3 - Diferencial. 3.1 Plano tangente. O plano tangente a uma superfície z = f(x,y) no ponto (x 0, y 0,f(x 0,y 0 )) é dado por: f x

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1 18 - Diferencial.1 Plano angene O plano angene a uma superfície z f(x, no pono (x 0, y 0,f(x 0,y 0 )) é dado por: z f ( x0,.(.( y Exemplo 1: Deerminar o plano angene a superfície z x +y nos ponos P(0,0,0) e Q(1,1,). No pono P(0,0,0) emos f(x 0,y 0 ) f(0,0) x ( 0,0).0 0 y ( 0,0).0 0 Enão: z 0 0.(x 0) + 0.(y 0 ) Plano angene z 0 No pono Q(1,1,) emos f(x 0,y 0 ) f(1,1) x ( 1,1 ).1 y ( 1,1 ).1 Enão: z.(x 1) +.(y 1 ) Plano angene z x + y Exemplo : Deermine a equação do plano angene a superfície y 6 - x - y no pono (0,1,5). - Diferencial A diferencial de uma função de uma variável, y f(x), é aproximadamene igual ao acréscimo y da variável dependene y. De forma análoga a diferencial de uma função de duas variáveis, z f(x,, é uma função ou ransformação linear que melhor aproxima o acréscimo z da variável dependene z. Geomericamene o plano angene à superfície z f(x,, no pono (x 0,y 0 ), quando exise, é o plano que melhor aproxima a superfície pero do pono (x 0,y 0 ). Definição: Seja z f(x, uma função diferenciável no pono (x 0,y 0 ). A diferencial de f em (x 0,y 0 ) é definida pela função ou ransformação linear T: R R T ( x x0, y.(.( y ou T ( h, k) h k onde h x-x 0 e k y - y 0

2 19 É comum dizer que ( x0,.(.( y relaiva aos acréscimos x e y, onde é a diferencial de f em (x 0,y 0 ) x x - x 0 e y y - y 0 Numa noação clássica, definimos a diferencial das variáveis independenes x e y como os acréscimos x e respecivamene dx x y Assim a diferencial de f em (x,, relaiva aos acréscimos onde dz ( x, dx + ( x, É ambém chamada de diferencial oal de f(x,) x e y, é indicada por dz ou df,. Diferencial de uma função de rês variáveis dw ( x, dx + ( x, + ( x, dz z Exemplos: 1) Variação da área do reângulo quando a base b varia de cm para,01 cm e a alura h varia de cm para,1 cm. ) O mesmo reângulo quando a base b varia de cm para,01 cm e a alura h varia de cm para 1,8 cm. ) Seja uma caixa cilíndrica com r cm e h 5 cm. O cuso do maerial usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e % na alura, perguna-se: a) valor aproximado do acréscimo no cuso da caixa. b) Valor exao do acréscimo no cuso da caixa.. Exercícios 1) Calcular a diferencial de f ( x, x + xy no pono (1,1). ) Deerminar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependene da função z x + y - xy quando (x, passa de (1,1) para (1,001; 1,0)

3 0 ) Calcular z para a variação do exercício () e compare os valores. ) Calcular a diferencial das funções nos ponos indicados: a) f(x, e x cos y; P(1,π/) b) z ln(x + y ); P(1,1) c) w x.e z + y; P(1,,0) 5) Calcular a diferencial oal de: a) z sen xy x b) z arcg y c) xy yz + zw x + y d) z x + y V 6) A energia consumida num resisor elérico é dada por P was. Se V 10 vols R e R 1 ohms, calcular um valor aproximado para a variação de energia quando V decresce de 0,001 vols e R aumena de 0,0 ohms. 7) Um erreno em a forma reangular. Esima-se que seus lados medem 100 m e 1800 m, com erro máximo de 10 m e 15 m, respecivamene. Deerminar o possível erro no cálculo da área do erreno. 8) Uma laa cilíndrica de esanho deve er raio inerno de dm e alura inerna de dm, sendo de 5 mm a espessura das paredes. Enconrar o volume aproximado do esanho necessário para fabricá-la usando diferenciais. 9) Usando diferencial, ober o aumeno aproximado do volume de um cilindro circular reo, quando o raio varia de cm para,1 cm e a alura varia de 1 cm para 1,5 cm. 10) Um maerial esá sendo escoado de um recipiene formando uma pilha cônica. Num dado insane, o raio da base é de 1 cm e a alura 8 cm. Usando diferencial, ober uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia para 1,5 cm e a alura para 7,5 cm. Comparar o resulado obido com a variação exaa do volume. 11) Considerar um reângulo com lados a 5 cm e b cm. Como vai variar, aproximadamene, a diagonal desse reângulo se o lado a aumenar 0,001 cm e o lado b diminuir 0, cm Resposas: 1) dz /dx + 1/) dz 0,01 ) z 0,0181; Erro 0,00081 ) a) edx e b) dx + c) dx + + dz 5),00 was 6) m 7) 17,1π cm 8),77 dm

4 1.5 Regra da Cadeia Usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de funções composas. Sejam A e B conjunos aberos em R e R, respecivamene, e sejam z f(x, uma função que em derivadas parciais de 1 a. ordem conínuas em A, x x() e y y() funções diferenciáveis em B ais que para odo є B emos (x((, y()) є A. Seja a função composa h() f (x(), y()), є B. Enão, essa função composa é diferenciável para odo є B e dh/ é dada por: dh dx. +. Exemplos: 1) Calcule a derivada parcial da função: f(x, xy + x, sendo x + 1 e y +.6 Exercícios dh dx 1) Verificar a regra da cadeia. +. para as funções: a) f(x, ln (x + y ), sendo x + 1 e y 5 b) f(x, sen (x + 5, sendo x cos e y sen c) f(x, x.e xy, sendo x e y 1 ) Deerminar dz/ usando a regra da cadeia a) z g (x +, x, y b) z x cos x sen, y c) z arc g x x, y d) z e x (cos x + cos, x, y e) z y x, x e -, y ln f) z x x + 1, y sen ) Se f(x, x y y df, sendo x 1/ e y ln, obenha

5 ) Sendo z ye x + xe y dz, e x cosu e y senu, calcule du Resposas: 1) a) b) cos(cos + 5sen)[-sen + 5cos] ) a) 10 sec (5 ) b) cos sen 1 c) 1+ 6 e e d) e [ sen + cos + cos sen ] e) ln ln f) sen + ( + 1)cos ) ln 1 + ln ) e cosu (cosu sen u) + e senu (cos u senu)