Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares

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1 Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares Reginaldo J. Sanos Deparameno de Maemáica-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais hp:// 26 de seembro de 21

2 2 Análogo ao caso de inegração de funções ímpares no inervalo [, ], se h : [, ] R é simérica em relação ao pono, ) =, ), ou seja, se é al que h ) = h), para odo [, ], enão verifique!) h)d =. Também análogo ao caso de inegração de funções pares no inervalo [, ], se h : [, ] R é simérica em relação à rea =, ou seja, se é al que h ) = h), para odo [, ], enão verifique!) h)d = 2 h)d. Figura 1: Prolongamenos com simeria em relação à rea = e em relação ao pono, ) =, ) de uma função definida inicialmene somene no inervalo [, ] Já vimos que se uma função f : [, ] R é conínua por pares com derivada f ambém conínua por pares, enão pelo Corolário 5.2 ela pode ser represenada por sua série de Fourier de senos f) = b n sen nπ. n=1

3 3 /3 4/3 /2 3/2 com os coeficienes dados por b n Figura 2: sen nπ, para n = 1, 2, 3, 4 = 1 f) sen nπ d para n = 1, 2,... Se a função f é simérica em relação à rea =, iso é, se f ) = f), para odo [, ], enão f) sen 2kπ 2k+1)π é simérica em relação ao pono, ) =, ) e f) sen é simérica em relação à rea = verifique!). Separando os coeficienes em de índice par e de índice ímpar, obemos que: b 2k = b 2k+1 = 2 f) sen 2k+1)π d para k =, 1, 2,...

4 4 E assim f) = k= b 2k+1 sen 2k+1)π, para, ) Ou seja, se uma função f : [, ] R é simérica em relação à rea =, a sua série de Fourier de senos em somene os ermos de índice ímpar. Para as funções f que são definidas apenas em [, ] podemos prolongá-las ao inervalo [, ] de forma que elas sejam siméricas em relação à rea = : { f), se < f) = f ), se < é simérica em relação à rea = Corolário 1. Seja um número real maior que zero. Para oda função f : [, ] R conínua por pares al que a sua derivada f ambém seja conínua por pares. A série de Fourier de senos de índice ímpar de f em que k= b 2k+1 sen 2k+1)π, b 2k+1 = 2 f) sen 2k+1)π d para k =, 1, 2,... converge para f nos ponos do inervalo, ) em que f é conínua. Ou seja, podemos represenar f por sua série de senos de Fourier de índice ímpar: f) = k= b 2k+1 sen 2k+1)π, para, ). A série acima é a série de Fourier da função f : R R definida por f) = { f), se <, f ), se <, f) = f ), se <, f+4) = f).

5 5 /2 3/2 /6 5/3 /4 3/4 5/4 7/4 Figura 3: cos nπ, para n = 1, 2, 3, 4 Já vimos que se uma função f : [, ] R é conínua por pares com derivada f ambém conínua por pares, enão pelo Corolário 5.2 ela pode ser represenada por sua série de Fourier de cossenos com os coeficienes dados por f) = b n cos nπ. n=1 a n = 1 f) cos nπ d para n =, 1, 2,... Se a função f é simérica em relação ao pono, ), iso é, f ) = f), para odo [, ],

6 6 enão f) cos 2kπ 2k+1)π é simérica em relação ao pono, ) =, ) e f) cos é simérica em relação à rea = verifique!). Separando os coeficienes em de índice par e de índice ímpar, obemos que verifique!): E assim a 2k = a 2k+1 = 2 f) = k= f) cos 2k+1)π d para k =, 1, 2,... a 2k+1 cos 2k+1)π, para, ) Ou seja, se uma função f : [, ] R é simérica em relação ao pono, ), a sua série de Fourier de cossenos em somene os ermos de índice ímpar. Para as funções f que são definidas apenas em [, ] podemos prolongá-las ao inervalo [, ] de forma que elas sejam siméricas em relação ao pono, ): { f), se < f) = f ), se < simérica em relação ao pono, ). E assim emos o seguine resulado. Corolário 2. Seja um número real maior que zero. Para oda função f : [, ] R conínua por pares al que a sua derivada f ambém seja conínua por pares. A série de Fourier de cossenos de índice ímpar de f em que k= a 2k+1 cos 2k+1)π, a 2k+1 = 2 f) cos 2k+1)π d para k =, 1, 2,... converge para f nos ponos do inervalo, ) em que f é conínua. Ou seja, podemos represenar f por sua série de cossenos de Fourier de índice ímpar: f) = k= a 2k+1 cos 2k+1)π, para, ).

7 7 A série acima é a série de Fourier da função f : R R definida por f) = { f), se <, f ), se <, f) = f ), se <, f+4) = f).

8 8 Exercícios 1. a) Mosre que se uma função h : [, ] R é simérica em relação ao pono, ) =, ), ou seja, se h ) = h), para [, ], enão h) d =. b) Mosre que se uma função h : [, ] R é simérica em relação à rea =, ou seja, se h ) = h), para [, ], enão h) d = 2 h) d. c) Mosre que se f : [, ] R é simérica em relação à rea =, ou seja, al que f) = f ), para [, ], enão os coeficienes de índice par da série de senos de Fourier são nulos, ou seja, b 2k =, para k = 1, 2, 3... e os coeficienes de índice ímpar são dados por b 2k+1 = 2 f) sen 2k+1)π d para k =, 1, 2,... Sugesão: use os iens a) e b).) d) Mosre que se f : [, ] R é simérica em relação ao pono, ) =, ), ou seja, al que f) = f ), para [, ], enão os coeficienes de índice par da série de cossenos de Fourier são nulos, a 2k =, para k =, 1, e os coeficienes de índice ímpar são dados por a 2k+1 = 2 f) cos 2k+1)π d para k =, 1, 2,... Sugesão: use os iens a) e b).)

9 9 2. Deermine as represenações da função f : [, ] R em ermos das séries de Fourier de senos e de cossenos de índices ímpares: { /2, se < /2, f) =, se /2 <. Figura 4: A função f : [, ] R definida por f) = /2, se [, /2] e f) =, caso conrário e as somas parciais da sua série de Fourier de cossenos de índices ímpares, para N = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

10 1 Figura 5: A função f : [, ] R definida por f) = /2, se [, /2] e f) =, caso conrário e as somas parciais da sua série de Fourier de senos de índices ímpares, para N = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Resposas dos Exercícios 1. a) Dividindo a inegral em duas pares, fazendo a mudança de variáveis = s na segunda pare e usando o fao de que obemos h ) = h), para [, ] h) d = = = h) d+ h) d+ h) d+ h) d h s) ds) hs) ds = b) Dividindo a inegral em duas pares, fazendo a mudança de variáveis = s na segunda pare e usando o fao de que h ) = h), para [, ]

11 11 obemos h) d = = = h) d+ h) d+ h) d h) d h s) ds) hs) ds = 2 h) d c) Para h) = f) sen 2kπ emos que h ) = f ) sen 2kπ ) ) 2kπ = f) sen = h) = f) sen 2kπ 2kπ ) = f) sen 2kπ ) Assim segue da aplicação do iem a) que b 2k =. Para h) = f) sen 2k+1)π emos que h ) = f ) sen 2k+1)π ) = f) sen π 2k+1)π ) = f) sen 2k+1)π 2k+1)π ) ) 2k+1)π = h) = f) sen Assim segue da aplicação do iem b) que b 2k+1 = 2 f) sen 2k+1)π d para k =, 1, 2,... d) Para h) = f) cos 2kπ emos que h ) = f ) cos 2kπ ) ) 2kπ = f) cos = h) = f) cos 2kπ 2kπ ) = f) cos 2kπ ) Assim segue da aplicação do iem a) que a 2k =. Para h) = f) cos 2k+1)π emos que h ) = f ) cos 2k+1)π ) = f) cos π 2k+1)π = f) cos ) = f) cos 2k+1)π 2k+1)π ) ) 2k+1)π = h) Assim segue da aplicação do iem b) que a 2k+1 = 2 f) cos 2k+1)π d para k =, 1, 2,...

12 12 2. embrando que a inegração deve ser feia no inervalo [, ]: a 2k+1 = 2 a 2k+1 f ) ) a, 4 1 2k+1 f 1) ), 1 4 = k+1)π 2k+1)π sen s 4 2k+1)π 4 2k+1) 2 π 2s sen s+cos s) 4 8 = 2k+1) 2 π 2 1 cos 2k+1)π ) 4 f) = 8 π 2 k= 1 cos 2k+1)π 4 2k+1) 2 cos 2k+1)π b 2k+1 = 2 b 2k+1 f ) ) b, 4 1 2k+1 f 1) ), 1 4 = k+1)π 2k+1)π cos s 4 2k+1)π 4 2k+1) 2 π 2 s cos s+sen s) 4 = 2k+1) 2 π 2 2k+1)π 4 sen 2k+1)π ) 4 f) = π 2 k= 2k+1)π 4 sen 2k+1)π 4 2k+1) 2 sen 2k+1)π