aingir o solo, podemos escrever y( 1 +1) y( 1 ) = 25. (0.17) Uilizando a equação (0.16), a condição anerior oma a forma 1 2 g( 1 +1) g( 1) 2 = 25, (0.18) ou seja, ( g ) = 25. (0.19) 2 Subsiuindo o valor de g, emos, 1 = 2s. Uma vez que a pedra pariu do repouso em 0 = 0 e aingiu o solo no insane 1 +1 = 3s, a alura do prédio, h, é dada por h = y( 1 +1) = 1 2 g( 1 +1) 2 = 45m. (0.20)

6 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo Para faciliar a compreensão dos gráficos, repeimos o de posição versus empo e exibimos os gráficos de velocidade e aceleração versus empo logo abaixo dese. x 1 2 v x 1 2 a x 1 2 a x1

7 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 7 A consrução do gráficov x versusse baseia na análise da inclinação das reas angenes ao gráfico x versus em cada pono. A inclinação da rea angene em cada pono do gráfico da posição corresponde ao valor da derivada dessa função, nesse pono, ou seja, a dx/d, que é exaamene a sua velocidade. Resumidamene, dizemos que a velocidade, num dado insane de empo, descreve a inclinação do gráficoxversus, nesse insane. Assim, a velocidade no inervalo0 1 diminui de um valor posiivo aé o valor nulo, pois o gráficoxversusdiminui sua inclinação no inervalo0 < < 1, começando por um valor posiivo qualquer em = 0 e erminando com o valor nulo em = 1. No inervalo 1 < < 2, a velocidade se orna negaiva, mas seu módulo aumena pois as inclinações das reas angenes ao gráfico xversus aumenam em módulo. Para > 2 a inclinação do gráfico x versus começa a diminuir em módulo, mas sempre assumindo valores negaivos. Desse modo, a velocidade alcança um mínimo em = 2. Para valores de muio grandes a inclinação do gráfico x versus é cada vez menor em módulo, mas sempre negaiva, o que significa que para > 2 a velocidade ende assinoicamene a zero (por valores negaivos). De forma análoga é a consrução do gráfico a x versus, pois se baseia na análise da inclinação das reas angenes ao gráfico v x versus em cada pono. A inclinação da rea angene em cada pono do gráfico da velocidade corresponde, agora, ao valor da derivada dessa função nesse pono, ou seja, adv x /d, que é exaamene a aceleração. Porano, resumidamene, dizemos que a aceleração, num dado insane de empo, descreve a inclinação do gráficov x versus, nesse insane. Noe, que os máximos locais (ou mínimos locais) do gráfico x versus correspondem aos ponos de reorno do movimeno onde a velocidade é nula (derivada nula). Um exemplo de pono de reorno ocorre em 1 no gráfico mosrado. Por ouro lado, máximos locais (ou mínimos locais) do gráfico v x versus correspondem a ponos de inflexão do gráfico x versus, i.e., ponos onde o gráfico da posição muda de concavidade. Esses ponos indicam que a aceleração da parícula muda de sinal: por exemplo, uma parícula

8 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 8 inicialmene acelerada, que vai diminuindo sua aceleração aé que, a parir de um dado insane (pono de inflexão do gráfico de x versus ) passa a ser freada. Em ouras palavras, à direia do pono de inflexão a aceleração em um sinal e à direia, o sinal oposo. Exemplo de um pono de inflexão ocorre no insane Num gráfico de velocidade versus empo, a área algebrica sob o gráfico é igual ao deslocameno da parícula no inervalo em consideração. No caso em quesão, as respecivas áreas sob os gráficos das velocidades de Pedro e Renaa são iguais, pois ambos os riângulos êm a mesma base (empo f )e a mesma alura (a velocidade máxima v m ). Como velocidade média é, por definição, v = s/, concluímos que v R = v P. 8. (a) O gráfico pedido nese iem corresponde ao feio com a linha conínua (o recho com a linha racejada será úil na explicação do próximo iem). v inclinação β inclinação α área =d O (b) Como a área sob a curva do gráfico de v x versus no inervalo [0, ] represena a disância d percorrida pelo carro nesse inervalo, para que ele percorra a mesma disância num inervalo de empo menor ele deve seguir um movimeno no qual reorne ao repouso num insane menor que (por exemplo, o insane da figura), e que enha a mesma área sob a nova curva v x versus. No enano, para que no inervalo[0, ] a nova área sob o gráfico seja a mesma que anes, a desaceleração (ou a aceleração) deve necessariamene superar o valor máximo permiido. Considere, por exemplo, o movimeno formado pela semirea que sai da origem aé a velocidade máxima e a linha ponilhada aé o repouso. Observe, enão, que, para compensar a

9 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 9 área perdida no final do movimeno, a curva ponilhada em obrigaoriamene algum recho no qual as inclinações são superiores a β. 9. (a) O movimeno da parícula muda de senido quando sua velocidade muda de sinal. Para que isso ocorra a sua velocidade deve, necessariamene, passar pelo valor nulo (esa é uma condição necessária, mas não suficiene, pois a velocidade de uma parícula pode diminuir, se anular e volar a crescer sem inverer o senido do movimeno). No caso em quesão, a parícula invere o senido de seu movimeno duas vezes, em = 1 e = 3, insanes que correspondem às raízes da equação v x = = 0. (b) Da definição de aceleração e comv x = 2 4+3, emos a x = dv x /d = 2 4. (0.21) Porano, a aceleração da parícula é nula apenas no insane = 2. (c) O gráfico de v x versus é dado por uma parábola com raízes 1 e 3, passando por um mínimo em 2. Já o gráfico de a x versus é dado por uma rea com inclinação posiiva e corando o eixo do empo em = 2, como ilusram as figuras v x O (d) Da definição de velocidade, emos dx/d = v x. Inegrando essa equação, obemos x x 0 = 0 ( )d = x = (0.22)

10 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 10 a x O 2 4 Observe, inicialmene, que o gráfico a ser desenhado não será uma parábola, pois a equação anerior coném um ermo cúbico no empo. Lembrando que a velocidade é o coeficiene angular no gráfico de posição versus empo, vemos que a inclinação no gráfico pedido deve diminuir aé aingir um valor mínimo (negaivo) em = 2 e, a parir daí, aumenar indefinidamene. Em = 1 e = 3 a inclinação no gráfico deve ser nula, uma vez que a velocidade da parícula é nula nesses insanes. Além disso,x = 3 / = 0 apenas em = 0 e = 3, isnanes nos quais o gráfico oca o eixo do empo (parícula na origem). Confira no gráfico essas informações. x O (a) A unidade no SI do produo b deve ser m/s 2. Logo, a consane b deve ser expressa em m/s 3. Analogamene, a consanecdeve er unidade de aceleração, ou seja, m/s 2.

11 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 11 (b) Da definição de aceleração, emos dv x d = a x = v x v x0 = 0 (b c)d = v x = 1 2 b2 c. (0.23) Nesse caso, a parícula invere o senido de seu movimeno nos insanes em que a sua velocidade se anula, ou seja, nos insanes = 0 e = 2c/b. (c) Da definição de velocidade, emos dx d = v x = x x 0 = 0 ( ) 1 2 b 2 c d = x = 1 6 b3 1 2 c2. (0.24) É conveniene reescrever a posição como x = 2 (b/6 c/2). Dessa forma, é imediao ver que a parícula esá na origem nos insanes = 0 e = 3c/b. No enano, em = 0 ela não cruza a origem, pois nesse insane, como vimos no inem anerior, ela invere o senido de seu movimeno. Porano, ela cruza a origem apenas no insane = 3c/b (o gráfico mosrado no próximo iem ilusra com clareza o movimeno da parícula). (d) Para empos negaivos, a parícula esá se aproximando da origem com velocidades posiivas de módulo cada vez menor. Em = 0 ela esá na origem e em velocidade nula pois, como já vimos, nesse insane ela invere o senido de seu movimeno. Como no inervalo 0 < < c/b sua aceleração é negaiva, nesse inervalo sua velocidade é ambém negaiva e de módulo crescene. No insane = c/b sua aceleração é nula e, a parir daí, sua aceleração é sempre posiiva e cada vez maior. Com isso, em = c/b a velocidade passa por um mínimo e o gráfico de x versus em inclinação negaiva de maior valor. Enre = c/b e = 2c/b a inclinação no gráfico da posição diminui em módulo, se anulando em = 2c/b. A parir de = 2c/b essa inclinação cresce indefinidamene. A parícula cruza a origem no insane = 3c/b.

12 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 12 x O c/b 2c/b 3c/b v x = 0